SD知识资料第2章知识资料自由振动反应知识资料(待结合北方工大完善)

中南大学土木工程学院桥梁工程系主讲教师：韩建平石岩E-mail：syky86@163.com个人主页：兰州理工大学土木工程学院结构动力学DynamicsofStructures第3章自由振动反应

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Chapter3AnalysisofFreeVibrations结构动力学本章提要§2-1运动方程的解§2-2无阻尼自由振动§2-3有阻尼自由振动3单自由度体系(SDOF)：456表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。定义结构的振动反应结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。7定义结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动。结构的自由振动与受迫振动8固有频率质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。9阻尼结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：c

为阻尼系数，为质量的速度。10§2-1

运动方程的解最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系.

已经得到单自由度体系的运动方程：（2-1）这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。11运动方程：等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。定义自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！

初始位移；初始速度；初始位移+初始速度结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。去掉外荷载p(t)=0!上式称为（二阶线性常系数）齐次方程；

12齐次方程的求解：可设齐次方程解的形式为：（2-3）

其特征方程为：或：代入（2-2）可得：（2-4）（2-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程(Homogeneousequation)；式中ω2=k/m，ω是体系振动的圆频率。根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s值将具有不同的特性。（2-2）13§2-2无阻尼自由振动Ifc=0：

特征方程：自由振动方程：（2-7）

引入Euler方程：

代入(2-2)得：（2-9）A和B是由初始条件决定的常数。得无阻尼自由振动的位移反应：（2-10）（2-2）14设t=0时：代入：代入：单自由度无阻尼体系运动方程的解：（2-11）或写成：（2-14）位移反应：（2-10）15三角关系：对比(2-11)，显然有：(2-13)成为：即：（2-14）（2-11）16（2-14）物理意义：（2-11）17（2-14）物理意义：（2-11）18定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每个角增量2π

便发生一个完整循环，自振周期就是：

单位时间内的循环次数称为自振频率：

运动的角速度称为自振圆频率：1920单摆运动例题21§2-3有阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系

特征方程：自由振动方程：∵

则：随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。（2-2）221）临界阻尼当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：

特征方程的根：

这时，对应的s

值为：自由振动方程：临界阻尼自由振动方程的解为：（2-19）（2-20）（2-2）23由初始条件：得到临界阻尼体系反应的最终形式：

临界阻尼位移解：临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的V0，依照指数规律衰减，回复到零点。临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。速度（2-20）242）低阻尼

特征方程：自由振动方程：引入符号：（2-2）如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有

，这时，特征方程根式中的值必然为负值，则s值成为：其中

表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：25成为：低阻尼自由振动方程：的解为：

引入Euler方程：引入符号：其中wd

称为有阻尼振动频率。则（2-25）则26利用初始条件：得到低阻尼体系动力反应的最终形式：

（2-25）27写成矢量表达式：运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：（2-27）低阻尼体系动力反应：

28物理意义：低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率ωd，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xωt

衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。293031参考：李杰,李国强.地震工程学导论[M].地震出版社,1992.3）超阻尼体系

特征方程：自由振动方程：如果体系的阻尼比临界阻尼大，则显然有c/2m>ω

，这时，特征方程根式中的值为正值，则s值成为：（2-2）（2-38）32超阻尼体系反应不是震荡的，体系的位移反应从开始时的，依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较临界阻尼时更快。33确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：阻尼体系动力反应：体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：取对数后：34（2-35）阻尼很小时：体系阻尼的测试：2）计算阻尼比：确定结构体系阻尼的其它方法。1）实测体系经过n个周期后的位移幅值比：3）计算阻尼系数：（2-36）模态参数识别35计算图示刚架的阻尼系数已知：

柱子无重、刚性梁；

F=90kN使大梁产生5mm的初位移；摆动1周后的位移4mm；周期为1.4s.[解]确定梁的有效质量:36计算阻尼系数：阻尼特性:确定体系的自振频率:六周以后振幅：37作业Clough教材：P26:2-1、2-2、2-3Chopra教材2.1、2.4、2.7、2.13

后续课程的预习(第2-5章)382­1COMPONENTSOFTHEBASICDYNAMICSYSTEMTheessentialphysicalpropertiesofanylinearlyelasticstructuralormechanicalsystemsubjectedtoanexternalsourceofexcitationordynamicloadingareitsmass,elasticproperties(flexibilityorstiffness),andenergy­-lossmechanismordamping.InthesimplestmodelofaSDOFsystem,eachofthesepropertiesisassumedtobeconcentratedinasinglephysicalelement.AsketchofsuchasystemisshowninFig.2­-1a.Theentiremassmofthissystemisincludedintherigidblockwhichisconstrainedbyrollerssothatitcanmoveonlyinsimpletranslation;thus,thesingledisplacementcoordinatev(t)completelydefinesitsposition.Theelasticresistancetodisplacementisprovidedbytheweightlessspringofstiffnessk,whiletheenergy­-lossmechanismisrepresentedbythedamperc.Theexternaldynamicloadingproducingtheresponseofthissystemisthetime­-varyingforcep(t).392­3INFLUENCEOFGRAVITATIONALFORCESComparisonofEqs.(2­11)and(2­3)demonstratesthattheequationofmotionexpressedwithreferencetothestatic­equilibriumpositionofthedynamicsystemisnotaffectedbygravityforces.Forthisreason,displacementsinallfuturediscussionswillbereferencedfromthestatic­equilibriumpositionandwillbedenotedv(t)(i.e.,withouttheoverbar);thedisplacementswhicharedeterminedwillrepresentdynamicresponse.Therefore,totaldeflections,stresses,etc.areobtainedbyaddingthecorrespondingstaticquantitiestotheresultsofthedynamicanalysis.FIGURE2-2402­4INFLUENCEOFSUPPORTEXCITATIONDynamicstressesanddeflectionscanbeinducedinastructurenotonlybyatime­varyingappliedload,asindicatedinFigs.2-­1and2-­2,butalsobymotionsofitssupportpoints.Importantexamplesofsuchexcitationarethemotionsofabuildingfoundationcausedbyanearthquakeormotionsofthebasesupportofapieceofequipmentduetovibrationsofthebuildinginwhichitishoused.Asimplifiedmodeloftheearthquake­-excitationproblemisshowninFig.2-­3,inwhichthehorizontalgroundmotioncausedbytheearthquakeisindicatedbythedisplacementvg(t)ofthestructure'sbaserelativetothefixedreferenceaxis.FIGURE2-341ThusEq.(2­-31)becomes

(2-­33)Thissolutionrepresentsasimpleharmonicmotion(SHM)andisportrayedgraphicallyinFig.2­-7.Thequantity,whichwehaveidentifiedpreviouslyastheangularvelocity(measuredinradiansperunitoftime)ofthevectorsrotatinginthecomplexplane,alsoisknownasthecircularfrequency.Thecyclicfrequency,usuallyreferredtoasthefrequencyofmotion,isgivenby

(2-­34)Itsreciprocal

(2­-35)2­5ANALYSISOFUNDAMPEDFREEVIBRATIONS42Thetruedampingcharacteristicsoftypicalstructuralsystemsareverycomplexanddifficulttodefine.However,itiscommonpracticetoexpressthedampingofsuchrealsystemsintermsofequivalentviscous-­dampingratioswhichshowsimilardecayratesunderfree­vibrationconditions.Therefore,letusnowrelatemorefullytheviscous-­dampingratiotothefree­-vibrationresponseshowninFig.2­-11.Whendampedfreevibrationsareobservedexperimentally,aconvenientmethodforestimatingthedampingratioistocountth