2021年中考冲刺模拟检测《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题（下列每小题只有一个答案是正确的，每题3分，共24分）

2.为了市民出行更加方便，天津市政府大力发展公共交通，2013年天津市公共交通客运量约为1608000000

人次，将1608000000用科学记数法表示为（）

A.160.8X107B.16.08x10s

C.1.608X109D.0.1608x10'0

3.如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图（）

x+2>1

4.把不等式组1°八的解集表示在数轴上，正确的是（）

3-x>0

b

5.若。匕<0,则正比例函数y="与反比例函数旷=—在同一坐标系中的大致图象可能是（）

6.一个圆锥的高为3百，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）

A.9冗B.18人C.27nD.36n

7.学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校，唱我学校”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们

的决赛成绩如下表：

成绩（分）9.409.509.609.709.80990

人数235431

则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（）

A.9.70,9.60B.9.60,9.60C.9.60,9.70D.9.65,9.60

8.二次函数丫=2*2+6*+©（a/））的图象如图所示，对称轴是直线x=l,则下列四个结论错误的是（）

A.c>0B.2a+b=0C.b2-4ac>0D.a-b+c>0

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接

填写）

9.计算好力2的结果等于.

10.若a-2b=3,则9-2a+4b的值为.

11.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则

Z1的度数为度.

12.如图，四边形ABCO是菱形，对角线4C=8cm,DB=6cm,7J.AB于点〃，则。”的长为

D

25

13.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且/"=，海

4

里，那么该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.

14.如图，AD是。O的直径，弦BCJ_AD于E,AB=BC=12,则OC=

15.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是

1

23

456

78910

16.如图，在RJABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,则NDCE的大小等于

三、解答题(本题共有6个小题，每小题6分，共36分)

17.计算：(-2)2«sin60°-(g)-仪/；

x2x

18.解方程:

x-1x+2

19.如图，己知A(-4,2),B(-2,6),C(0,4)是直角坐标系平面上三点.

(1)把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△AiBCi.画出平移后的图形，并写出点A

的对应点Ai的坐标；

(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到AA2B2c2,请在所给的坐标系中作出所有

满足条件的图形.

X

20.某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩

如下表(单位：分)：

项目人员阅读能力思维能力表达能力

甲938673

乙958179

(1)根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确定每人的最后成绩，若按

此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

(2)公司按照(1)中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每

组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一组分数x为：85<x<90),并决定由高分到低分录

用8名员工，甲、乙两人能否被录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率.

21.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB±,

(1)若DE=BF,求证：四边形AFCE平行四边形；

(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.

22.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗

的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.

(1)求甲、乙两种树苗每棵价格各是多少元？

(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗售价比第一次购买时

降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买

多少棵乙种树苗？

四、解答题(本题共4道题，其中23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分)

23.如图，AB是的直径，点E是AO上的一点，ZDBC=ZBED,

(1)求证：BC是。O的切线；

(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长.

BC

24.如图，抛物线顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得EP+FP最小，如果存在，求出点P的

坐标；如果不存在，请说明理由.

图1图2

25.问题呈现

如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点。、N和E、C,ON与EC相交于点P,求tan/CRV

的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中NC7W不在直

角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N,可得MN//EC,

则NDNM=NCPN,连接。M，那么NCPN就变换到中用△DMN.

问题解决

（1）直接写出图1中tanNCPN的值为；

（2）如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cosNCPN的值；

思维拓展

（3）如图3,AB1BC，A6=4BC,点M在A3上，且=延长CB到N,使BN=2BC,

连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求NCPN的度数.

4

26.如图，直线-与x轴交于A点，与y轴交于8点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速

度沿A。方向向点。匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,

当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接尸。，设运动时间为f（s）（0V匹3）.

（1）写出A,B两点的坐标；

（2）当t为何值时，以点A,P,。为顶点的三角形与AABO相似，并直接写出此时点。的坐标.

答案与解析

一、选择题（下列每小题只有一个答案是正确的，每题3分，共24分）

1.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时

要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻

找对称中心，图形旋转180度后与原图重合.

2.为了市民出行更加方便，天津市政府大力发展公共交通，2013年天津市公共交通客运量约为1608000000

人次，将1608000000用科学记数法表示为（）

A.160.8X107B.16.08x108

C.1.608X109D.0.1608x10'0

【答案】C

【解析】

试题解析：将1608000000用科学记数法表示为：1.608x109.

故选C.

考点：科学记数法一表示较大的数

3.如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图（)

BBC.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三视图的特点，左视图从图形的左边向右看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，得到结果.

