中考数学总复习《角形中位线综合》专题训练（附答案）

第第页中考数学总复习《角形中位线综合》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．2．如图1，中，点分别在边上，，点G在线段上，，．

（1）填空：与相等的角是_____；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明；（3）若（如图2），求的值．3．如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N．（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点E在上运动时，的大小是否变化？为什么？4．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．(1)当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；(3)在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．5．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．6．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．7．（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．（3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．8．如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

9．如图1，在四边形中，和相交于点O，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．10．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)11．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．答案：1．（1）在中，．根据旋转性质可知，即为等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如图，作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即点D为中点．∵点E为AC中点，∴DE为的中位线，∴，即要使DE最小，最小即可．根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．∴此时，即DE最小值为1．2．解：（1）

故答案为：（2）理由如下：在上取点，使连接，，四边形是平行四边形，为的中位线，

（3）如图，在上取点，使连接，同理可得：四边形是平行四边形，为的中位线，设，设

3．解：（1）连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；（2）连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD=∠CFD=∠AFC，∵AF=CF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，∴∠ABF=∠CEF，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=∠CEF=30°，为定值.4．（1）解：结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DME+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）解：如图2中，连接AF、EC．∵△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△ADE是等边三角形，F为DE的中点，∴AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF==，∴BD=CE=BF﹣DF=，∵F、H分别为DE，CD的中点，∴FH=EC=．（3）解：存在．理由如下．由（1）可知，△FGH是等边三角形，GF=BD，∴△FGH的周长=3GF=3FH=，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．5．（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠CDE．∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：.∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠EDC．∵∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠DAF=90°∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由是：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H．∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，，∴四边形OHQG是平行四边形．∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形．∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°∴∠HQG=∠AOD=90°∴四边形MNPQ是正方形．6．解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA与△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值为CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案为：；②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN，∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形，设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．7．证明：（1）的中点，是的中点，.同理，.，..（2）的中点，是的中点，，.同理，.由（1）可知，.（3）是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，，是的中点，，.同理，，.，..，，.，.又，是等边三角形，.又，.，.是直角三角形.故答案为：是直角三角形.8．解：图②中，图③中，图②证明如下：如图②所示，连接，∵点F，G分别是的中点，∴是的中位线，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；

图③证明如下：如图③所示，连接，∵点F，G分别是的中点，∴是的中位线，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．

9．（1）证明：∵，∴BC∥AD，在△AOD和△COB中：，∴△AOD≌△COB(ASA)，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）解：∵点E、F分别为BO和CO的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴；∵ABCD为平行四边形，∴BD=2BO，又已知BD=2BA，∴BO=BA=CD=OD，∴△DOC与△BOA均为等腰三角形，又F为OC的中点，连接DF，∴DF⊥OC，∴∠AFD=90°，又G为AD的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：；过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示：由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，∴HC=HO+OC=4+8=12，在Rt△BHC中，由勾股定理可知,∵H为AO中点，G为AD中点，∴HG为△AOD的中位线，∴HG∥BD，即HG∥BE，且，∴四边形BHGE为平行四边形，∴GE=BH=9，∴．10．连接A、C∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点∴HG∥ACEF∥AC,∴HG∥EF又HG=EF=AC∴四边形EFGH是平行四边形．11．试题分析：根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．试题解析：证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF（SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线