静力学课程知识点梳理汇总

静力学第一章静力学基本概念与物体受力分析1.1基本要求掌握刚体、平衡、力和力系等静力学基本概念；熟悉工程中常见的几类典型约束及约束力的特征；熟练进行物体或物体系统的受力分析，并正确绘制物体或物体系统的受力图。1.2内容概要1.2.1刚体刚体是指在力的作用下不变形的物体，即刚体内部任意两点之间的距离保持不变。这是一个理想化的模型。在实际问题中，任何物体在力的作用下或多或少都会发生变形。当物体变形不大或变形对所研究的问题没有实质影响，则可将物体抽象为刚体。在静力学中主要以刚体为研究对象，因此静力学也称为刚体静力学。1.2.2平衡平衡是指物体相对于惯性参考系静止或作匀速直线运动。在工程技术问题中，常将固连于地球上的参考系看作惯性参考系。1.2.3力和力系图1-1力是物体间相互的机械作用。力对物体的作用产生两种效应：一是使物体的机械运动状态发生改变，例如改变物体运动速度的大小或方向，这种效应称为力的外效应（或称为力的运动效应）；另一是使物体的几何形状发生改变，例如使弹簧伸长或缩短，这种效应称为力的内效应（或称为力的变形效应）。图1-1力对物体的作用效应取决于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用点。力是一个矢量，用一带箭头的线段表示，如图1-1所示。线段的长度AB按一定比例表示力的大小，线段的方位和箭头的指向（由A指向B）表示力的方向，线段的始端A表示力的作用点。在国际单位制（SI制）中，以“牛顿”作为力的单位，用N表示。力系是作用在物体上的一群力。一个作用于物体并使其保持平衡的力系称为平衡力系。如果两个力系分别作用在同一物体上并产生相同的作用效应，则这两个力系称为等效力系。如果一个力和一个力系等效，则称这个力是该力系的合力，而力系中的各个力称为合力的分力。用一个简单力系等效代替一个较为复杂的力系的过程称为力系的简化。按照力系中各个力的作用线在空间的分布情况，可将力系进行分类。即空间汇交力系空间平行力系空间任意力系空间汇交力系空间平行力系空间任意力系空间力系平面汇交力系平面平行力系平面任意力系平面力系空间力系：力系中各个力的作用线不在同一平面内，则该力系称为空间力系。平面力系：力系中各个力的作用线在同一平面内，则该力系称为平面力系。平行力系：力系中各个力的作用线相互平行，则该力系为平行力系。汇交力系：力系中各个力的作用线汇交于一点，则称为汇交力系。任意力系：力系中各个力的作用线任意分布，则该力系为任意力系。1.2.4约束和约束力在空间可以自由运动，其位移不受到任何限制的物体称为自由体，如空中飞行的飞机、火箭等。工程中的大多数物体，其在某些方向的位移往往受到限制作用，这样的物体称为非自由体，如在钢轨上行驶的火车、安装在轴承中的转轴等，都是非自由体。对非自由体的某些方向的位移起限制作用的周围物体称为约束，如钢轨是火车的约束，轴承是转轴的约束。约束对被约束体的作用实质上是一种力，这种力称为约束反力或约束力。约束力的方向总是与该约束所限制的非自由体的位移方向相反。约束力以外的其他力称为主动力，如重力等。约束力的大小通常不能事先确定，需要根据平衡条件或其他物理规律确定，而主动力的大小一般都是已知的。工程中常见的几种典型约束及其约束力如下：1、柔索由绳索、链条、皮带、钢丝绳等所构成的约束称为柔索。柔索只能限制物体沿柔索伸长方向上的位移。所以柔索的约束力作用在柔索与物体的接触点，作用线沿着柔索，指向背离物体，即为拉力。如图1-2所示。图1-2图1-22、光滑支承面物体和约束的接触面比较光滑，摩擦可以忽略不计时，可称之为光滑支承面。这类约束不能阻止物体沿接触处切面任何方向的位移，而只限制物体沿接触点处的公法线而指向约束方向的位移。光滑支承面的约束力必然通过接触点，方向沿接触面在该点的公法线，指向被约束体。如图1-3所示。图1-3图1-33、光滑圆柱铰链物体与固定在地基或机架上的支座有相同直径的孔，用一圆柱销钉联结起来，这种构造称为固定铰链支座，简称为固定铰支，约束简图如图1-4（a）所示。固定铰支只限制物体垂直销钉轴方向的任何位移，其约束力作用线必然通过销钉中心并垂直销钉的轴线，用一对相互垂直的分力和表示。图1-4图1-4如果两个有孔物体用销钉联结，这种约束称为连接铰链（中间铰），约束简图如图1-4（b）所示。在这种情况下，其中一个物体是另一个物体的约束，连接铰链（中间铰）约束对所研究物体的约束力也是用一对相互垂直的分力和表示。图1-5工程中常见到各种类型的轴承，它们是转轴的约束，如滑动轴承或径向轴承等。这些轴承只允许转轴转动，限制与轴承垂直方向的位移，约束简图如图1-4（c）所示。轴承约束力的特点与光滑圆柱铰链相同，约束力仍用一对相互垂直的分力和表示。图1-54、活动铰链支座在固定铰链支座和光滑支承面之间安装一排滚轮，这种约束称为活动铰链支座，约束简图如图1-5所示。活动铰链支座只限制沿支承面法线方向的位移，约束力的作用线沿支承面的法线，通过铰链中心指向或背离物体。5、光滑球铰链图1-6物体的一端为球形，能在固定的球窝内转动，这种空间类型的约束称为光滑球铰链，简称球铰，约束简图如图1-6所示。球铰限制物体任何方向的位移，其约束力的作用线通过球心并可指向任意方向，通常用过球心的三个互相垂直的分力、和表示。图1-6图1-7图1-7止推轴承也是工程中常见的一种约束，其约束简图如图1-7所示。止推轴承不仅限制转轴在垂直轴线方向（径向）的位移，还限制轴向的位移。其约束反力也用三个互相垂直的分力、和表示。6、二力构件二力构件指在两端用铰链联结的刚性支承，如图1-8（a）中的AB杆，1-9图（a）中的CD杆。当构件自重忽略时，构件仅在铰链处受到两个力作用而处于平衡，这类构件称为二力构件，简称为二力杆。作用在二力构件两端的约束力的作用线必定通过两铰链的中心，如1-8（b）图中的和的作用线通过A，B两点，其方向可以指向物体，也可以背离物体。图1-9（a）中的CD杆虽然是曲杆，但作用在物体上的约束力的作用线仍然通过两铰链中心。图1-8图1-8图1-9图1-91.2.5受力分析和受力图确定物体或物体系统受到哪些力，每个力的作用线位置和作用方向，称为受力分析。将所需研究的物体或物体系统从周围的物体中分离出来，单独画出它的简图，这个步骤称为取分离体或取研究对象。在研究对象上画出它所受到的全部作用力（包括主动力和约束反力），这样的图形称为研究对象的受力图。对研究对象进行受力分析和绘制受力图是本章的重点和难点。正确地对研究对象进行受力分析和绘制受力图，是分析和解决力学问题的前提和关键，而根据约束性质正确画出约束反力的方向是画好受力图的关键。绘制受力图的一般步骤为：（1）根据所研究的问题确定研究对象，取分离体。可以取单个物体作为研究对象，也可以取由多个物体组成的系统为研究对象；（2）在研究对象上画出全部的主动力（一般为已知力）；（3）根据约束的类型，在解除约束的地方正确画出约束反力。1.3自学要点1、静力学的研究对象是在力的作用下处于平衡的刚体或刚体系统，因此学习时要掌握刚体、平衡、力等基本概念。2、熟悉工程中常见约束的特点、约束简图的画法以及各种约束的约束反力的特征及表示方法。这是本章的一个重点。3、对物体或物体系统进行受力分析和绘制受力图是本章的一个难点。在画受力图时，研究对象上的力都是其它物体作用在其上的，关键在于正确分析约束反力，在画约束力时应严格按照约束的结构和特点来表示。