2019年吉林省中考数学试卷

2019年吉林省中考数学试卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）

44^—*

A.3B.2C.ID.-1

2.（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）

正面

c.m.口口।

3.（2分）若。为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）

A.a+\B.。-1C.〃X1D.a-r-1

4.（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角

度至少为（）

A.30°B.90°C.120°D.180°

5.（2分）如图，在00中，窟所对的圆周角NAC8=50°,若尸为面上一点，/AOP=

55°,则NPOB的度数为（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

6.（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于

游人更好地观赏风光.如图，A、8两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度,

其中蕴含的数学道理是（）

B

A.两点之间，线段最短

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.垂线段最短

D.两点确定一条直线

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.（3分）分解因式：«2-1=.

8.（3分）不等式3x-2>l的解集是

9.（3分）计算：•三=______.

2x2V

10.（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2=。有实数根，则c的值可以为（写

出一个即可）.

11.（3分）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作EO〃8c若/BAC=70°,

12.（3分）如图，在四边形ABCQ中，AB=10,BDLAD.若将△BCQ沿BQ折叠，点C

与边A8的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为

B

13.（3分）在某一时刻，测得一根高为18"的竹竿的影长为3,“，同时同地测得一栋楼的

影长为90«,则这栋楼的高度为m.

14.（3分）如图，在扇形OAB中，NAOB=90°.D,E分别是半径。4,08上的点，以

0D,0E为邻边的oOOCE的顶点C在源上.若00=8,0£=6,则阴影部分图形的面

积是（结果保留n）.

B.__

DA

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）先化简，再求值：（4-1）2+。（4+2）,其中4=我.

16.（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋

中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一

把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手

绢都是红色的概率.

乙口袋

17.（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当x=4时，求y的值.

18.（5分）如图，在口A8C£＞中，点E在边AO上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边

BC于点、F,连接BE、DF.求证：AABE岭ACDF.

D

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.（7分）图①，图②均为4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图①

中已画出线段4B,在图②中已画出线段C。，其中A、B、C、。均为格点，按下列要求

画图：

（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形4EBF,且E,尸为格点；

（2）在图②中，以CC为对角线画一个对边不相等的四边形CGCH,且G,〃为格点，

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹

签上.如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7

根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳

现有“根竹签，b个山楂.若每根竹签串c个山楂，还剩余，/个山楂，则下列等式成立的

是（填写序号）.

（1）bc+d—a；（2）ac+d=b；（3）ac-d—b.

21.（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花

洒AC的长为30c"，与墙壁的夹角NC4。为43。.求花洒顶端C到地面的距离CE（结

果精确到1cM.（参考数据：sin精。=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93）

BE

22.（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查

该地区居民“获取信息的最主要途径”.

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查.

其中最具有代表性的一个方案是;

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有：电脑、手机、

电视、广播、其他，共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘

制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为人；

②统计图中人数最多的选项为；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的

23.（8分）甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车

继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到8地.甲、乙两车距B地的路程y

（km）与各自行驶的时间x⑺之间的关系如图所示.

(1)m=，n=；

(2)求乙车距8地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

(3)当甲车到达8地时，求乙车距8地的路程.

24.(8分)性质探究

如图①，在等腰三角形48c中，N4CB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为.

理解运用

(1)若顶角为120。的等腰三角形的周长为8+4、石，则它的面积为；

(2)如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH.

①求证：NEFG+NEHG=NFGH；

②在边尸G,GH上分别取中点M,N,连接MN.若/FGa=120°,E尸=10,直接写

出线段的长.

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含a的式子表示).

图①图②

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.(10分)如图，在矩形ABC。中，AD=4cm,AB^3cm,E为边BC上一点，BE=AB,

连接AE.动点尸、Q从点A同时出发，点P以、历的速度沿AE向终点E运动；点Q

以Icmls的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点。运动的时间为x(s),在运动过

程中，点P，点。经过的路线与线段尸。围成的图形面积为y&7*2).

(1)AE=cm,ZEAD=°；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当"2=至£"7时，直接写出x的值.

