2022年中考数学压轴题押题含答案解析

2022年中考数学压轴题

1.图①，二次函数¥=0?+如+。(aWO)的图象经过点A(-1,0),并且与直线y=；x-2

相交于坐标轴上的B、C两点，动点尸在直线BC下方的二次函数的图象上.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图①，连接PC,PB,设△PC8的面积为S,求S的最大值；

(3)如图②，抛物线上是否存在点。，使得NABQ=2NABC?若存在，则求出直线BQ

的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)对于直线-2,

令x=0,则y=-2,

1

令y=0,Bp-x-2=0,解得：x=4,

故点8、C的坐标分别为(4,0)、(0,-2),

抛物线过点A、8两点，则(x+1)(x-4),

将点C的坐标代入上式并解得：

故抛物线的表达式为产系-|x-2①；

(2)如图2,过点P作尸，〃y轴交8c于点H,

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1a1

设点P(x,5/-尹-2),贝嘴"(x，-X-2),

11(-x-2-#+|^+2)=-X2+4X,

5=S&PH/S»HC=《PHTXB-xc)=x4X

V-1<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为4；

(3)①当点。在BC下方时，如图2,

图2

延长8Q交y轴于点H,过点C作SCLBC交x轴于点R,交8Q于点S,过点S作SK

_Lx轴于点K,

VZABQ=2ZABC,则BC是NAB”的角平分线，则为等腰三角形，

则点C是RS的中点，

设RC=x=SB应改为RC=x=CS.

nr1nr

在△8OC中，tan/O5C=^=»=tan/ROC=浣，

则设RC=x=CS,则BC=2x,则RB=y/x2+(2x)2=瓜=BS,

在△SRB中,5A/?5B=IXSR'BC=|xBR-SK,即x2x・2x=加•底•，解得：KS=,

4x

7F4.4

：.sinZRBS=则tan/R8H=l

BbV5x53

在Rtz^OBH中，0H=0B・tanNMH=4x,=¥，则点”(0,一学)，

由点B、”的坐标得，直线BH的表达式为y=gGT)②，

联立①②并解得：x=4(舍去)或|,

当工=前寸，y=-半故点0弓，-等；

②当点。在BC上方时,

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同理可得：点。的坐标为(一斗11，—92

综上，点Q的坐标为(|,-挚或(-导,1).

2.如图，抛物线y=-7+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与)，轴交于点C.点

D是直线BC上方抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接B。、CD,设点。的横坐标为机，△BCO的面积为s.试求出s与机

的函数关系式，并求出s的最大值；

(3)如图2,设AB的中点为E,作DF1BC,垂足为F,连接CD、CE,是否存在点D,

使得以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

MJ

/TvTr

图1图2

解：(1)•..抛物线y=-x1+bx+c与x轴交于点A(：-1,0),B(3,0)

-'•y--(x+1)(x-3)=-7+2%+3

.••抛物线解析式为y=-/+2x+3

(2)过点。作。M〃y轴，交BC于点M

,当x=0时，y--xz+2x+3—3

：.C(0,3)

直线BC解析式为y=-x+3

-r?r+2m+3),M(zn,-m+3)

:.DM=~z??2+2m+3-(-m+3)=-n^+3m

...s=20B'DM=/-根+3加=-乃+产=Y；(m-(0V/x<3)，

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329

加

亍+-

•,'S与机的函数关系式为$=2S的最大值为

(3)存在点£>,使得以C、D,F三点为顶点的三角形与△CEO相似

如图2,连接2。

设点D的横坐标为m,

•.•点E为AB中点，A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

：.E(1,0),OE=1,OC=3,CD2=W2+(-;n2+2w+3-3)2

CE=y/OE2+OC2=Vl2+32=V10

../“AOF1710/“aOC33\T0

•♦sm/℃E=^=厮=R,cosN°CE=^=质="

,:BC=7OB2+OC2=3a,DFVBC

-1QQ

・••由(2)知，面积s=5BC・QE=为

.八厂2s—37n2+9m—m24-3m

-DP=BC=-375=-

；以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CE。相似，ZCFD=ZC<?E=90°

△△或△△

CFDsCOECF£)sEQC

①若△CFQS/XCOE,则//CD=NOCE

...™DF同

・・sin/Nc〃C/9==-JQ-

・•・10DF2=CD2

-m2+3m、

A10(-------p----)2=nr+(-m2+2/n)2

V2

解得："?i=4(舍去)，加2=|

o257

-〃，+2加+3=--+5+3=4

57、

(一，一)

24

②若△CFOS^EOC,则NF7X?=NOC£

.DF3710

..COSz_r£/C==I。

・・・10。产=9。。2

-m2+3mioco

A10(——尸一)2=92+(-〃？+2m)勺

72

解得：如=0(舍去)，mi—|

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915

-nr0+2fn+3=—.+3+3=才

57315

二点。的坐标为(?「或亏7

(3,0)

(1)求抛物线的解析式

(2)点。为抛物线的顶点，£>E，x轴于点E,点N是线段£>E上一动点

①当点N在何处时，△CAN的周长最小？

②若点M(〃7,0)是x轴上一个动点，且/MNC=90°,求〃?的取值范围

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解：(1)函数的表达式为：y=a(x+l)(x-3)=a(?-2x-3),

故-3a=-3,解得：a—\,

故函数的表达式为：y=?-2x-3;

(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,-3),连接AC'交OE于点N,

将点4、C的坐标代入一次函数表达式：产履+b得：〔/=气心，解得：*二一；

故直线AC'的表达式为：y=-X-1,

当x=l时，y=-2,

故点N(l,-2)；

②如图2,过点C作CG_LEO于点G,

设NG=n,则NE=3-〃，

•・・NCNG+NGCN=90°,NCNG+NMNE=9U0,

:・/NCG=/MNE,

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则tanNNCG=〃=tanNMNE=产,

故ME=-/+3小

A-1<0,故ME有最大值，当”=|时，ME=l，

zq

则m的最小值为：—梳；

如下图所示，当点N与点。处时，〃?取得最大值,

同理可得：m=5；

故：一.-7W故5.

