专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）（原卷版）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题目录01倍长定比分线模型 202倍角定理 303角平分线模型 404隐圆问题 605正切比值与和差问题 706四边形定值和最值 807边角特殊，构建坐标系 1008利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 1209利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 1310三角形中的几何计算 1711三角形的形状判定 1801倍长定比分线模型1．（2023·四川成都·统考一模）在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则，.2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满足____．(1)求；(2)若的面积为在边上，且，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．

(1)求边、的长度；(2)求的面积；(3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．02倍角定理5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．在锐角中，角所对的边分别为，且________．(1)证明：；(2)求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)证明：；(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．7．（2023·湖南·高三校联考期末）记的内角的对边分别为，已知，且.(1)证明：；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.03角平分线模型8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，已知．(1)求角和角之间的等式关系；(2)若，为的角平分线，且，的面积为，求的长．9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且(1)求角A的值；(2)若，BC边上的中线长为1，为角A的角平分线，求的长．10．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．11．（2023•甲卷）在中，，，，为上一点，为的平分线，则．12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．04隐圆问题14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为.15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为.16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹”，设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，的一个阿氏圆上，且，的面积为，则.17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（

）A．6 B．10 C．12 D．205正切比值与和差问题18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（

）A． B．C．的面积为 D．的周长为20．（2023·湖北·统考一模）锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③；④有最小值8.其中结论正确的是A．1 B．2 C．3 D．421．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，求的值．06四边形定值和最值22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．(1)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形中，，，，.(1)若，求的面积.(2)求的最大值.24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.

(1)求的大小；(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．(1)求；(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在四个点分别建造了供老年人活动的器械.四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了，，，，，六条步行道，其中，，，.设，，为四边形的面积.

(1)若，求的值:(2)求的最大值，并求取到最大值时的值.27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，

(1)若，，求的值；(2)若，四边形ABCD面积为4，求的值．07边角特殊，构建坐标系28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为．29．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，，．若，在所在的平面内存在点，使得，则的面积的最大值为．30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为．31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是.32．（2023·全国·高三专题练习）为等边内一动点，且，则的最小值为．33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形中，为中点，为三角形内满足的动点，则最小值为.34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（

）A．的最大值为B．当，时，不可能是直角三角形C．当，，时，的周长为D．当，，时，若为的内心，则的面积为35．（2023·福建·统考模拟预测）在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为（

）A． B．25 C． D．08利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在中，所对的边分别为，且，(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数(1)当，求的最值，及取最值时对应的的值；(2)在中，为锐角，且，求的面积．38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.(1)求角；(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积.39．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若的面积为，求a的最小值；(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.(1)求角A；(2)若，的面积为，求的周长.09利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求证：；(2)求的取值范围．42．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．43．（2020•新课标Ⅱ）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．44．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，.(1)求角；(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列．(1)若，求角C；(2)若的面积为S，求的取值范围．47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角的垂心，为三角形的三条高线，且满足.(1)求的值.(2)求的取值范围.48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形中，为边的中点．

(1)若，求的面积；(2)求的最大值．49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形中，，，，.

(1)若，求；(2)求的最大值.50．（2023·山东青岛·高三统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)若，求C；(2)若，且，求的最小值．10三角形中的几何计算51．（2023·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形中，对角线交于点，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求边的长.52．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.

(1)求CO的长；(2)若，求的面积.53．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；(2)若