数学北师大版必修2课时作业2-3-3空间两点间的距离公式

课时作业25空间两点间的距离公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．点M(3,4,1)到点N(0,0,1)的距离是(A)A．5 B．0C．3 D．1解析：由空间两点间的距离公式，得|MN|＝eq\r(3－02＋4－02＋1－12)＝5.2．在空间直角坐标系中，点A(3,2，－5)到x轴的距离d等于(B)A.eq\r(32＋22) B.eq\r(22＋－52)C.eq\r(32＋－52) D.eq\r(32＋22＋－52)解析：过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3,0,0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝eq\r(22＋－52).3．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，BP＝eq\f(1,3)BD′，则P点坐标为(D)A．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3))B．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))D．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))解析：连接BD′，点P在坐标平面xDy上的射影在BD上，∵BP＝eq\f(1,3)BD′，所以Px＝Py＝eq\f(2,3)，Pz＝eq\f(1,3)，∴P(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．4．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为(C)A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(11,5)解析：|AB|＝eq\r(1－t－22＋1－t－t2＋t－t2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5t－\f(1,5)2＋\f(9,5))≥eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3,5)eq\r(5).5．在x轴上与点(3,2,1)的距离为3的点是(D)A．(－1,0,0) B．(5,0,0)C．(1,0,0) D．(5,0,0)和(1,0,0)解析：设所求点的坐标为(x,0,0)，则eq\r(x－32＋4＋1)＝3，∴x＝1或5，∴在x轴上与点(3,2,1)的距离为3的点是(5,0,0)和(1,0,0)．6．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝(A)A．2eq\r(13) B.eq\r(13)C．6 D．4解析：A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，∴d(A1，A2)＝eq\r(1－12＋2＋22＋－3－32)＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13).7．已知三角形ABC的顶点A(2,2,0)，B(0,2,0)，C(0,1,4)，则三角形ABC是(A)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：利用两点间的距离公式计算得|AB|＝2，|AC|＝eq\r(21)，|BC|＝eq\r(17)，|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，故三角形ABC为直角三角形．8．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，则它在yOz平面上射影的面积是(D)A．4B．3C．2D．1解析：△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，∵|A′B′|＝eq\r(0－02＋1－22＋1－12)＝1，|B′C′|＝eq\r(0－02＋2－22＋3－12)＝2，|A′C′|＝eq\r(0－02＋2－12＋3－12)＝eq\r(5)，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2.∴△ABC在yOz平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1.二、填空题9．已知空间两点A(1,2，z)，B(2，－1,1)之间的距离为eq\r(11)，则z＝0或2.解析：因为空间两点A(1,2，z)，B(2，－1,1)之间的距离为eq\r(11)，即eq\r(1－22＋2＋12＋z－12)＝eq\r(11)，则(z－1)2＝1，得z＝0或2.10．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是(0，－1,0)．解析：本题考查空间两点间距离公式．由题意可设M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|，∴eq\r(0－12＋y2＋0－22)＝eq\r(0－12＋y＋32＋0－12)，解得y＝－1.故M的坐标为(0，－1,0)．11．若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x，y，z满足的关系式是(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.解析：由|PA|＝5得eq\r(x－22＋y－12＋z－42)＝5，∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.三、解答题12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N为CD1的中点，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).又M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M由两点间距离公式，得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－12＋1－22)＝eq\f(\r(21),2).13．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A，且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点．(1)求点P的坐标满足的条件；(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．提示：由A(1,1,1)的坐标及确定点的方法联想到正方体，取三条共顶点的棱为轴建系后．A是一个顶点的坐标．这样用正方体作衬托可描出点A.解：(1)以OA为一条对角线画出正方体OC1A1B1­DCAB，则A点位置如图所示．因为平面α过A且与OA垂直，P(x，y，z)是平面α内任意一点，连接AP、OP，则△OAP∴|OA|2＋|AP|2＝|OP|2，即3＋[(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2]＝x2＋y2＋z2，∴x＋y＋z＝3，这就是平面α内任一点P(x，y，z)所满足的条件．(2)∵平面α内任一点P(x，y，z)满足x＋y＋z＝3，∴平面α与x轴、y轴、z轴的交点M、N、Q也满足x＋y＋z＝3，∴M(3,0,0)，N(0,3,0)，Q(0,0,3)，显然O­MNQ是一个三棱锥．由三棱锥体积计算公式有：VO－MNQ＝VQ－OMN＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|OM|·|ON|))·|OQ|＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×3×3)×3＝eq\f(9,2).——能力提升类——14．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，eq\r(3))，则|PA|的最小值是(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)－1＝4－1＝3.15．正方形ABCD和ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，(1)求MN的长；(2)求a为何值时，MN的长最小．解：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，而平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB、BC、BE两两垂直．∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M(eq\f(\r(2),2)a,0,1－eq\f(\r(2),2)a)，N(eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a，0)．|