【详解】左视图从图形的左边向右看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，故选A.

【点睛】本题考查了三视图的定义，熟练掌握该定义可求解.

x+2>1

4.把不等式组〈C八的解集表示在数轴上，正确的是（）

3-x>0

A.

C.匚

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可

x+2>1

【详解】解：《

3—x..0

x>-\

解得《

%,3

原不等组的解集为：一1<%43

故选：D.

【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>，…向右画；<,,,向左画），数轴上的点把数轴分成若

干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有

几个就要几个.在表示解集时“，，”要用实心圆点表示；"〉"要用空心圆点表示.

b

5.若c必<0,则正比例函数、=数与反比例函数y=一在同一坐标系中的大致图象可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0,b<0和a<0,b>0两方面分类讨论得出

答案.

详解】解：:abVO,...分两种情况:

（1）当a>0,b<0时，正比例函数）'=办的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象

限，无此选项;

（2）当aVO,b>0时，正比例函数丁=分的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象

限，选项B符合.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解

题.

6.一个圆锥的高为3，§，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（)

A.9nB.18nC.27nD.36”

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，本题考查勾股定理，圆的周长公式以及扇形面积公式，根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧

长，运用勾股定理进行求解.

【详解】解：设展开图扇形的半径为R,圆锥的底面半径为r

则有271r=—x2TUR,即A=2F

2

2

由勾股定理得：/?2=（2r）2=r2+

解的：R=6,r=3

，圆锥的侧面积=—x6‘乃=18万

2

故本题选B

【点睛】本题考查勾股定理，圆的周长公式以及扇形面积公式，熟练运用公式是解决此类问题的关键.

7.学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我学校，唱我学校”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们

的决赛成绩如下表：

成绩（分）9.409.509.609.709.809.90

人数235431

则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（）

A.9.70,9.60B.9.60,9.60C.9.60,9.70D.9.65,9.60

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中位数和众数的定义解答.第9和第10个数的平均数就是中位数，9.6出现的次数最多.

【详解】

解：在这一组数据中9.60是出现次数最多的，

故众数是9.60,

而这组数据处于中间位置的那两个数都是9.60和9.60,

由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9.60.

故选:B.

【点睛】

本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到

大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的

数据，注意众数可以不止一个.

8.二次函数y=ax2+bx+c（a邦）的图象如图所示，对称轴是直线x=l,则下列四个结论错误的是（）

A.c>0B.2a+b=0C.b2-4ac>0D.a-b+c>0

【答案】D

【解析】

试题分析：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c>0,正确；

B、由已知抛物线对称轴是直线x=l=-工，得2a+b=0,正确；

褊，

C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2-4ac>0,正确；

D、直线x=-1与抛物线交于x轴的下方，即当x=-l时，y<0,B|Jy=ax2+bx+c=a-b+c<0,错误.

故选D.

考点：二次函数的图象与系数的关系

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接

填写)

9.计算必仅2的结果等于.

【答案】x3

【解析】

【分析】

同底数塞相除底数不变，指数相减.

【详解】解：*5力2=*3

故答案为：X3.

【点睛】此题考查了同底数累的除法，解题要注意细心明确指数相减.

10.若a-2b=3,贝ij9-2a+4b的值为.

【答案】3

【解析】

【详解】

试题解析：；a-2b=3,

原式=9-2(a-2b)=9-6=3

考点：代数式求值.

11.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则

Z1的度数为度.

【答案】75

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和求出N2=45。，再根据对顶角相等求出/3=/2,然后根据三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和计算即可.

【详解】解：：/2=90。-45。=45。（直角三角形两锐角互余），

N3=N2=45°,

，/l=N3+30°=45°+30°=75°.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两

个内角的和是解答此题的关键.

12.如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC=8cm,DB=6cm,。"，移于点”，则OH的长为

【答案】4.8cm.

【解析】

分析】

根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾

股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高.

【详解】解：•••四边形ABCO是菱形，

AC_LBD，OA=OC=—AC=4cm,OB=OD=3cm,

2

/.AB=5cm,

\S舞彬ARC，）=-AC?BDAB2DH,

\DH=A。"0=4.8c机.

2AB

故答案为：4.8cm.

【点睛】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的面积的求解方法：底乘以高或对

角线积的一半.

25

13.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔”在北偏东60°方向上，且4"=一海

4

里，那么该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.

北

东

【答案】生走.

8

【解析】

【分析】

根据题意知，过M作东西方向的垂线，设垂足为N,MN即为渔船离灯塔距离最近的距离，在RtZ\AMN中,

25

可知NM4N=30,AM=——海里，利用余弦定理即可求出轮船航行的最短距离4N.

