专题06竖直面内圆周运动模型（原卷版）

专题06竖直面内圆周运动模型一．汽车过拱（凹）形桥模型1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。由牛顿第二定律得：G－FN＝meq\f(v2,r)，则FN＝G－meq\f(v2,r)。汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。(1)当0≤v<eq\r(gr)时，0<FN≤G。(2)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0.(3)当v>eq\r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。甲乙2．汽车过凹形桥如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝meq\f(v2,r)，故FN＝G＋meq\f(v2,r)。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽车的重力。二．竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝meq\f(v2,r)。(2)临界条件小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v＝eq\r(gr)。(3)能过最高点的条件：v≥v临。(4)不能通过最高点的条件：v＜v临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。三．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，如图所示。甲乙(1)向心力分析①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹力向上：mg－FN＝meq\f(v2,r)；若弹力向下：mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝meq\f(v2,r)。(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v临＝0，轻杆或轨道对小球有支持力FN＝mg。(3)当0＜v＜eq\r(gr)时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)，支持力FN随v的增大而减小，其取值范围是0＜FN＜mg。(4)当v＞eq\r(gr)时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝meq\f(v2,r)－mg；或外管壁对小球有竖直向下的压力FN＝meq\f(v2,r)－mg。【模型演练1】（2023下·北京延庆·高一统考期中）杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5kg，水的重心到转轴的距离L=40cm。（g=10m/s2）（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；（2）若在最高点水桶的速率v=4m/s，求桶底对水的压力大小【方法总结】竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。【模型演练2】（2024·高一课时练习）长度为的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量的小球，g取。求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。(1)杆做匀速圆周运动的转速为；(2)杆做匀速圆周运动的转速为。【方法总结】(1)注意r/s与rad/s的不同。(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。【模型演练3】（2023下·山东日照·高一校考阶段练习）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，重力加速度g=10m/s2，则：（1）分析汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，哪种情况对桥面压力较大？（2）汽车允许的最大速率是多少？（3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？【规律总结】对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源；(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。【模型演练4】1.（2023下·高一全国联考期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是()A.数据a与小球的质量有关B.数据b与小球的质量无关C.比值eq\f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径2.如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是()A.当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B.小球的质量为eq\f(a,b)RC.v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a【数理思想与模型建构】1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。2.模型建构(1)轻绳模型：①v＞eq\r(gR)时绳子的弹力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向竖直向下②v＝eq\r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件(2)轻杆模型①v＞eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向竖直向下②v＝eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。③v＜eq\r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq\f(v2,R)，方向竖直向上。【思维建构】1.根据物理现象列出物理方程。如1：FT＋mg＝meq\f(v2,r)。2.根据物理方程整理成函数关系。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mg。3.将物理方程与一次函数相对应。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mgeq\o(→,\s\up7(对应))y＝kx＋b。4.根据函数思想对应物理图像分析求解。【题后感悟】1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。一、单选题1．（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10m，该同学的质量为50kg，秋千踏板的质量约为，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为，此时每根绳子平均承受的拉力约为（）（g=10m/s2）A． B． C． D．2．（2023下·江苏·高一阶段练习）如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，质量为M，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，质量为m，小球在管道内做圆周运动，已知M>m，下列说法正确的是（

）A．小球通过管道最低点时，管道对地面的压力为(m＋M)gB．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能大于(m＋M)gC．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力不可能为零D．小球通过管道最高点时，管道对地面压力可能为Mg3．（2023·四川眉山·统考一模）如图，竖直面内两个完全相同的光滑圆弧轨道平滑对接，P、Q是等高的两端。让一可视为质点的小球以沿切线的初速度从P端进入轨道，则（

）A．小球在轨道最低点的机械能最大B．小球在轨道最低点对轨道的压力最大C．初速度足够大时，小球可能飞离“凹形”轨道D．初速度足够大时，小球一定能通过“凸形”轨道最高点4．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某同学将用长约1m的充电线悬挂于固定点，拉开小角度释放，在竖直面内摆动，传感器记录角速度随时间变化的关系，如图所示，则（）A．在A→B过程中，速度增大B．在A、C两点时，速度方向相反C．在C点时，线中的拉力最小D．在B、D两点时，线中拉力方向相同5．（2024下·高一课时练习）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，速度大小为v1，在最高点时对轨道的压力大小为N2，速度大小为v2，重力加速度大小为g，且v1、v2满足关系式，则N1N2的值为（）A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg6．（2023下·贵州遵义·高一仁怀市第一中学校联考期中）如图所示，长为的轻杆一端固定质量为的小球，另一端固定在转轴，现使小球在竖直平面内做圆周运动，为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是（）A．小球不能到达点B．小球到达点时轻杆受到的弹力为0C．小球能到达点，且在点受到轻杆向上的弹力D．小球能到达点，且在点受到轻杆向下的弹力7．（2024上·北京海淀·高一清华附中校考期末）在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。一辆质量为m的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为，通过凹形路面最低处时对路面的压力为，则（

）A． B． C． D．8．（2024上·上海静安·高一上海市市西中学校考期末）如图所示，拱桥可以视为半径为40m的圆弧面，如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，，则汽车通过桥顶的速度应为（）A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s9．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．若，则物体对半球顶点压力为mgB．若，则物体对半球顶点的压力为C．若，则物体对半球顶点的压力为D．若，则物体对半球顶点的压力为零10．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取）（）A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．80km/h11．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:112．（2023下·四川德阳·高一什邡中学校考阶段练习）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取）（）A．36km/h B．54km/hC．70km/h D．80km/h二、多选题13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，杆的一端固定一小球，另一端固定在水平转轴上，小球随转轴在竖直平面内做圆周运动的圆心为O，半径为l，重力加速度为g。当小球通过最高点时（

）A．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向上B．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向下C．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向上D．若速度大小为杆对小球的作用力竖直向下14．（2023下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（）A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为RC．v2=c时，杆对小球弹力方向向下 D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a15．（2023下·天津和平·高一统考期末）如图甲所示，小球（可视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示，g取10m/s2，则（

）A．小球的质量为2kgB．固定圆环的半径R为0.4mC．小球在最高点速度为4m/s时，圆环受到小球施加的竖直向下20N的弹力D．若小球恰好能做完整圆周运动，则其运动中所受圆环给的最大弹力为100N三、解答题16．（2024上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）如图，轻杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，重力加速度为g。（1）当球B在最高点时，球B的速度为多大；（2）当球B在最高点时，杆对球A的作用力为多大；（3）若球B转到最低点时的速度大小为，求此时杆对球A的作用力。17．（2023上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）如图，长为的细绳一端拴一质量为的小球，另一端固定在点。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，转轴离地高，绳所能承受的最大张力为。（1）求小球通过最高点时最小速度的大小；（2）分析小球在何位置绳最易被拉断?求出在此位置绳恰被拉断时小球的角速度大小；（3）在（2）的情况下，求小球落地点距转轴的水平距离及落地速度的大小和方向。18．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）如图，AB为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道A端与水平面相切。质量为0.4kg的光滑木块从水平面上滑上A再经过B，若在A、B两点速度大小分别是、，到B点对轨道的压力恰好为零，g取10m/s2，求（1）轨道半径的大小；（2）木块经A点时对轨道的压力；（3）木块落地点到A点的距离。19．（2023下·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图所示，一质量为的小球，用长为的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取，求：（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力多大？（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过多大？20．（2023下·广东广州·高一统考期末）现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无拉力，如图所示。不计空气阻力，取。（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点小球至少需要获得多大的水平速度；（2）在小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大；（3）小球以的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。21．（2023下·广东梅州·高一