在画受力图时，要注意以下几点：（1）不要漏画力除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有约束力，力的方向由约束类型而定。（2）不要多画力力是物体之间的相互机械作用，因此对于研究对象所受的每一个力，都应能明确地指出是由哪个施力体施加的。（3）不要画错力约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力和反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。（4）在对物体系统进行受力分析时，要分清内力和外力。内力是指物体系统内物体间的相互作用力；外力是指物体系统外的其它物体作用在物体系统内的物体上的力。在受力图上只画外力，不画内力。（5）要正确判断二力杆。（6）同一系统中各个研究对象的受力图应保证整体和局部的一致性。对于某处约束力的符号、方向一旦确定，在整体、局部或单个物体的受力图上都要与之保持一致。第二章汇交力系2.1基本要求掌握汇交力系的合成方法；熟悉汇交力系的平衡条件和平衡方程；熟练应用汇交力系的平衡方程求解刚体和刚体系的平衡问题。2.2内容概要2.2.1二力平衡原理刚体在二力作用下保持平衡的充分必要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。2.2.2增减平衡力系原理在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。图2-12.2.3力的可传性图2-1作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不会改变该力对刚体的作用效应。如图2-1所示。因此，作用在刚体上的力的三要素是力的大小、方向和作用线。作用在刚体上的力是滑动矢量。2.2.4力的平行四边形法则和力的三角形法则图2-2（a）（b）作用在物体上同一点上的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。或者说，合力矢等于这两个分力矢的矢量和。如图2-2（a）所示。也可直接从汇交点A出发，如图2-2（b）所示，先作矢量，再由的箭尾B作矢量，则由A点到C点的矢量即为力和的合力矢。其中三角形ABC称为力三角形，应用力三角形求合力的方法称为力的三角形法则。图2-2（a）（b）2.2.5力的投影1、力在轴上的投影图2-3力在轴上的投影是一个代数量。其大小等于力的始端和末端在该轴上的垂足间的线段长度；当从力的始端垂足到末端垂足的指向与该轴的正方向一致时，投影为正；反之为负。如图2-3所示。图（a）中力在x轴的投影为正，图（b）中力在x轴的投影为负。则投影可写为图2-3（2-1）其中，为力的大小，恒取正值；为力与x轴正向夹角。当力与x轴的正向夹角为图2-4锐角时，投影为正；为钝角时，投影为负；为直角时，投影等于零。图2-42、力在平面上的投影力在平面上的投影是一个矢量，它是由力的始端和末端在平面上的垂足所构成的矢量表示，如图2-4所示。的大小为：图2-5图2-53、力在直角坐标轴上的投影（1）直接投影法力在直角坐标的各轴上的投影分别用符号，和表示。若力与各轴正向的夹角分别为，如图2-5所示。则有（2-2）图2-6（2）间接投影法（二次投影法）图2-6若力与坐标轴轴的夹角为，如图2-6所示。则力在平面上的投影为，其大小为再将投影矢量分别投影到轴和轴上，有而力在轴上的投影为2.2.6汇交力系合成的几何法设刚体上作用一空间汇交力系（，，…，），各力作用线汇交于A点，则可将力系中各力沿其作用线移至汇交点A，成为具有共同作用点的共点力系，如图2-7所示。图2-8图2-7图2-8图2-7利用力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最终求得一个通过汇交点A的合力。还可用更简便的方法求此合力的大小和方向。任取一点a将各个力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形abcd，如图2-8（b）所示。此图中的虚线矢（）为力和的合力矢，在作力多边形时不必画出。这样由不封闭的多边形始点指向终点的封闭边即为合力矢，如图2-8（c）所示。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。2.2.7汇交力系合成的解析法图2-91、力的解析表达式图2-9力沿直角坐标的轴可进行正交分解，得到三个分力，和，如图2-9所示，即。其中三个分力，和和力在轴上的投影有如下关系，，式中为轴的单位矢量。因此力可表示为（2-3）2、汇交力系合成的解析法合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。（1）空间汇交力系合成空间汇交力系合成为一个合力，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为（2-4）或（2-5）其中（2-6），，为合力沿轴的投影。因此合力的大小和方向余弦分别为（2-7）（2）平面汇交力系的合成当平面汇交力系位于平面内，则合力的大小和合力与轴夹角的余弦分别为（2-8）2.2.8汇交力系的平衡条件1、三力平衡汇交定理当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下处于平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。图2-102、汇交力系平衡的充要条件图2-10汇交力系平衡的必要充分条件是力系的合力等于零。3、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件是力多边形自行封闭。如图2-10所示，刚体在四个力（，，，）作用下处于平衡，则由这四个力组成的力多边形自行封闭。4、汇交力系平衡的解析条件汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。即（2-9）式（2-9）称为空间汇交力系的平衡方程。三个方程是独立的，可以求解三个未知量。对于平面汇交力系，若取平面为力系所在平面，则其平衡方程为（2-10）式（2-10）称为平面汇交力系的平衡方程。两个方程是独立的，可以求解两个未知量。2.3自学要点1、熟悉二力平衡原理、增减平衡力系原理、力的平行四边形法则及三力平衡汇交定理。强调地是力的可传性仅适用于刚体，也就是说力只有在刚体内才能够沿着作用线移动。2、熟练计算力在坐标轴上的投影，重点讨论平面力在轴上的投影计算。力在轴上的投影是一个代数量，一定要正确判断其正负号。3、汇交力系的合成结果为一个合力矢，合力矢等于力系中各分力矢的矢量和，合力的作用线通过力系的汇交点。汇交力系的合成方法分为几何法和解析法，了解几何法的基本理论和方法即可，重点掌握汇交力系合成的解析法。4、能够灵活运用汇交力系的平衡方程求解刚体的平衡问题。对于空间汇交力系的平衡问题来说，提供的独立平衡方程有三个，即式（2-9），可求解三个未知量。重点讨论平面汇交力系的平衡问题，要注意的是平面汇交力系的独立平衡方程有两个，即式（2-10），可求解两个未知量。