第3章 连续信号与系统的频域分析

3.1信号的正交分解3.2周期信号的连续时间的傅立叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的连续时间傅立叶变换3.5傅立叶变换的性质3.6周期信号的傅立叶变换3.7连续信号的抽样定理3.8连续系统的频域分析第三章连续信号与系统的频域分析3.1

信号的正交分解该式可为两矢量正交的定义式。另外一种理解V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2

成比例的矢量C12

V2，使得当用C12V2近似表示V1时，其误差矢量Ve

的模最小。就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。这个问题的实质3.1.1

矢量的正交分析

1.正交矢量

数学定义

两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。两矢量相互垂直时的夹角为90度，即：所以最佳系数为此时，结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12

V2近似V1，要求误差矢量的模最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的模最小，此时V1和V2正交。

2.矢量分解在平面空间里，相互正交的矢量V1和V2构成一个正交矢量集，而且为完备的正交矢量集。平面空间中的任

一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合（如上图）。即：V=C1V1+C2

V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：

同样，对于一个三维的空间矢量，要精确地表示它，就必须用一个三维的正交矢量集。如左图，三维矢量空间可精确地表示为：V=c1V1+c2V2+c3V3推广到n维空间，则有其中，Ci

=V·Vi/Vi

·Vi3.1.2信号的正交分解

1.正交信号（函数）*定义:设f1(t)和f2(t)为定义在（t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数C12f2(t)近似地代表

f1(t)，其误差信号为平方误差定义为：改变c12的大小，如果使Ee

为最小时相应的c12＝0，称

f1(t)和f2(t)在区间（t1,t2)上正交。判定两信号正交的条件：

2信号的正交分解*正交函数集：设一函数集当Ki=1时，称为归一化正交函数集。

*信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f(t)，即：这种近似所产生的平方误差为：可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为此时的平方误差为下式所示：

如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零，则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。

一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。

3两个完备的正交函数集

（1）三角函数集基本周期：T=2л/Ω,正交区间（t0

，t0+T）。是完备的正交函数集。完备性：无穷函数集。基本周期：T=2л/Ω,

正交区间（t0

，t0+T）。

是完备的正交函数集。完备性：无穷函数集(2)指数函数集：3.2周期信号的傅立叶级数分解3.2.1三角形式傅立叶级数分解

1.三角函数集对周期信号，该函数在（t0，t0+T）上为完备的正交函数集。

2.正交展开将任一周期函数信号展开为：该函数系数将a0包含在an中则有：该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。

3。

4.当该周期函数为偶函数时，bn＝0，展开式只含直流及说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。

2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：当该周期函数为奇函数时，a0＝an＝0，展开式只会含3.2.2指数形式傅立叶级数分解

1.复指数函数集该函数集在（t0，t0+T）上为周期信号的完备正交函数集。

2.正交展开：将任一周期信号展开为称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数3.2.3傅立叶系数关系

比较两种展开式，得：例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P94结论：其中：例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。周期：TT＝2π/Ω

幅度：E宽度：τ

解：因为fT(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量其中：如下图称为“取样”函数其性质：①

偶函数②

③

3.3周期信号的频谱与功率3.3.1fT(t)的频谱

fT(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅及相位随w变化的曲线称其为频谱图。以前节周期信号为例：各谐波分量的角频率nΩ

是基波角频率Ω的n倍且有不同的

振幅和相位，均由傅立叶系数反映出来。Ω双边振幅谱：单边振幅谱：频谱特点：

1.离散性、谐波性：仅在0、正负Ω、正负2Ω。。处出现，与相应谐波分量对应。谱线间隔Ω＝2π/T

，当T增加，Ω减小当T趋近于无穷大时，周期函数变为非周期函数，离散谱变为连续谱。

2.收敛性：振幅包络线按Sa(ωτ/2)规律变化，总趋势为0。*能量集中于低频分量：当nΩτ/2=kπ(k=正负1,正负2…..),即nΩ=2kπ/τ时,包络线振幅为零.定义信号频带宽度(带宽):

*带宽与脉宽成反比:τ愈小,Bw愈大.

