2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第43讲利用空间向量求空间角和距离（达标检测）（原卷版）

第43讲利用空间向量求空间角和距离（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020•让胡路区校级三模）在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．2．（2020春•济宁期末）已知正四棱柱中，，，则直线和所成的角的余弦值为A． B． C． D．3．（2020春•如东县期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为A． B． C． D．4．（2020•武侯区校级模拟）如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于A． B． C． D．5．（2020春•上饶期末）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为A． B． C．或 D．6．（2020春•绵阳期末）在三棱锥中，面面，，，，是的中点．设，若，，则二面角的余弦值的范围为A． B． C． D．7．（2019秋•莲都区校级月考）如图，四棱柱中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则A． B． C． D．8．（2020春•洮北区校级期末）如图，在三棱柱中，，，，，，点，分别在棱和棱上，且，，则二面角的正切值为．9．（2019秋•阳泉期末）在正方体中，和平面所成角的正弦值为．10．（2019秋•泰安期末）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是．11．（2020•长春四模）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则二面角的余弦值为．若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是．12.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．13．已知在四棱锥P­ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥CD，AB＝2，DC＝4，E为PC的中点，PD＝PC，BC＝2eq\r(2).(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若PB与平面ABCD所成角为45°，点P在平面ABCD上的射影为O，问：BC上是否存在一点F，使平面POF与平面PAB所成的角为60°？若存在，试求点F的位置；若不存在，请说明理由．14.如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，且PD⊥AB.(1)从下列两个条件中任选一个条件证明：AB⊥平面PAD.①O是AD的中点，且BO＝CO；②AC＝BD.(2)在(1)条件下，若AD＝2AB＝4，PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P­BC­D的大小为eq\f(π,4)，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．15．（2020•合肥三模）如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．[B组]—强基必备1.已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的