5、用解析法求解汇交力系平衡问题的解题步骤：（1）选取研究对象；（2）对研究对象进行受力分析，并绘制受力图。按照二力平衡原理、三力平衡汇交原理和力的可传性将所有力汇交于汇交点处。未知约束力的指向根据约束性质确定，特别注意的是对于柔索约束、光滑支承面约束来说，约束力的方向是唯一的；而对于固定铰支、活动铰支、中间铰、二力构件等约束的约束力方向可事先假定。（3）选取适当的投影轴，建立平衡方程。为使计算简化，坐标轴应尽可能与某个未知力垂直，使每一个平衡方程中只出现一个未知量，避免解联立方程。（4）在列写平衡方程时，要正确计算各力在轴上的投影，特别要注意其正负号。求解平衡方程后，若有负值出现，则表示所假定的力的方向和实际方向相反；若为正值，则表示假定的力的方向和实际方向相同。第三章力偶系3.1基本要求掌握力偶的概念及其对刚体的作用效应；熟悉力偶系的合成；熟练应用力偶系的平衡条件及平衡方程求解力偶系的平衡问题。3.2内容概要3.2.1力偶和力偶系的概念图3-1作用在刚体上大小相等、方向相反且作用线相互平行的一对力所组成的简单、基本力系称为力偶。力偶不是平衡力系，力偶对刚体只产生转动效应。如图3-1所示，力偶的两个力和所在的平面称为力偶作用面，二力的作用线之间的距离称为力偶臂。图3-1力偶系是指作用在刚体上的一群力偶。3.2.2力对点之矩矢1、平面中力对点之矩图3-2平面力对平面内一点（称为矩心）之矩是度量刚体绕点的转动效应，是一个代数量。它的绝对值等于力的大小与力臂（点到力的作用线的距离称为力臂）的乘积，它的正负可按下法确定：力使刚体绕矩心逆时针转动为正，反之为负。如图3-2所示。图3-2（3-1）图3-32、力对点之矩矢图3-3在空间情况下，力对点之矩是一个矢量，称为力对点之矩矢。力对刚体产生的绕点的转动效应用力对点之矩矢来描述，其矢积表达式为（3-2）图3-4其中为从矩心到力的作用点的矢径，如图3-3所示。图3-4若以矩心为原点，建立空间直角坐标系，如图3-4所示。设力的作用点的坐标为（），力在三个坐标轴的投影为，坐标轴的单位矢量分别为。则，。于是力对点之矩矢的解析表达式为（3-3）3、合力矩定理合力对任一点之矩矢等于各分力对同一点之矩矢的矢量和。即（3-4）对于平面力系（，，…，）来说，合力矩定理可描述为：合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。即（3-5）3.2.3力对轴之矩1、力对轴之矩力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对这个平面与该轴的交点的矩，正负号按右手螺旋法则确定，即拇指指向与轴的正方向一致为正，反之为负。当力的作用线通过该轴或与它平行时，此力对该轴之矩等于零。力对空间直角坐标系的坐标轴之矩的解析表达式为（3-6）其中（）为力的作用点在空间坐标系上的坐标，（）为力在三个坐标轴的投影。2、力对点之矩和力对轴之矩的关系力对点之矩在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩。（3-7）3.2.4力偶矩矢图3-5力偶对刚体只产生转动效应，用力偶矩矢来描述，如图3-5所示。力偶矩矢是力偶对刚体绕任一点转动效应的度量，与点的位置无关。力偶矩矢是一个自由矢量。表示为图3-5（3-8）其中是力偶矩矢在空间直角坐标系的三个坐标轴上的投影。平面力偶对刚体的转动效应用力偶矩来度量，力偶矩是一个代数量。当力偶使刚体在作用面内逆时针转动时，力偶矩取正值，反之取负值。即（3-9）3.2.5力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。力偶的性质：（1）力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡；（2）力偶可以在其作用面内任意移转，或移到另一个平行平面内，而不改变对刚体的作用效应；（3）保持力偶转向和力偶矩的大小（即力和力偶臂的乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以改变，而不会改变对刚体的作用效应。3.2.6力偶系的合成力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系中各力偶的力偶矩矢的矢量和，即（3-10）平面力偶系合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即（3-11）3.2.7力偶系的平衡条件力偶系作用下刚体平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零，即力偶系中各力偶的力偶矩矢的矢量和等于零。表示为（3-12）解析表达式为（3-13）式（3-13）称为力偶系作用下刚体的平衡方程。这组方程是相互独立的，可求解三个未知量。平面力偶系作用下刚体平衡的必要充分条件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的力偶矩的代数和等于零。表示为（3-14）式（3-14）为平面力偶系作用下刚体的平衡方程，该方程只能求解一个未知量。3.3自学要点1、熟悉力偶的定义及力偶的性质。注意力偶是一个不能再简化的基本力系，力偶对刚体只有转动效应。空间力偶用力偶矩矢来度量，力偶矩矢是一个自由矢量。而平面力偶用力偶矩来度量，是一个代数量。另外，需要强调的是力偶只能和力偶平衡这一性质。2、了解空间力对点之矩矢和空间力对轴之矩的计算，熟练计算平面力对点之矩。平面力对点之矩是一个代数量，在计算时要正确确定其正负号。3、了解空间力偶系的合成结果，掌握平面力偶系的合成结果。特别要注意地是平面力偶系的合成是各力偶的力偶矩的代数和。4、了解空间力偶系的平衡方程，熟练应用平面力偶系的平衡方程求解平面力偶系的平衡问题。平面力偶系的平衡方程只有一个，只能求解一个未知量。5、力偶系的平衡问题解题要点（1）根据题意选取适当研究对象；（2）对研究对象进行受力分析，并画出受力图。如果研究对象上的力系属于纯力偶系时，在画未知约束力方向时，不仅要根据约束性质，还要正确利用力偶只能和力偶相平衡的性质来确定约束力的方向。（3）列平衡方程，求解未知量。对于空间力偶系的平衡问题，可建立三个投影方程（即式（3-13）），可求解三个未知量。在求解平面力偶系的平衡问题时，只能列写一个平衡方程（即式（3-14）），仅能求解一个未知量。此外，在建立平衡方程时，除了要正确计算各力偶的大小外，还应正确确定各力偶矩的转向，特别是空间力偶矩矢必须严格按右手定则来确定它的方位和指向。第四章平面任意力系4.1基本要求掌握力的平移定理；掌握平面任意力系向一点简化的方法及简化结果；明确主矢和主矩的概念；掌握平面任意力系和平面平行力系的平衡条件与平衡方程；熟练地应用平衡条件求解刚体或刚体系统的平衡问题。4.2内容概要4.2.1力的平移定理图4-1力的平移定理：作用于刚体上点的力可平行移到刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。如图4-1所示，有图4-1（4-1）4.2.2平面任意力系向一点简化平面任意力系向作用面内任意一点（称为简化中心）简化，一般可得一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系各力的矢量和。