4

【详解】如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为M

北

M

易知:/MAN=90°-60°=30。,

在RtZ\AMN中,

VZAW=90°,ZMAN=30,AM一海里，

4

：.AN=AMXcosZMAN="x3=2^/1海里,

428

故该船继续航行空8海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.

8

故答案为史1.

8

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离垂线段最短及余弦定理解直角三角形的知识，正确做出所求垂线

段是本题的解题关键.

14.如图，AD是00的直径，弦BC_LAD于E,AB=BC=12,则OC=.

D

【答案】4百

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，然后运用相似三角形的性质求出AD的长度，即可解

决问题.

【详解】解:如图，连接BD；

•.•直径AD_LBC,

.\BE=CE=—BC=6；

2

由勾股定理得：

AE=YIAB2-BE2=6A/3；

：AD为。。的直径，

ZABD=90°；

VZAEB=ZABD=90°,ZA=ZA,

不ABAD

.".△ABE^AAADB,得——=——

AEAB

.\AB2=AE«AD

!

/.AD=—^=8上,

6百

/.OC=-AD=4y/3,

2

故答案为

【点睛】该题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是

作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是牢固掌握垂径定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础

和关键.

15.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是

1

23

456

78910

【答案】50.

【解析】

【详解】试题分析：由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了l+2+3+...+n-l=gn(n-1)个数.所

以第n行从左向右的第5个数(n-1)+5.所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50.故答案

2

为50.

考点：1.规律型：数字的变化类；2.综合题.

16.如图，在RMABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,则/DCE的大小等于

__________度.

【解析】

试题解析：设NDCE=x,ZACD=y,则NACE=x+y,ZBCE=90°-ZACE=90°-x-y.

：AE=AC,

，ZACE=ZAEC=x+y,

VBD=BC,

AZBDC=ZBCD=ZBCE+ZDCE=90°-x-y+x=90°-y.

<£△DCE中，,:ZDCE+ZCDE+ZDEC=180°,

/.x+(90°-y)+(x+y)=180°,

解得x=45。，

ZDCE=45°.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.

三、解答题(本题共有6个小题，每小题6分，共36分)

17.计算：(-2)2«sin60°-(；)-仪配；

【答案】-2百

【解析】

【分析】

通过计算三角函数值、负指数基的计算可得出结果.

【详解】原式=4x--2x2也=-2应■

2

【点睛】本题主要考查了实数的计算，准确计算三角函数值、负指数嘉和开根号是解题的关键.

x2x

I'.解方程：=3

【答案】,z=2

【解析】

【分析】

去分母化成整式方程进行求解，然后检验即可得到结果.

【详解】去分母得：x(x+2)-(x-l)(x+2)=2xCI),

去括号得：x2+2x-x2-x+2=2x2-2x，即2炉—3%-2=0,

整理得：(2x+l)(x-2)=0,

解得：%|=——,&=2,

经检验都是分式方程的解.

【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，其中检验是必要的步骤，不能遗漏.

19.如图，已知A(-4,2),B(-2,6),C(0,4)是直角坐标系平面上三点.

(1)把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到AAIBCI.画出平移后的图形，并写出点A

的对应点Ai的坐标;

(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到AAzB2c2,请在所给的坐标系中作出所有

满足条件的图形.

【答案】（I）AAIBICI如图所示，其中Ai的坐标为：（0,1）；（2）符合条件△A2B2c2有两个

【解析】

【分析】

（1）根据向右平移4个单位再向下平移1个单位得到△AiBiG,画出平移后的图形即可；

（2）根据以原点O为位似中心，将aABC缩小为原来的一半，得到aA2B2c2即可.

L详解】⑴△A1B1C1如图所示，点A1的坐标为（0,1）.

（2）符合条件的△A2B2c2有两个，如图所示.

20.某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩

如下表（单位：分）：

项目人员阅读能力思维能力表达能力

甲938673

乙958179

（1）根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确定每人的最后成绩，若按

此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

（2）公司按照（1）中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每

组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一组分数x为：85<x<90）,并决定由高分到低分录

用8名员工，甲、乙两人能否被录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率.

【答案】（1）甲被录用；（2）甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由见解析;

【解析】

【分析】

（1）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可;

（2）由直方图知成绩最高一组分数段85,,x<90中有7人，公司招聘8人，再根据所=85.5分，得出甲在

该组，甲一定能被录用，在80,,x<85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而坛=84.8分，在这一段内

频数

不一定是最高分，得出乙不一定能被录用；最后根据频率=三鲁进行计算，即可求出本次招聘人才的录用

总数

率.