4

(备用图)

26.(10分)如图，抛物线y=(x-1)2+%与*轴相交于A,B两点(点A在点8的左侧),

与y轴相交于点C(0,-3).尸为抛物线上一点，横坐标为〃?，且〃？＞0.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；

(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点尸)最高点与最低点的纵坐标之

差为小

①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②当力=9时，直接写出ABCP的面积.

2019年吉林省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）

X;-

A.3B.2C.1D.-1

【考点】13：数轴.

【分析】直接利用数轴得出结果即可.

【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1,

故选：D.

【点评】本题考查了数轴、根据数轴-1是解题关键.

2.（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示:

故选：D.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.（2分）若。为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）

A.。+1B.1C.。义1D.心1

【考点】2A：实数大小比较.

【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数

小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比

较便可.

【解答】解：A.“+1>〃，选项错误；

B.a-\<a,选项正确；

C.aX\-a,选项错误；

D.a-i-1=a,选项错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1,减1,乘1,除以1,

值的大小变化规律.基础题.

4.（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角

度至少为（）

A.30°B.90°C.120°D.180°

【考点】R3：旋转对称图形.

【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解.

【解答】解：；360°+3=120°,

旋转的角度是120°的整数倍，

旋转的角度至少是120°.

故选：C.

【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120。的整数倍是解题的

关键.

5.（2分）如图，在00中，窟所对的圆周角/ACB=50°,若P为近匕一点，乙4。尸=

55°,则NPOB的度数为（)

o

B

A.30°B.45°C.55°D.60°

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理.

【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出NAOB的度数，进而由角的和差求得结果.

【解答】解：VZACB=50°,

/.ZAOB=2ZACB=100°,

VZAOP=55°,

AZFOB=45°,

故选：B.

【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心

角等于它所对的圆周角的2信倍.

6.（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于

游人更好地观赏风光.如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度,

其中蕴含的数学道理是（）

B

A.两点之间，线段最短

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C,垂线段最短

D.两点确定一条直线

【考点】1B：直线的性质：两点确定一条直线；IC：线段的性质：两点之间线段最短;

J4：垂线段最短；J8：平行公理及推论.

【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案.

【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点

之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程.

故选：A.

【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关

键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

7.(3分)分解因式：“2-1=分.

【考点】54：因式分解-运用公式法.

【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式.平方差公式：

=(«+/?)(a-b).

【解答】解：a2-1=(«+1)(a-1).

故答案为：(a+1)(a-1).

【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键.

8.(3分)不等式3x-2>l的解集是x>l.

【考点】C6：解一元一次不等式.

【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3,不等号的方向不变.

【解答】解：：3x-2>l,

，3x>3,

1,

二原不等式的解集为：x>l.

故答案为X>1.

【点评】本题考查了不等式的性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

9.(3分)计算：•三=-L.

2x2y-2x-

【考点】6A：分式的乘除法.

【分析】根据分式乘除法的法则计算即可.

【解答】解：•3=工，

2x2y2x

故答案为：工.

2x

【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键.

10.（3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2=c有实数根，则C的值可以为5（答案不

唯一，只有c20即可）（写出一个即可）.

【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法.

【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△》（），由此可以得到关于c的不等式，解

不等式就可以求出c的取值范围.

【解答】解：一元二次方程化为/+6x+9-c=0,

=△=36-4（9-c）=4c20,

解上式得c》0.

故答为5（答案不唯一，只有c20即可）.

【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围.

11.（3分）如图，E为△ABC边。延长线上一点，过点E作EO〃BC.若NBAC=70°,

【考点】JA：平行线的性质.

【分析】利用平行线的性质，即可得到/"£>=/C=50°,再根据三角形内角和定理，

即可得到的度数.

【解答】解：：EO〃BC,

：.ZCED=ZC=50°,

又,.•/B4C=70°,

.,.△ABC中，ZB=180°-50°-70°=60°,

故答案为：60.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等.

12.（3分）如图，在四边形A8CZ）中，A8=10,BDLAD.若将△BCD沿8。折叠，点C

与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为20.