即（4-2）这个力偶作用于原平面，其力偶矩称为力系对简化中心的主矩，它等于力系中各力对简化中心之矩的代数和。即（4-3）力系的主矢与简化中心的选择无关，而主矩通常与简化中心有关。因此提到主矩时，必须注明是对哪一点的主矩。4.2.4平面任意力系简化的最后结果平面任意力系向作用面内一点简化的结果，如表4-1所示。表4-1平面任意力系向一点简化的结果主矢主矩最终简化结果说明合力合力作用线离简化中心的距离。合力合力作用线通过简化中心。合力偶此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。平衡4.2.5平面固定端约束图4-2平面固定端约束不仅限制被约束物体在水平方向和铅垂方向上的移动，还限制物体在平面内的转动。因此，平面固定端的约束反力通常用一对相互垂直的未知分力和一个力偶来表示。如图4-2所示。图4-24.2.6平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要充分条件是力系的主矢和力系对任一点的主矩。1、平面任意力系的平衡方程形式（1）基本形式（4-4）平面任意力系平衡的必要充分条件是力系各力在平面上两个正交轴上投影的代数和分别等于零，力系各力对平面内任一点之矩的代数和等于零。（2）二矩式（4-5）其中A、B两点连线与x轴不得垂直。（3）三矩式（4-6）其中A、B、C三点不能共线。平面任意力系平衡方程的三种形式是完全等价的，可根据具体问题选用其中任意一种。但是，不论选用何种形式的平衡方程，独立的方程只有三个，只能求解三个未知量。图4-32、平面平行力系的平衡方程图4-3平面平行力系指各力的作用线位于同一平面且相互平行的力系。如图4-3所示。（1）基本形式（4-7）其中投影轴Oy与各力作用线不能垂直。（2）二矩式（4-8）其中A、B连线与各力作用线不能平行。平面平行力系平衡时提供两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。4.2.4刚体系的平衡问题刚体系是指若干刚体用约束联结起来的系统，实际工程中许多机构或结构都是由若干刚体组成的刚体系。1、刚化原理变形体在已知力系作用下处于平衡，若将变形后的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态保持不变。刚化原理表明满足变形体的平衡条件必满足刚体的平衡条件，但是，满足刚体的平衡条件则不一定满足变形体的平衡条件。因此，刚体和变形体平衡条件之间的关系是：刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而不是充分条件。2、刚体系的平衡刚体系平衡时，刚体系中的每一个刚体都处于平衡。因此在求解刚体系的平衡问题时，既可以取每一个刚体作为研究对象，列写相应的平衡方程，也可取刚体系整体或局部为研究对象，写出相应的平衡方程，这是与单个刚体平衡问题的不同之处。在求解刚体系的平衡问题时，研究对象的选择存在多样性和灵活性，问题的解法也往往不止一种。4.3自学要点1、掌握平面任意力系向平面内一点的简化方法和结果。通常得到一个力和一个力偶，但这并不是力系简化的最终结果，还需要进一步讨论。平面任意力系向一点简化的最终结果为：力、力偶或平衡。2、熟悉平面任意力系平衡方程的不同形式，注意每一种形式使用的附加条件。当平面任意力系平衡时，则力系中各力之间的关系由三个独立平衡方程确定。对于平面平行力系，力系中各力之间的关系由二个独立的平衡方程确定。3、熟练应用平面任意力系的平衡方程求解单个刚体和刚体系的平衡问题。求解的基本步骤与前面章节所讲的方法基本相同，仍是选取研究对象、进行受力分析和绘制受力图、列写平衡方程求解。但需要注意以下几个问题：（1）根据题意灵活选取研究对象。一般可先取整体后取局部；有时可先取局部后取整体作为研究对象。在选取研究对象时，尽可能以受力简单而且又与待求量有关的物体或物体系统为研究对象。（2）正确绘制研究对象的受力图。搞清楚被解除的约束性质，按照约束性质确定约束反力；在绘制两个物体以上组成系统的受力图时，只画外力，不画内力；在受力图中还需注意作用与反作用力的画法。（3）选择合适的平衡方程形式，投影轴及矩心的位置。根据研究对象的受力特点、结构形式，灵活选择平衡方程的形式（投影方程或矩方程）。在写投影方程时，投影轴应与尽量多的未知力相垂直，以减少方程中的未知量，简化计算；在写矩方程时，一般将矩心选在多个未知力作用线的交点上。总之，尽可能使每个平衡方程只含一个未知量，避免解联立方程。（4）写平衡方程之前，应明确研究对象所受力系及提供的独立平衡方程个数。在列写平衡方程时，应包括研究对象上的所有主动力和约束力，切勿遗漏。在计算力的投影或力矩时，注意其正负号；若力系中有力偶，应注意力偶在任意投影轴上的投影值等于零，对任意点的矩等于力偶矩。（5）校核。在求解出所需未知量后，可以用多余方程或未用到的平衡方程进行校核，验证计算结果的正确性。第五章空间任意力系5.1基本要求掌握作用在刚体上的空间任意力系的简化；明确主矢和主矩的概念；熟悉空间任意力系和空间平行力系的平衡条件和平衡方程，并能应用平衡方程求解空间任意力系的平衡问题。5.2内容概要5.2.1空间任意力系的简化空间任意力系向任一点简化可得一个力和一个力偶，这个力通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，并与简化中心的选择无关；这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，一般与简化中心的选择有关。设刚体上作用有空间任意力系（，，…，），向简化中心点简化，则力系的主矢为（5-1）在以简化中心为原点的坐标系下，主矢在三个坐标轴上的投影分别为（5-2）主矢在坐标系的各轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投影的代数和。主矢与简化中心的位置无关。主矢的大小为主矢的方向通过它与三个坐标轴的方向余弦表示，即力系向简化中心的主矩为（5-3）主矩在坐标系的三个坐标轴上的投影为（5-4）主矩在坐标系的各轴上的投影等于力系中各力对相应轴之矩的代数和。主矩一般与简化中心的位置有关。主矩的大小为主矩的方向通过它与三个坐标轴的方向余弦表示，即5.2.2空间任意力系的平衡条件空间任意力系作用下刚体平衡的必要充分条件是力系的主矢和力系向任一点的主矩等于零。即，（5-5）或（5-6）式（5-6）称为空间任意力系作用下刚体的平衡方程，即空间任意力系作用下刚体平衡的必要充分条件是，力系中各力在三个正交坐标轴上投影的代数和分别等于零和力系中各力对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。空间任意力系作用下的刚体平衡时，有六个独立的平衡方程，可解六个未知量。5.3自学要点1、空间任意力系的简化了解空间任意力系的简化方法和简化结果，注意空间任意力系简化和平面任意力系简化的异同。空间任意力系的简化方法和平面任意力系的简化方法都是基于力的平移定理进行的，而简化结果都是一个力和一个力偶，力通过简化中心，力矢等于力系的主矢，力偶矩等于力系对简化中心的主矩。