【详解】（1）根据题意得：

-93?386?573?2、

%=-----;~-----=85.5（分），

3+5+2

95x3+81x5+79x2

=84.8（分）；

3+5+2

\/>X乙,

・・•甲将被录用；

（2）甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由如下：

由直方图知成绩最高一组分数段85,,X<90中有7人，公司招聘8人，又因为南=85.5分，显然甲在该组,

所以甲一定能被录用;

在80,,X<85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而X乙=84.8分，在这一段内不一定是最高分，所以乙

不一定能被录用；

由直方图知，应聘人数共有50人，录用人数为8人，

Q

所以本次招聘人才的录用率为：—=16%.

【点睛】此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须

认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

21.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB±.

（1）若DE=BF,求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.

【答案】（1）证明见试题解析：（2）25.

【解析】

试题分析：Q）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD,然后根据DE=BF,可得AF平行且等于CE,

即可证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE,然后设DE=x,表示出AE,CE的长度，根据相等求出x的

值，继而可求得菱形的边长及周长.

试题解析：（1）:四边形ABCD为矩形，

；.AB=CD,AB〃CD,

：DE=BF,

；.AF=CE,AF/7CE,

四边形AFCE是平行四边形；

（2）•••四边形AFCE是菱形，

；.AE=CE,

设DE=x,

则AE=□□口□□□口口口口口口口口口由口史口口口口也口口加口史口口口口口口口口口口口口，CE=8-x,

则口口口口口口口口口口口口口口口6□口2□口口口口+口口口加口2□口口口口口口口口口口口口=8-x,

解得：乂=口口口口口口口口口7口口转口口口口口口，

则菱形的边长为：

8-口口口口口口口口口7口口40口口口口口口=□□□□□□□□□□□□25DDD40DDDDDD,

周长为：4、口口口口口口口口口口口口25口□口4a□□□□□口=25,

故菱形AFCE的周长为25.

考点：1.矩形的性质2菱形的性质.

22.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗

的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时

降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买

多少棵乙种树苗？

【答案】（1）甲种树苗每棵价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙

种树苗.

【解析】

【分析】

（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购

买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等

式求解即可.

【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，

解得:x=30,

经检验，x=30是原方程的解，

x+10=30+10=40,

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元;

（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30x（1-10%）（50-y）+40y<1500,

7

解得y<l1—,

为整数，

:.y最大为11.

答：他们最多可购买11棵乙种树苗.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出

方程或不等式是解决问题的关键.

四、解答题(本题共4道题，其中23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分)

23.如图，AB是。。的直径，点E是A/)上的一点，ZDBC=ZBED,

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)BC=V10

【解析】

【分析】

(1)AB是。。的直径，得NADB=90。，从而得出NBAD=NDBC,即NABC=90。，即可证明BC是。。的

切线；

(2)可证明△ABCs/XBDC,则一=——，即可得出BC=Jld.

CABC

【详解】(1)：AB是的切直径，

NADB=90°,

又；NBAD=NBED,ZBED=ZDBC,

.\ZBAD=ZDBC,

ZBAD+ZABD=ZDBC+ZABD=90°,

NABC=90。，

BC是。O的切线；

(2)解：VZBAD=ZDBC,ZC=ZC,

/.△ABC^ABDC,

BeCD

：.——=——，即BC2=AC・CD=(AD+CD)<D=10,

CABC

.-.BC=ViO.

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

24.如图，抛物线顶点A的坐标为(1,4))抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得EP+FP最小，如果存在，求出点P的

【答案】(1)y=-N+2x+3；(2)存在，尸(1,0),理由见解析；

【解析】

【分析】

(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；

(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E',连接EF交对称轴于P,此时EP+FP的值

最小，先求EF的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点P；

【详解】(1)设抛物线的表达式为：尸〃(厂1)2+4,

把(0,3)代入得：3=a(0-l)2+4,

解得：a=-l,

抛物线的表达式为：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3；

(2)存在，

作E关于对称轴的对称点E,连接£尸交对称轴于尸，此时EP+FP的值最小，

•；E(0,3),

：.E'(2,3),

易得EF的解析式为：产3厂3,

当时，y=3x1-3=0,

.”(1,0).

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、

一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题是解题的关键.

25.问题呈现

如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点。、N和E、C,DN与EC相交于点P,求tanNCPN

的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中NCPN不在直

角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N,可得MN//EC,

则NDNM=NCPN,连接DW，那么NCPN就变换到中用△。例N.

问题解决

（1）直接写出图1中tanNCPN的值为；

（2）如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,