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到OE=BE=LB=5,再根据折叠

2

的性质，即可得到四边形BCOE的周长为5X4=20.

【解答】解：点E是A8的中点，

：.DE^BE=1AB=5,

2

由折叠可得，CB=BE,CD=ED,

：.四边形BCDE的周长为5X4=20,

故答案为：20.

【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图

形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

13.（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8巾的竹竿的影长为3机，同时同地测得一栋楼的

影长为90，”，则这栋楼的高度为54m.

【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影.

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.

【解答】解：设这栋楼的高度为/加，

•.•在某一时刻，测得一根高为1.8机的竹竿的影长为3机，同时测得一栋楼的影长为60根,

解得人=54（/„）.

390

故答案为：54.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题

的关键.

14.（3分）如图，在扇形OAB中，NAOB=90°.D,E分别是半径04,08上的点，以

OD,OE为邻边的。OOCE的顶点C在标上.若00=8,OE=6,则阴影部分图形的面

积是25n-48（结果保留IT）.

【考点】L5：平行四边形的性质；M0：扇形面积的计算.

【分析】连接0C，根据同样只统计得到口ODCE是矩形，由矩形的性质得到/0£>C=

90°.根据勾股定理得到OC=10,根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：连接。C,

VZAOB=90°,四边形OCCE是平行四边形，

.”OQCE是矩形，

：.ZODC^90°.

"：OD=8,0E=6,

；.OC=10,

2

...阴影部分图形的面积=那乎Xl°.8X6=25"-48.

360

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅

助线是解题的关键.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）先化简，再求值：（a-1）2+a（。+2）,其中。=圾.

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结

果，把。的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式-2。+1+。2+2。=2/+1,

当历时，原式=5.

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋

中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一

把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手

绢都是红色的概率.

CP

甲口袋乙口袋

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可

能，由概率公式即可得出结果.

【解答】解：画树状图如下:

共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，

则取出的扇子和手绢都是红色的概率为

4

开始

1

甲型屈子绿色扇子

乙红色手绢绿色手绢红色手绢绿色手绢

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的

事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

17.（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.

（1）求），关于x的函数解析式；

（2）当x=4时，求y的值.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征：G7：待定系数法求反比例函数解析式.

【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;

（2）直接利用x=4代入求出答案.

【解答】解：（1）y是1的反例函数,

所以，设产其&卉0>

X

当x=2时，y=6.

所以，k=xy—12,

所以，

（2）当x=4时，y=3.

【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关

键.

18.（5分）如图，在DABCO中，点E在边A。上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边

【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质.

【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解答】证明：由题意可得：AE=FC,

在平行四边形ABCD中，AB^DC,/A=/C

'AE=CF

在△4BE和△<:£）尸中，，ZA=ZC>

AB=CD

所以，A4BE丝△CQF（SAS）.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图

方法是解题关键.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.（7分）图①，图②均为4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图①

中已画出线段AB,在图②中已画出线段8,其中A、B、C、。均为格点，按下列要求

画图：

（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,尸为格点；

（2）在图②中，以CO为对角线画一个对边不相等的四边形CGO4,且G,”为格点，

NCGD=NCHD=90°.

【考点】LA：菱形的判定与性质；N4：作图一应用与设计作图.

【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）.

（2）利用数形结合的思想解决问题即可.

图①图②

【点评】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

20.（7分）问题解决

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹

签上.如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7

根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳

现有4根竹签，〃个山楂.若每根竹签串c个山楂，还剩余4个山楂，则下列等式成立的

是（2）（填写序号）.

（1）bc+d=a；（2）ac+d=b；（3）ac-d=b.

【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用.

【分析】问题解决设竹签有X根，山楂有y个，由题意得出方程组：［5x+4=y,解

|8（x-7）=y

方程组即可；

反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d=b即可.

【解答】问题解决

解：设竹签有X根，山楂有y个，

由题意得：俨+4可，

l8（x-7）=y

解得：卜二20,

|y=104

答：竹签有20根，山楂有104个；

反思归纳

解：•••每根竹签串c个山楂，还剩余”个山楂，

贝！］ac+d=b,

故答案为：（2）.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出

方程组是解题的关键.