区别在于力系主矢和主矩的计算。（1）力系主矢的计算平面任意力系中每个力用其在坐标系的两个坐标轴上的分力表示，即空间任意力系中每个力都是空间力，用力在坐标系的三个坐标轴上的分力表示，即因此在计算力系主矢时，平面任意力系的主矢是一个位于平面的量，用一对正交分力表示，即而空间任意力系的主矢是一个空间力，用三个相互正交的分力表示，即（2）力系主矩的计算平面任意力系中每个力对简化中心之矩是一个代数量，因此力系的主矩等于力系中每个力对简化中心之矩的代数和，即空间任意力系中每个力对简化中心之矩是一个矢量，因此力系的主矩等于力系中每个力对简化中心之矩的矢量和，即2、了解空间任意力系平衡的必要充分条件和平衡方程，特别要强调地是空间任意力系平衡时，提供六个独立的平衡方程（式5-6），可求解六个未知量。3、空间任意力系平衡问题的求解和平面任意力系平衡问题的求解基本步骤是相类似的。选取研究对象，进行受力分析和绘制受力图，列写平衡方程和求解。要注意的是在空间力系平衡问题中，确定空间力与各轴之间的几何关系是非常重要的。第六章静力学专题6.1基本要求本章研究静力学的二个专题：桁架和摩擦。掌握平面简单桁架的杆件内力计算方法：节点法和截面法；了解滑动摩擦、摩擦角和自锁现象，以及滚动摩擦等基本概念；会求解考虑摩擦时的平衡问题。6.2内容概要6.2.1平面简单桁架桁架是工程中常见的一种由一些细长直杆在两端彼此连接而成的几何形状不变的结构。例如房屋的屋架，桥梁的拱架等。当杆件轴线位于同一平面内的桁架，称为平面桁架，否则称为空间桁架。各杆轴线的交点称为节点。工程中为了简化计算，对平面桁架作了下面的三点基本假设：（1）各杆件均为直杆，自重不计。（2）节点为光滑铰链连接。（3）外力（载荷和约束力）都作用在节点上，并且作用线都在桁架平面内。在上述三种基本假设的基础上可知，桁架中所有杆件均为二力杆。计算桁架杆件内力的二种方法：节点法和截面法1、节点法以桁架的节点为研究对象，逐个考察其受力与平衡，从而求得全部杆件内力的方法，称为节点法。2、截面法用假想截面将桁架截开，考察其中任一部分平衡，应用平衡方程，求出被截杆件的内力，这种方法称为截面法。截面法对于只需要确定部分杆件内力的情形是非常简便的。6.2.2摩擦1、滑动摩擦（1）滑动摩擦力图6-1两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面之间将会产生阻碍彼此运动的力，这种阻力称为滑动摩擦力。图6-1在水平主动力作用下，当相互接触的物体具有相对滑动的趋势，但仍处于平衡状态时，接触面间的滑动摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，记为，如图6-1所示。随着的增加，静摩擦力也随之增大。当其达到某一值时，物体将不能保持平衡而开始滑动。可见静摩擦力有一个极限值。这个极限值称为最大静摩擦力，记为。当水平主动力继续增加，接触面处的摩擦力超过最大静摩擦力后，物体间有了相对滑动，这时接触面间的滑动摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，记作。静摩擦力达到最大静摩擦力时的物体平衡状态，称为临界平衡状态。（2）库仑摩擦定律最大静摩擦力，方向沿接触面的切向，与相对滑动趋势的方向相反，大小与接触面间的正压力的大小成正比，即（6-1）式（6-1）称为库仑摩擦定律，其中为静摩擦系数。静摩擦系数通常用实验测定，其参考值在一般的工程手册上可以查到。动滑动摩擦力，方向沿接触面的切向，与相对滑动的方向相反。动滑动摩擦力的大小也与接触面的正压力成正比，即（6-2）图6-2式中称为动摩擦系数，其值一般小于静摩擦系数。为了简单起见，常取。图6-22、摩擦角和自锁现象（1）摩擦角当考虑摩擦时，物体所受到的接触面的约束力包括法向约束力和静摩擦力。这两个力的合力（6-3）称为接触面的全约束力。全约束力与接触面的法线间的夹角为，如图6-2（a）所示。则（6-4）当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大静摩擦力，此时全约束力与接触面的法线间的夹角达到最大值，称为摩擦角，如图6-2（b）所示。显然有（6-5）该式表明，摩擦角的正切等于摩擦系数。（2）自锁现象图6-3当主动力系的合力的作用线与接触面法线的夹角不超过摩擦角时，即的作用线位于摩擦角的范围内，无论的大小有多大，物体一定保持平衡。这种力学现象称为自锁现象，如图6-3所示。反之，当主动力系的合力的作用线在摩擦角以外，不论的值有多小，物体一定不能保持平衡。图6-3摩擦自锁现象在日常生活和工程技术中都能看到。如千斤顶、螺栓、木楔等。3、滚动摩擦地面或路轨上滚动的轮子，在轮与轨的接触处除了有滑动摩擦力外，还有阻碍其滚动的约束力偶，此力偶称为滚动摩擦力偶，为滚动摩擦力偶矩，如图6-4所示。滚动摩擦力偶矩的大小随主动力矩的大小而变化，但存在最大值，即图6-4图6-4其中与接触面的正压力成正比，即式中，称为滚动摩擦系数，具有长度量纲，可在工程手册中查到。滚动摩擦力偶的转向与滚动的趋势或滚动的方向相反。6.3自学要点1、平面简单桁架杆件内力的计算平面简单桁架中的杆件均为二力杆，各杆件的内力不是拉力就是压力。在绘制研究对象的受力图时，为了方便起见，可以统一假设杆件受到拉伸作用，即将杆件内力按背离节点的方向画出。这样从计算结果的正负号，便可判定杆件内力的性质。如计算结果为正，杆件受拉，否则为压。（1）节点法节点法是以平面桁架的各个节点为研究对象，这样每个节点都受到平面汇交力系的作用，只能列出两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此应先选取只有两个未知内力的节点为研究对象。（2）截面法用一假想截面把桁架截开，截面应截过待求内力的杆件，选择外载荷，外约束力均为已知，且受力较简单的一部分为研究对象，绘出其外约束力，外载荷和所截杆件内力的受力图。由于平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所以截面截开的未知内力的杆件不宜超过三根。若在选取截面时，难以满足此条件，可以通过选择适当形式的平衡方程，求解某些杆件内力。2、滑动摩擦和滚动摩擦（1）滑动摩擦在学习滑动摩擦这一节内容时，要注意滑动摩擦力的概念及分类；根据研究对象的运动趋势，正确判断摩擦力的方向及大小。考虑摩擦时，物体的运动状态可分为三种：非临界平衡状态、临界平衡状态和运动状态。一般来说，当物体处于非临界平衡状态时，接触面处的摩擦力由物体的平衡条件确定，其大小可取零到最大静摩擦力之间的任意值，即当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，其大小由公式（6-1）确定。这两种情况的静摩擦力方向，均沿接触面的切向，与相对运动趋势相反。当物体处于运动状态时，接触面处的摩擦力是动摩擦力，由公式（6-2）确定，方向与相对运动方向相反，不能任意假定。（2）滚动摩擦了解滚动摩擦的基本概念即可。3、摩擦角和自锁现象了解摩擦角的概念，要注意的是摩擦角是指当物体处于临界平衡状态时，全约束力与接触面法线的夹角。了解自锁条件。