*脉冲幅度一定时,振幅谱幅值(τ/T)与τ成正比,与T成反比.当T趋近于无穷大时,各谐波分量振幅均趋近于无穷小,但它们之间仍有一定比例关系.在非周期信号频谱中将用频谱密度这一概念来描述这种相对比例关系.

3.3.2fT(t)的功率

设fT(t)为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为:fT(t)为实函数所以,周期信号时域功率=频域信号功率之和-------帕塞瓦儿恒等式

3.4.1傅立叶变换

周期信号分解的数学工具是傅立叶级数;

非周期信号分解的数学工具是傅立叶变换.对周期信号改写为故对非周期信号简记为3.4非周期信号的分解

3.4.2非周期信号的频谱函数.1.理论上讲,f(t)应满足一定条件才可存在傅立叶变换,一般来说.

存在的充分条件为f(t)满足绝对可积,即要求

2.在这里,F(jω)不是振幅的概念,而是密度概念,故称频谱密度.3.F(jω)为一复函数.上式中:易推结论:f

(t)为实函数时有:4.逆变换的物理含义:*非周期信号的(虚指数函数)分解;*非周期信号的正弦分解:

一.线性：

傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义：1。齐次性：时域信号数乘a，频谱函数也数乘a。2。可加性：几个信号之和的频谱函数＝各信号频谱函数之和。

二.时移性：证明：3.5傅立叶交换性质、定理同理：所以：f(t)右移t0，F(jω)幅度不变，谐频率分量相位滞后ωt0

例：

即：三.频移性：证：说明：频域中频谱右移ω0，反映在时域中对立f(t)乘以虚指数函数例：求高频调制信号的频谱。解：即：f(t)的频谱是将gτ(t)频谱左右各移ω0，幅度为原来的1/2。低频信号不便远距离传输，经调制，频谱挪移，使变频信号实现远距离传输，载波信号可以是cos

ω0t或sinω0t。一般有：故有：四.尺度变换：且a为常实数（a不等于零）。则：证：综上有：含义:f(at):表示将f(t)波形沿大轴压缩a倍.表示将F(jω)波形沿ω轴扩展a倍，幅度减小|a|倍。例：

可见：信号的持续时间与带宽成反比。电子技术中为加快信息传输，在时域压缩持续时间，但是在ω域不得不展宽频带，在实际应用中应该权衡考虑。推论：证一：先进行时移后进行尺度变换证二：先进行尺度变换后进行时移注意：在时域，无论时移、尺度都是对t来说的。五.对称性：证：所以，性质成立！推论：若f(t)为t的偶函数，则例一：例二：例三：求F(1/t)。例四：求六.卷积定理：应用傅立叶变换定义和时移性可证卷积。证明如下：例：求解：含义：时域卷积运算可转换为频域相乘在求傅立叶反变换七.时域微分、积分：式（2）证：例一：由对称性得：由时域相乘得：由线性、倒置性可得：八.频域微分、积分：1.频域微分：证：因为根据频域卷积定理得：由前面结果得：同理n阶微分也成立！2.频域积分：如果f(0)=0，则有证：按卷积微积分性质：考虑傅立叶反变换得下式1：由于按对称性得：将上结果代入1式得：其中f(0)可由频域积分得到：例：九.帕什瓦尔定理:对于周期信号的帕什瓦尔定理有：表明周期信号的功率＝该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。

周期信号是功率信号，但一般而言，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，其能量为有限值，故为能量信号，只能从能量观点研究。

非周期信号总能量：时域定义交换积分次序可证：最后得：十.周期信号的傅立叶变换:方法一：说明：fT(t)的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，它位于信号各谐波角频率nΩ处，其强度为各谐波分量幅度Fn的

2π倍

。例：单位冲激序列的傅立叶变换。说明：的傅立叶变换是周期为Ω强度为Ω的冲激序列。方法二：综上：例：一.低通信号与样值信号：

1.低通信号（也称带限信号）：2.样值信号信号f(t)加在抽样器的输入端，抽样器相当于一个定时开关，它每隔Ts秒闭合一次，闭合时间为τ，输出端输出fs(t)3.7连续信号的抽样定理抽样周期抽样频率抽样角频率2.抽样数学模型：研究两个问题：二.样值信号的傅立叶变换：设：f(t)为低通信号，S(t)为均匀冲激序列。信号的抽样及其频谱图示：三.f(t)的恢复：