21.（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花

洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角ZCAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE（结

果精确到1cM.（参考数据：sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93）

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【分析】过C作CFLA8于F,于是得到NAFC=90°,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过C作CELA8于尸，

则NAFC=90°,

在RtZ\4C尸中，AC=30,NC4尸=43°,

：cos/CAF=^,

AC

AF=AC・cos/CAF=30X0.73=21.9,

CE=BF=AB+AF^170+21.9=191.9心192（cm）,

答：花洒顶端C到地面的距离CE为192CT?.

170

，h-

BE

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函

数的定义，本题属于中等题型.

22.（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查

该地区居民“获取信息的最主要途径”.

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查.

其中最具有代表性的一个方案是方案三；

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有：电脑、手机、

电视、广播、其他，共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘

制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调杳的居民人数为1000人:

②统计图中人数最多的选项为手机；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的

【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图;W5：众数.

【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可;

(2)①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；

②从统计图中找出人数最多的选项即可；

③用80X该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人

数所占的百分比即可得到结论.

【解答】解：(1)最具有代表性的一个方案是方案三，

故答案为：方案三；

(2)①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90=1000人；

②统计图中人数最多的选项为手机；

(3)8OX260+400=528万人，

1000

答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数

52.8万人.

故答案为：1000,手机.

【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体.

五、解答题(每小题8分，共16分)

23.(8分)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车

继续以原速行驶到8地，乙车立即以原速原路返回到8地.甲、乙两车距B地的路程y

与各自行驶的时间x(〃)之间的关系如图所示.

(1)m=4,n=120；

(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程.

【考点】FH：一次函数的应用.

【分析】(1)观察图象即可解决问题;

(2)运用待定系数法解得即可；

(3)把x=3代入(2)的结论即可.

【解答】解：（1）根据题意可得加=2X2=4,"=280-2（280+3.5）=120；

故答案为：4；120；

（2）设y关于尤的函数解析式为（0Wx<2）,

因为图象经过（2,120）,

所以2k=120,

解得k=60,

所以y关于x的函数解析式为y=60x,

设y关于x的函数解析式为）=%》+人（2WxW4）,

因为图象经过（2,120）,（4,0）两点，

f2k.+b=120

所以，，

4k[+b=0

解得--6。，

上二240

所以y关于x的函数解析式为y--60.r+240（2WxW4）；

（3）当x=3.5时，y=-60X3.5+240=30.

所以当甲车到达8地时，乙车距8地的路程为30km.

【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定

函数的解析式.

24.（8分）性质探究

如图①,在等腰三角形ABC中，/ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为—近

理解运用

（1）若顶角为120。的等腰三角形的周长为8+4\公，则它的面积为_工运一；

（2）如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH.

①求证：NEFG+NEHG=NFGH；

②在边尸G,G以上分别取中点M，N,连接若NFG〃=120°,EF=10,直接写

出线段MN的长.

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sina(用含a的式子表示).

图①图②

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】性质探究

作CD_LA8于£>,则/AOC=NB£)C=90°,由等腰三角形的性质得出40=2。，ZA

=NB=30°,由直角三角形的性质得出AC=2CD,AD=^CD,得出AB=2AD=

2MCD,即可得出结果；

理解运用

(1)同上得出则AC=2CD,AD=MCD,由等腰三角形的周长得出4CD+2y/3CD^

8+4A/3>解得：CD=2,得出AB=4/5，由三角形面积公式即可得出结果；

(2)①由等腰三角形的性质得出NEFG=NEG尸，NEGH=NEHG,得出NEFG+/E4G

=NEGF+NEGH=ZFGH即可；

②连接FH,作EP_LFH于P,由等腰三角形的性质得出PF=PH,由①得：NEFG+N

EHG=NFGH=120°,由四边形内角和定理求出/FEa=120°,由等腰三角形的性质

得出NEa/=30°,由直角三角形的性质得出PE=LEF=5,PF=MPE=5M，得出

2

FH=2PF=\GM，证明MN是△FG”的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；

类比拓展

作A。，8c于。，由等腰三角形的性质得出B£>=CD,NBAZ)=工/B4C=a,由三角函

2

数得出8£>=A8><sina,得出BC=2BC=2ABXsina,即可得出结果.