3、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题求解考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前面章节所述大致相同，但有以下几个特点：（1）在对物体进行受力分析时，除主动力和各类光滑约束的约束力外，必须考虑接触面间的切向静摩擦力，通常增加了未知量的数目。（2）当物体处于非临界平衡状态时，静摩擦力由平衡方程求解，通常是处于一个范围，即，方向可以任意假定；只有当其静止并处于临界平衡状态时，才可由计算，并且此时的摩擦力方向不能任意假定，必须根据相对滑动趋势，正确判定摩擦力的方向。（3）由于物体平衡时摩擦力有一定的范围（），所以有摩擦的平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。第二篇材料力学第七章绪论7.1基本要求了解材料力学的研究对象和基本假设；掌握内力的概念及计算方法；掌握应力、正应力和切应力、正应变和切应变的概念。7.2内容概要7.2.1材料力学的研究对象1、材料力学的研究任务研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏或失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论与方法。强度指构件抵抗破坏的能力。如屋梁不应折断，储气罐不能破裂。刚度指构件抵抗变形的能力。如车床主轴的变形不能过大，否则影响加工精度。稳定性指构件保持原有平衡状态的能力。如千斤顶的丝杆要保证不被压弯。2、材料力学的研究对象材料力学研究的对象是变形固体，即在外力作用下产生变形的固体。主要是针对杆件这类形状构件，即一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件。7.2.2材料力学的基本假设1、连续性假设：假设在构件所占有的空间内毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。2、均匀性假设：假设材料的力学性能（指材料在外力作用下所表现的性能）与其在构件中的位置无关，即认为是均匀的。3、各向同性假设：假设材料沿各个方向的力学性能相同，即认为是各向同性。因此，在材料力学中，一般将实际材料看作是连续、均匀和各相同性的可变形固体。7.2.3外力和内力1、外力外力是指作用在构件上的其它载荷，包括主动力和约束力。根据外力在构件表面的分布情况，可分为分布力和集中力。连续分布在构件表面某一范围的力称为分布力。如果分布力的作用范围远小于构件的表面面积，则可将分布力简化为作用于一点的力，称为集中力。2、内力材料力学所研究的内力，实际上是一种“附加内力”。由于外力作用，构件内部相连部分之间的相互作用力，称为内力。内力分析是解决构件强度、刚度和稳定性问题的基础。图7-13、内力的计算方法－截面法图7-1截面法是求解内力的一般方法。截面法的关键步骤是“截开→代替→平衡”。“截开”是指在待求内力处用假想的横截面将构件截开，留下一部分作为研究对象；“代替”是指用内力代替去掉部分对留下部分的作用；“平衡”是指对研究对象建立静力平衡方程求内力。用假想截面将构件截开，在切开的截面上作用有连续分布的内力，根据力系简化理论，可将分布内力向横截面的形心简化，得到三个内力分量和三个内力偶矩分量，统称为内力分量。如图7-1所示。沿构件轴向的内力分量，称为轴力；作用线位于所切横截面的内力分量和，称为剪力；力偶矩矢量沿轴线的内力偶矩分量，称为扭矩；力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩分量和，称为弯矩。上述六个内力分量与作用在切开构件上的外力构成平衡力系，因此，利用静力平衡方程，，，，建立内力和外力的关系，求解各内力分量。7.2.4正应力和切应力1、应力的概念图7-2内力在横截面上是连续分布的，截面上每一点处都作用有分布内力，分布内力在某一点处的集度称为应力。如图7-2（a）所示，计算截面m-m上任一点k的应力，可围绕该点取一微面积，若微面积上作用有内力，则截面m-m上k点处的总应力为图7-2（7-1）总应力可分解为沿截面法向的正应力分量和沿截面切向的切应力分量，如图7-2（b）所示。则有（7-2）应力的单位是（帕斯卡），。常用单位为（兆帕）和（吉帕），有，7.2.5正应变和切应变图7-3应变描述了构件内部各点处的变形程度，分为正应变和切应变。如图7-3（a）所示，k点处单元体的棱边ka的原长为，变形后的长度为，则k点沿棱边ka方向的正应变为图7-3（7-3）微单元体相邻棱边所夹直角的改变量，称为切应变，用表示，单位为弧度（rad）。正应变和切应变均为无量纲量。7.3自学要点1、了解材料力学的任务、研究对象及基本假设。2、注意区分材料力学的内力和理论力学中的内力。材料力学中的内力是由于外力的作用而在构件内部引起的“附加内力”；理论力学中的内力是指构件之间的相互作用力。3、掌握内力的求解方法：截面法。当求解构件某处的内力时，首先用假想的横截面截开构件，取其中的一部分作为研究对象，并用内力分量表示去掉部分对研究对象的作用，然后建立静力平衡方程。在这里要注意的是尽管切开截面上的内力分量有六个，如图7-1所示，但是随着构件上的外力不同，在切开截面上的内力分量不一定包括六个内力分量。在大数情况下，构件横截面上仅有一种、二种或三种内力分量。3、掌握应力、全应力、正应力和切应力的基本概念。值得注意的是：应力是指受力构件某一截面上某一点处的内力集度，在讨论应力时必须明确该应力描述的是哪个截面的哪个点。由于全应力是矢量，为了分析问题方便起见，将切开横截面上某点处的全应力分解为正应力和切应力。注意正应力的方向垂直于截面，切应力的方向相切于截面。4、掌握正应变和切应变的定义。正应变是指构件内某点处沿某方向的变形情况，在描述正应变时，必须指明是在哪一点处沿哪一个方向的正应变；切应变是指构件某点处微单元体的直角改变量。轴向拉伸与压缩8.1基本要求掌握轴力的计算与轴力图的绘制；掌握轴向拉压杆的应力计算及强度计算；掌握轴向拉压杆的变形计算；掌握材料在拉伸与压缩时的力学性能，特别是低碳钢在拉伸时的应力－应变曲线；了解超静定问题的概念和基本求解方法。8.2内容概要当外力或外力的合力作用线沿着杆件轴线，杆件的主要变形为轴向伸长或缩短。这种以轴向拉压为主要变形的杆件称为拉压杆。8.2.1轴力与轴力图轴力是轴向拉压杆在横截面上的内力，轴力的作用线与杆件的轴线重合。轴力的正负号规定：拉力为正，压力为负。轴力图是描述轴力沿杆件横截面位置的变化情况。根据轴力图可确定杆件上最大轴力的数值及其所在截面的位置。8.2.2拉压杆的应力1、拉压杆横截面上的正应力根据拉压杆件在变形前后横截面仍保持为平面这个“平面假设”可知，内力在横截面上均匀分布，因此，横截面上各点的正应力相等，即（8-1）式中A为横截面的面积，为横截面上的轴力。公式（8-1）适用范围：（1）适用于轴向拉压杆；（2）适用于弹性或塑性范围；（3）对于锥度的变截面直杆；（4）在外力作用点附近或杆件面积发生突变处，应力分布不均匀，不能应用此公式，稍远一些的横截面上方可使用，即“圣维南原理”。2、拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆件在斜截面上既有正应力，又有切应力，即（8-2）（8-3）其中，代表杆件横截面上的正应力；为从横截面外法线转到斜截面外法线的夹角，逆时针为正，反之为负。