频域处理：恢复公式可见：连续信号f(t)可由多个位于抽样点的Sa函数组成，各Sa函数的幅值为该点的抽样值f(nTs),依据上述公式，可由各抽样值恢复出f（t）。图示如下：四.时域抽样定理：五.周期脉冲抽样：

理想抽样在理论上是成立的，但实际上无法实现。因为冲激序列无法得到。实际工作中，抽样器用电子开关实现，开关函数用周期矩形脉冲函数。对于周期脉冲抽样：1.样值信号：2.脉冲抽样过程及其波形，频谱如下页图.图：矩形脉冲抽样

(a)f(t)的波形及其频谱；

(b)PTs的波形及其频谱；

(c)

fs(t)的波形及其频谱

六.频域抽样：3.8连续系统的频域分析3.8.1基本信号ejωt激励下的零状态响应设线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，根据时域分析公式(3.8-1)，系统对基本信号ejωt的零状态响应为3.8.2一般信号f(t)激励下的零状态响应由于任意信号f(t)可以表示为无穷多个基本信号ejωt的线性组合，因而应用线性叠加性质不难得到任意信号f(t)激励下系统的零状态响应。其推导过程如下：(式(3.8－6))(齐次性)所以(叠加性)由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：例3.8-1

已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图3.8-1所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。图3.8-1例3.8-1的图注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理:例3.8-2如图3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入s(t)的波形如图3.8-2(b)所示，系统函数图3.8-2例3.8-2图(a)系统组成；(b)s(t)的波形先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则

,因而有图3.8-3y(t)的求解由冲激函数的卷积特点及F(jω)、S(jω)的图形可知，X(jω)为无穷多个分别位于n2000π处的矩形脉冲，每个脉冲的宽度为4但幅度不等。考虑到随后的系统函数H(jω)，在|ω|＞1时H(jω)=0，因而我们仅关心在|ω|＜1范围内的X(jω)。与|ω|＜1范围有关的X(jω)为例3.8-3

已知系统函数H(jω)如图3.8-4(a)所示，试求在f(t)(图3.8-4(b))作用下系统的输出y(t)。解周期信号f(t)可以表示为傅里叶级数：由T=4s可知， 。考虑到H(jω)的低通特性，当|nΩ|≥π时H(jnΩ)=0，即|n|≥2时H(jnΩ)=0，则图3.8-4例3.8-3图3.8.3无失真传输条件从以上分析可知，在一般情况下，系统的响应与所加激励波形不相同。也就是说，信号在传输过程中产生了失真。

1.失真的概念如果信号通过系统传输时，其输出波形发生畸变，失去了原信号波形的样子，就称失真。反之，若信号通过系统只引起时间延迟及幅度增减，而形状不变，则称不失真，如图3.8－5所示。图3.8-5系统的无失真传输通常把失真分为两大类：一类为线性失真，另一类为非线性失真。信号通过线性系统所产生的失真称线性失真。其特点是在响应y(t)中不会产生新频率。也就是说，组成响应y(t)的各频率分量在激励信号f(t)中都含有，只不过各频率分量的幅度、相位不同而已。反之，f(t)中的某些频率分量在y(t)中可能不再存在。如图3.8-6所示的失真就是线性失真，对y(t)与f(t)求傅里叶变换可知，

y(t)中决不会有f(t)中不含有的频率分量。图3.8-6线性失真信号通过非线性电路所产生的失真称非线性失真。其特点是在响应y(t)中产生了信号f(t)中所没有的新的频率成分。如图3.8－7所示，其输入信号f(t)为单一正弦波，f(t)中只含有f0的频率分量。而经过非线性元件二极管后得到的半波整流信号，在波形上产生了失真，而在频谱上产生了由无穷多个f0的谐波分量构成的新频率，这就是非线性失真。图3.8-7非线性失真

2.无失真传输条件从图3.8－5中可以得到，要求信号f(t)无失真地传输，在时域上y(t)与f(t)之间应满足(3.8－7)式中，幅度增量K及延迟时间td均为常数。这样，