【解答】性质探究

解:作C£)_LAB于。，如图①所示：

则NADC=NB£)C=90°,

'：AC=BC,ZACB=120°,

：.AD=BD,/A=/B=30°,

：.AC=2CD,AD=yp3CD,

：.AB=2AD=2MCD,

.•.坐=四迎=仃

AC2CD

故答案为：

理解运用

(1)解：如图①所示：

同上得：AC=2C£),AD=MCD,

'：AC+BC+AB=S+4-/3,

：.4CZ)+2«C£>=8+4A/3，

解得：CD=2,

：.XABC的面积=^4BXCO=3X4b><2=4b；

故答案为：473

(2)①证明：；EF=EG=EH,

：.NEFG=NEGF,NEGH=ZEHG,

：.NEFG+NEHG=NEGF+NEGH=NFGH；

②解：连接尸”，作于P,如图②所示：

则PF=PH,由①得：NEFG+NEHG=NFGH=120°,

ZFE//=360°-120°-120°=120°,

；EF=EH,

；.NEFH=30°,

；.PE=LEF=5,

2

:.PF=MPE=50

:.FH=2PF=IQ炳,

•.•点M、N分别是FG、GH的中点，

:.MN是丛FGH的中位线，

:.MN=LFH=$M；

2

类比拓展

解：如图③所示：作AQ_L8C于。，

'：AB=AC,

：.BD=CD,ZBAD=kzBAC=a,

2

Vsina=-^5-,

AB

.*.BQ=A8Xsina,

：.BC=2BD=2ABXsina,

...坨=2AB・sina=2sEa；

ABAB

故答案为:2sina.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角

形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等

腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.

六、解答题（每小题10分，共20分）

25.（10分）如图，在矩形A8CZ）中，AD=4cm,AB^3cm,E为边BC上一点,BE=AB,

连接AE.动点尸、Q从点A同时出发，点P以上m/s的速度沿AE向终点E运动；点Q

以2cmis的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x（s）,在运动过

程中，点P,点。经过的路线与线段PQ围成的图形面积为了（c川）.

（1）AE=3V2_cw,NEAD=45°；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

（3）当尸。=身根时，直接写出x的值.

4

（备用图）

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求NEA。的度数;

（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；

（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解.

【解答】解：（1）,：AB=3cm,BE=AB=3cm,

：.AE^7AB2+BE2=35^CW'NBAE=NBEA=45°

NBA。=90°

：.ZDAE=45Q

故答案为：3、历，45

（2）当0VxW2时，如图，过点P作PFLAO,

"：AP=\]2>c,ZDAE=45°,PF1.AD

；.PF=x=AF,

.".y=S^PQA=—XAQXPF=x2,

2

(2)当2VxW3时，如图，过点尸作

DA

9：PF=AF=x,QD=2x-4

：.DF=4-x,

.\y=-l^2+-L(2x-4+x)(4-x)=-/+8x-8

22

当3VxW工时，如图，点尸与点£重合.

2

VCQ=(3+4)-2x=7-2x,CE=4-3=lcm

・・.y=L(l+4)X3-1(7-2x)Xl=x+4

22

(3)当0VxW2时

CEB

VQF=AF=x,PFLAD

：.PQ=AP

・・・尸。=互7力

4

4

・尸啦

8

当2<xW3时，过点尸作PM,CO

四边形MPFD是矩形

；.PM=DF=4-2x,MD=PF=x,

.\MQ=x-(2x-4)=4~x

'：MP1+MQ1=PQ1,

：.(4-2x)2+(4-x)2=空

16

VA<0

•♦•方程无解

当3<xW工时，

2

CE(P)B

'：P(^=CP1+CQ1,

.•.空=1+(7-2x)2,

16

.•・入r=25

8_

综上所述：x=空或隹

88

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性

质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

26.(10分)如图，抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,8两点(点A在点8的左侧),

与y轴相交于点C(0,-3).尸为抛物线上一点，横坐标为〃?，且〃?>0.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；