斜截面上的应力随着其方位的变化而变化。当时，正应力为最大，其值为；当时，切应力为最大，其值为。8.2.3材料的力学性能材料的力学性能是指在外力作用下，材料所表现出的变形和破坏的特性。作为塑性材料的代表，主要研究低碳钢在拉伸和压缩时的力学性能。1、低碳钢的拉伸力学性能低碳钢在拉伸时的应力－应变关系曲线具有明显的四个阶段，即线性阶段、屈服阶段、硬化阶段和颈缩阶段。与之相对应有四个应力指标，即比例极限、弹性极限、屈服极限和强度极限。其中，屈服极限表示材料出现塑性变形，强度极限表示材料丧失承载能力。因此和是衡量材料强度的两个重要强度指标。2、低碳钢的压缩力学性能低碳钢在压缩时的应力－应变关系曲线在屈服之前与拉伸的应力－应变关系曲线基本重合，拉伸与压缩时的应力指标、、和弹性模量E基本相同。不同之处在于随着压力的不断增加，低碳钢试件越压越扁，无法测定其强度极限。3、衡量塑性的两个指标（1）材料的伸长率（8-4）其中，l为试件试验段原长，l1为试件拉断时，试验段的长度。（2）断面收缩率（8-5）其中，A为试件试验段横截面的原面积，A1为试件断裂后断口的横截面面积。在工程中，通常将的材料称为塑性材料，的材料称为脆性材料。低碳钢的伸长率约为（20~30）％，是很好的塑性材料。4、灰口铸铁的力学性能在拉伸实验时，灰口铸铁从开始受力到断裂，变形非常小，没有屈服和颈缩阶段，是一种脆性材料。衡量材料强度的惟一指标是拉伸强度极限。在压缩实验中，灰口铸铁的强度极限远高于拉伸时的强度极限（约为3~4倍）。因此，在工程中宜用作承压构件。8.2.4应力集中概念当杆件截面尺寸突然变化而引起局部应力急剧增加的现象称为应力集中。应力集中的程度用应力集中因数K表示。截面尺寸变化越急剧，角越尖，孔越小，应力集中程度越严重，零部件设计中尽量避免或降低这些不利因素的影响。8.2.5拉压杆件的强度计算为了保证拉压杆件在工作时不致因强度不够而破坏，杆内的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即强度条件为（8-6）其中称为许用应力，为材料的极限应力，为安全因数，是大于1的数。对于塑性材料来说，极限应力取为材料的屈服极限；脆性材料的极限应力取为材料的强度极限。利用强度条件（8-6），一般可以解决三类强度问题：（1）校核强度当已知拉压杆的截面尺寸、许用应力与所受的外力时，通过比较最大工作应力和许用应力的大小，判断杆件在该外力作用下是否能够安全工作。（2）选择截面尺寸已知拉压杆所受外力和许用应力，根据强度条件设计出合理的截面以保证安全工作，式（8-6）可改写为（8-7）（3）确定承载能力已知拉压杆的截面尺寸和许用应力，根据强度条件确定杆件所能承受的最大轴力，式（8-6）可改写为（8-8）8.2.6拉压杆的变形1、胡克定律和轴向变形轴向拉压试验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即（8-9）式（8-9）称为胡克定律。比例系数E称为材料的弹性模量，是材料的一个常数，其值由试验测定。实际上，材料的应力－应变图中初始直线的斜率，即等于材料的弹性模量。弹性模量的常用单位为MPa或GPa。当拉压杆为等截面常轴力杆件时，杆件的轴向变形和轴向正应变分别为（8-10）（8-11）其中为拉压杆的轴向变形，l为拉压杆的原长，为截面上的轴力，EA称为拉压杆的拉压刚度，为轴向正应变。对于一给定长度的杆，在一定轴向载荷作用下，拉压刚度愈大，杆的轴向变形愈小。而且，由式（8-10）可知，轴向变形和轴力具有相同的正负号，即伸长为正，缩短为负。2、横向变形与泊松比若杆件的原宽度为b，在轴向力作用下，杆件宽度变为b1，则杆的横向变形和横向正应变分别为（8-12）（8-13）试验表明，轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向缩短，其横向尺寸增大，即横向正应变与轴向正应变恒为异号。在比例极限范围内，横向正应变与轴向正应变成正比，即（8-14）或（8-15）其中，称为泊松比。泊松比是材料的一个常数，由试验测定。8.2.7简单拉压静不定问题对于某一结构，若由静力平衡方程不能确定出全部未知力（包括支座反力和杆件内力），则该结构称为静不定结构，对应的问题称为静不定问题。静不定问题中未知力的数目与有效的静力平衡方程数目之差称为静不定结构的静不定次数。求解静不定问题的关键在于根据变形协调条件建立补充方程。8.2.8连接部分的强度计算拉压杆与其它构件之间，或一般构件与构件之间，常采用销钉、螺栓、键等相连接。为了保证正常工作，连接件也需满足一定的强度条件。由于连接件的受力和变形比较复杂，在工程中通常采用“实用计算法”计算连接件各部分的“名义应力”，并进行强度计算。这里主要涉及到连接件的剪切和挤压强度计算。1、剪切和剪切强度条件当构件受到两个大小相等，方向相反，力的作用线相互平行且距离很近的两个力作用时，两力间的横截面将发生相互错动，这种变形称为剪切。对于图8-1（a）中所示的铆钉，在外力P的作用下，将发生剪切变形。当力P过大时，铆钉将沿着横截面1-1（称为剪切面）被剪断，如图8-1（b）所示。因此，对于铆钉等受剪连接件，必须考虑其剪切强度问题。图8-1（c）图8-1（a）图8-1（c）图8-1（a）图8-1（b）图8-1（b）在工程计算中，通常假设剪切面上的切应力均匀分布，连接件的切应力与剪切强度条件分别为（8-16）（8-17）其中，为作用线位于剪切面的内力，即剪力；为剪切面的面积；为连接件的许用切应力。2、挤压与挤压强度条件图8-1（c）所示铆钉在外力P作用下，铆钉与孔直接接触，在接触面ab或cd上会产生相互挤压力。当挤压力过大，会导致铆钉或连接钢板产生明显塑性变形，这是工程中不允许出现的。这种破坏称为挤压破坏。因此，为了保证构件的正常工作，连接件还需满足挤压强度条件。连接件的挤压应力和挤压强度条件分别为（8-18）（8-19）其中，为挤压面上的挤压力；为挤压面的有效挤压面积，；为材料的许用挤压应力。8.3自学要点8.3.1正确计算轴力和绘制轴力图计算轴力通常用截面法。对于所求截面上的未知轴力，首先假设为拉力，然后利用平衡方程求解。若结果为正，说明假设的方向与实际方向相同，轴力为拉力；若结果为负，说明假设的方向与实际方向相反，轴力为压力。这种方法称为“设正法”，是求解内力的一般方法。轴力图表示轴力沿杆轴线的变化情况。作图时，以平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于轴线的另一坐标表示轴力。在轴力图上不仅要反映出确定横截面位置的坐标，还要求明确轴力的大小与正负号。当杆件受到多个轴向外力作用时，要注意在轴向外力作用处的左右（或上下）两横截面上的轴力会发生变化，因此根据杆件的受力情况，将在两个相邻轴向外力之间的杆件作为一段，从而分成若干段，每段内的所有横截面具有相同的轴力，用截面法求解其轴力，绘制出轴力图。8.3.2拉压杆的强度计算公式给出了保证拉压杆安全工作的强度条件。为最大工作应力，即在外力作用下，杆内所产生的最大正应力，与之相对应的横截面称为危险截面。