妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（原卷版）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题16妙解离心率问题【目录】 2 3 4 4 6考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 6考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 7考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 8考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 9考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 10考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 10考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 11考点八：焦点到渐近线距离为b 12考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 13考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 14考点十一：渐近线平行线与面积问题 15考点十二：数形结合转化长度角度 16求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D．4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为A． B． C． D．5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．36．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为A． B． C． D．7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为A．5 B． C． D．8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：，根据范围求解值域．双曲线：，根据范围求解值域．【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A． B．C． D．【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二：焦点三角形顶角范围与离心率是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（

）A．， B．， C．， D．，【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于．【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四：椭圆与双曲线的4a通径体椭圆与双曲线的4a通径体如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点五：椭圆与双曲线的4a直角体如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．【例5】（2024·山东济南·校联考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（

）A． B．2 C． D．3考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次【例6】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A． B． C． D．【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．考点七：双曲线的4a底边等腰三角形当或者时，令,则一定存在①，②【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（

）A．3 B． C． D．2考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（

）A． B． C． D．考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是(

)A．2. B． C． D．【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．2【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点十一：渐近线平行线与面积问题①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是.【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线：（，）右支上一点作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点，，为坐标原点，设的面积为，若，则双曲线的离心率取值范围为