(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之

差为小

①求〃关于根的函数解析式，并写出自变量初的取值范围；

②当/?=9时，直接写出△BCP的面积.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)将点C(0,-3)代入尸(x-1)2+k即可；

(2)易求A(-1,0),8(3,0),抛物线顶点为(1,-4),当尸位于抛物线顶点时,

△4BP的面积有最大值；

(3))①当OCmWl时，h=-3-=-#+2〃?；当1<,〃W2时，〃=-1

-(-4)=1；当机>2时，h=nr-2m-3-(-4)—m1-2m+l；

②当人=9时若-序+2加=9,此时△<(),，"无解；若机2-2利+|=9,则相=4,则P(4,

5),ZiBCP的面积=1x8X4-LX5X1-Lx(4+1)X3=6；

222

【解答】解：(1)将点C(0,-3)代入)，=(x-1)2+k,

得k=-4,

...y=(x-1)2-4=/-2x-3；

(2)令y=0,x=-1或K=3,

，A(-1,0),B(3,0),

：.AB=4；

抛物线顶点为(1,-4),

当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，

S=yX4X4=8；

(3)①当OVmW1时,h=-3-(机2・2m-3)=-WZ2+2TW；

当1V/HW2时，/?=-1-(-4)=1；

当相>2时，h=m2-2m-3-(-4)=/n2-2/n+l；

②当/z=9时

2

若-m+2m=9f此时△<(),团无解；

2

若m-2m+l=9,则m=4f

：.P（4,5）,

*：B（3,0）,C（0,-3）,

.♦.△BCP的面积=LX8X4-LX5X1-Lx（4+1）X3=6；

222

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性

质，数形结合，分类讨论是解题的关键.

2019年四川省广元市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共3（）分）每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题意的.

1.（3分）-8的相反数是（）

A.-1B.-8C.8D.工

88

2.（3分）下列运算中正确的是（）

A.a5+a5=tz10B.a7-i-a=a6C.a3*a2=a6D.(-/)2--.

3.（3分）函数的自变量x的取值范围是（）

A.x>1B.x<\C.xWlD.

4.（3分）如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的中位数为（）

A.5B.6C.7D.9

5.（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”

是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如

图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

ET

=10,AC=8,则BD的长为（)

A.2泥B.4C.2713D.4.8

’3（x+l）>xT

7.（3分）不等式组Jx+7、的非负整数解的个数是（）

手>2x-l

A.3B.4C.5D.6

8.（3分）如图，点P是菱形ABC。边上的动点，它从点A出发沿4-8-C—。路径匀速

运动到点力，设△外。的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为

9.（3分）如图，在正方形ABCQ的对角线AC上取一点E.使得NCDE=15°,连接BE

并延长BE到凡使CF=C8,8F与C。相交于点“，若48=1,有下列结论：①8E=

DE；②CE+DE=EF；③S&DEC=二区:④理=2«-1.则其中正确的结论有（）

412HC

A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③④

10.（3分）如图，过点4）（0,1）作y轴的垂线交直线/：于点Ai,过点4作直

3

线/的垂线，交y轴于点A2,过点A2作y轴的垂线交直线/于点A3,…，这样依次下去,

得到△4）442,△AM3A4,AA4A546,--其面积分别记为Si,S2,S3,…，则Sioo为

（）

A.（3.）100B.（373）100C.3正x/99D.3J3x2395

2

二、填空题（每小颖3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.

11.（3分）分解因式：1_4。=.

12.（3分）若关于x的一元二次方程。/-尤-1=0（。#0）有两个不相等的实数根，则点

4

P（〃+1,-a_3）在第象限.

13.（3分）如图，△ABC中，NABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°

14.（3分）如图，△4BC是。。的内接三角形，且AB是。。的直径，点P为。。上的动

点，且/8PC=60°,。0的半径为