由此可见，在进行强度计算时，确定危险截面是问题的关键，应注意以下两点：（1）对于等截面直杆，轴力绝对值最大所在截面为危险截面，此时最大工作应力；（2）对于变截面杆，可能位于轴力绝对值最大的截面，也可能位于面积最小的截面。拉压杆强度计算的基本步骤：（1）根据题意，确定研究对象，求解支座反力；（2）用截面法分析研究对象的内力，确定危险截面及其内力；（3）计算危险截面上的应力，并建立强度条件，按要求进行强度计算。8.3.3拉压杆的变形计算首先注意公式只适用于轴力相同的等截面直杆。对于阶梯形截面并受到多个轴向外力作用的直杆，若需计算杆件变形量，不能直接应用公式计算，因为杆件的截面内力随着截面位置的不同而变化，同时截面的面积也在变化。首先根据外力的作用情况及截面尺寸的变化情况将杆件进行分段，保证每段内截面的轴力和横截面面积相同。然后分别计算各段的变形量，而杆件的总变形量则等于各段变形量之和。计算各段变形量时，要注意轴力和变形的一致。当某段的轴力为拉力时，该段为拉伸变形，变形量为正值；若某段的轴力为压力，则该段为缩短变形，变形量为负值。因此计算杆件总变形量时，要注意的是它等于各段变形量的代数和。即（8-20）计算结构节点位移时，根据结构中各杆件的内力确定杆件的变形，利用“切线代替圆弧”的方法画出节点变形图，根据变形图的几何关系计算节点位移。此问题的求解关键在于正确画出节点变形图，需要强调的是杆件轴力和变形的一致性。8.3.4简单静不定问题的求解对于静不定问题来说，除了列写静力平衡方程外，还须研究结构的变形，根据变形几何关系写出变形协调条件，然后结合胡克定律列出相应的补充方程。也就是说，求解静不定问题必须考虑以下三个方面：（1）满足静力平衡方程；（2）满足变形协调条件；（3）符合力和变形的物理关系（在线弹性范围内，即符合胡克定律）。求解静不定问题的基本步骤：（1）根据结构的约束情况，正确分析约束力，确定结构的静不定次数。（2）列写独立的静力平衡方程。（3）假设未知轴力方向、杆件及结构变形后的位置，列出变形几何关系，即变形协调条件。要特别注意的是，杆件的轴力和变形一定要一致，即若假设杆件的轴力为拉力，则杆件发生伸长变形；若轴力为压力，则杆件发生缩短变形。（4）列出变形与轴力间的关系（即物理关系），并代入变形协调条件得到补充方程。（5）联立求解静力平衡方程和补充方程，求出全部未知力。其余问题和强度计算相同。8.3.5连接部分的强度计算连接部分的强度计算包括剪切强度和挤压强度计算，难点在于正确确定剪切面和挤压面。剪切面是指连接件发生相互错动的面，而挤压面是指连接件和被连接件相互接触的面。在实际计算时，挤压面面积是根据接触情况来确定。当接触面是平面时，挤压面面积与接触面面积相等；当接触面是圆柱面时，挤压面面积为实际接触面在其直径平面上的投影面积。扭转9.1基本要求掌握扭力偶矩、扭矩的计算和扭矩图的绘制；掌握圆轴扭转时，横截面上的应力计算和强度计算；掌握圆轴扭转时的变形计算和刚度计算；理解切应力互等定理和剪切胡克定律。9.2内容概要9.2.1圆轴扭转时的受力和变形特征受力特征：垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶；变形特征：杆件各横截面绕轴线作相对转动，产生扭转角。9.2.2扭力偶矩和扭矩1、传动轴的扭力偶矩对于传动轴等转动构件，通常可根据轴的转速n（单位r/min）和所传递的功率P(单位KW)来计算传动轴所受的扭力偶矩M，即（9-1）2、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，在横截面上产生的内力称为扭矩，用T表示。通常规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，反之为负。任一截面处的扭矩用截面法确定，扭矩沿圆轴轴线方向的变化规律一般用扭矩图表示。扭矩图的绘制和轴力图的绘制方法相同。9.2.3切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理：在微单元体的两个相互垂直截面上，切应力必然成对出现，其大小相等，方向均指向或离开两截面的交线。如图9-1所示。图9-2图9-2图9-1图9-1纯剪切：在微单元体的各个面上只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪切。剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力和切应变成正比，即（9-2）其中，G为切变模量，是材料的弹性常数，其值随材料而异，并由实验测定。如图9-2所示。对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比和切变模量G之间的关系为（9-3）9.2.4圆轴扭转横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的应力及其分布规律是一个超静定问题，必须以实验为基础，对变形作出基本假设，从几何、物理和静力学三方面进行综合分析。圆轴扭转时的平面假设：圆轴扭转变形前后，横截面保持为平面，其形状和大小均无变化，而且半径仍为直线，相邻两横截面的距离保持不变，仅刚性地绕轴线作相对转动。变形几何关系：（9-4）物理关系：（9-5）静力学平衡关系：（9-6）圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式（9-7）其中，——横截面上距离圆心处的切应力，与半径垂直；T——横截面上的扭矩；——横截面对圆心的极惯性矩，，仅与截面的尺寸有关，单位为米的四次方（）。当时，切应力最大，其值为（9-8）其中，称为抗扭截面系数，，是一个仅与截面尺寸有关的量，单位为米的三次方（）。9.2.5极惯性矩和抗扭截面系数1、实心圆截面极惯性矩：（9-9a）抗扭截面系数：（9-9b）其中，d为圆截面的直径。2、空心圆截面对于内径为d，外径为D（，代表内、外径的比值）的空心圆截面来说，极惯性矩：（9-10a）抗扭截面系数：（9-10b）其中3、薄壁圆截面薄壁圆截面的平均半径为，壁厚为，则极惯性矩：（9-11a）抗扭截面系数：（9-11b）9.2.6圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏的形式有两种：屈服和断裂。塑性材料受扭轴发生屈服破坏，屈服时横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力；脆性材料受扭轴发生断裂破坏，断裂时横截面上的最大切应力称为扭转强度极限。扭转屈服应力和扭转强度极限，通称为扭转极限应力，用表示。圆轴扭转的强度条件：（9-12）其中，——受扭轴横截面上的最大切应力；——称为许用切应力，。为材料的扭转极限应力，n为安全因数。9.2.7圆轴扭转变形与刚度条件1、圆轴扭转变形圆轴的扭转变形用横截面间绕轴线的相对角位移，即扭转角表示。相距l的两横截面间的扭转角为（单位：）（9-13）其中称为截面的抗扭刚度，越大，扭转角越小。2、圆轴扭转刚度条件在工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角，使其不超过某一规定的许用值，则圆轴扭转的刚度条件为（9-14）9.3自学要点9.3.1扭矩和扭矩图横截面上的扭矩用截