4.如图，A8是。。的直径，点C是0。上一点(与点A,B不重合)，过点C作直线PQ,

使得NACQ=/4BC.

(1)求证：直线PQ是。。的切线.

(2)过点A作AOUQ于点。，交。。于点E,若。。的半径为2,sin/DAC另，求

图中阴影部分的面积.

解：(1)证明：如图，连接0C,

是00的直径,

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AZACB=90°,

•：OA=OC,

：.ZCAB=ZACO.

ZACQ=ZABC,、----/

AZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即。C_LPQ,

・•.直线PQ是。。的切线.

(2)连接OE,

1

VsinZDAC=^,ADVPQ,

：.ZDAC=30°，ZACD=60°.

AZABC=ZACD=60°,

：.ZCAB=90°-60°=30°,

AZEAO=ZDAC+ZCAB=60°,

又・.・O4=OE,

••.△4E。为等边三角形，

AZAOE=60°.

•*•5阴影=S扇形-SAAEO

i

=S扇形一方OA・OE・sin60°

607rc21eveA/3

360X2-2X2X2XT

4-收

图中阴影部分的面积为弓-V3.

5.如图，在△A8C中，/AC2=90°,将AABC沿直线A8翻折得到△45D,连接CD交

AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.尸是△BOE的外接圆与4。的另一个交点，

连接E凡BF.

(1)求证：是直角三角形；

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(2)求证：ABEFsABCA：

(3)当A5=6,BC=机时，在线段CM上存在点£使得EF和A5互相平分，求相的

值.

备用图

(1)证明：VZACB=90°,将△ABC沿直线A8翻折得到△48。,

AZADB=ZACB=90°,

•：/EFB=NEDB,NEBF=NEDF,

・•・NEFB+NEBF=NEDB+NEDF=NADB=9U°,

AZBFF=90°,

•••△BE尸是直角三角形.

(2)证明:・：BC=BD,

:・/BDC=/BCD,

•：/EFB=/EDB,

:・/EFB=/BCD,

\'AC=AD,BC=BD,

：.AB-LCD,

：.ZAMC=90°,

,/ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:・/BCD=/CAB,

；・NBFE=NCAB,

•；NACB=NFEB=90°,

:•△BEFSABCA.

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(3)解：设EF交A3于连接

・・・EF与AB互相平分，

,四边形AFBE是平行四边形，

：.ZEFA=ZFEB=90°,BPEF±ADf

VB£>±AD,

:,EF〃BD,

a：AJ=JB,

：.AF=DF9

：.FJ=y,

；・EF=m,

*/dABCsACBM,

：.BC：MB=AB：BC,

巾2

：.BM=

o

■:ABEJs/\BME,

：.BE：BM=BJ：BE,

m

•・•BoEr=&

VABEF^ABCA,

eACBC

EFBE

即出亘！=霁,

m&

解得团=2次(负根己经舍弃).

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6.如图1,已知四边形4BCO是菱形，G是线段CO上的任意一点时，连接8G交AC于凡

FHFG

过F作FH〃CD交BC于H,可以证明结论一=­成立.(考生不必证明)

ABBG

(1)探究：如图2,上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是

否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(2)计算：若菱形ABCQ中AB=6,ZA£)C=60°,G在直线CD上，且CG=16,连

接3G交AC所在的直线于F,过F作切〃交BC所在的直线于4,求3G与FG的

长.

(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线C。上时,结论方=

B

DL~f^JCG)1——乂

图1图2

FHFG

【解答】解：⑴结论方=正成立

证明：由己知易得

.FH_HC

••1―，

ABBC

HCFG

•:FH〃GC,—=—

BCBG

.FHFG

"AB~BG'

(2)在直线CD上,

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，分两种情况讨论如下：

①G在8的延长线上时，QG=10,

如图1,过B作3Q_LCO于Q,

由于四边形A8CD是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6.ZBCQ=60°,

:,BQ=3®CQ=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

FHBH

又由F”〃GG可得二

GCBC

而△。尸”是等边三角形，

:・BH=B—HC=BC-777=6-FH,

.FH6-FH

*16-6

48

：

.FH=Tl,

八FHFG

由(1)知--=

ABBG

,口「FHBG48196y16r^=

..FG=r-=五％・2配=五版.

②G在OC的延长线上时，CG=16,

如图2,过8作BQ_LCG于Q,

:四边形A8C。是菱形，ZADC=60°,

.'.BC=AB=6,NBCQ=60°.

:*BQ=3痘,CQ=3.

：.BG=132+(3V3)2=14.

FHBH

又由F”〃CG,可得丁=

GCBC

.FHBH

*16-6

♦：BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

：.FH=T-

，：FH〃CG,

.BFFH

…BG~CG

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4842

.*.BF=14x-^-16=-^.

；.FG=14+等=弩.

FH488

⑶G在OC的延长线上时，而=g+6=g,

FG1128

—=---+14=一，

BG55

FH尸G一

，--=---成乂.

ABBG

FHPC

结合上述过科发现G在直线cn上时，结论布=而还成立.

7.如图，在平面直角坐标系中，OBLOA,且08=204,点A的坐标是（-1,2）

（1）求点B的坐标