球面距离-上海西初级中学

《球面距离》的教学设计与说明课题：球面距离教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）授课教师：上海市市西中学舒兵一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。“球面距离”是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。区别于其他距离，“球面距离”是一段圆弧的长度。学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且联通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。通过学习，使学生认识到数学源于实际又作用于实际，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。二．学情分析这节课的授课对象是上海市示范性高中的理科实验班学生，他们有良好的学习习惯，具有较强的口头与书面表达能力以及探究能力。学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球的大、小圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能熟练的运用相关三角知识解三角形。三．学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。结合课程标准，这节课的教学目标和重点难点拟定为：教学目标：1.知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。2.体验将空间中的计算转换为平面问题的求解方法。3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。教学重点：会计算简单情形下的球面距离。教学难点：地球上两点间球面距离的求法。四．教学过程教学设计设计说明（一）．引入教师演示平面上、圆柱侧面上两点间的最短路径；由学生动手探索球面上两点间的最短路径。通过实验和类比使学生初步感受球面距离的概念。（二）.构建新知1.给出球面距离的定义可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。2．强化定义，落实关键词判断图中联结A、B两点的红色曲线的长度是否A、B间的球面距离？3.球面距离的计算复习扇形的弧长公式，得到A、B两点间球面距离的计算方法：（其中为∠AOB的弧度数，R为球的半径）练习：已知球O的半径为R，A、B是球面上两点。AB=R，求A、B两点的球面距离。〈变〉已知球O的半径为R=6，A、B是球面上两点。A、B所在的小圆O’的半径r=4，∠AO’B=，求A、B两点的球面距离。由于对此定义合理性的证明教材中没有提及，课程标准中没有要求，也不是学生在高中时必须掌握的能力，故没有纳入这节课的教学目标。加深对定义中的关键词：“大圆”、“劣弧”的理解。通过一组练习使学生初步掌握球面距离的计算方法，并为之后的应用例题解答进行铺垫。（三）．应用实践1.（问题来源于安理会制裁朝鲜的决议）已知地球的半径约为6371千米，北京的位置约为东经116°北纬40°；平壤的位置约为东经126°北纬40°。求两地之间的球面距离（结果精确到1千米）。2.（问题来源于MH370失联事件）已知地球的半径约为6371千米，北京的位置约为东经116°北纬40°；吉隆坡的位置约为东经102°北纬3°。求两地之间的球面距离（结果精确到1千米）。3.阅读材料：我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负。记地球面上一点A的球面坐标为A（经度，纬度）。设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（，），B（，），则地球A、B上两点间球面距离公式：。（四）.小结这节课学习了两点间的球面距离，即通过球面上A、B两点的大圆劣弧的长度。我们把空间中的边、角计算转换为平面上的问题，在扇形AOB中求出∠AOB的大小，并利用弧长公式求得两点的球面距离。并且我们运用数学知识来解决地理中的实际应用问题，计算了地球表面同经度或同纬度的两点间的球面距离。（五）.布置作业A组1.已知球O的半径为2，A、B两点在球面上，A、B所在的小圆O’半径为1，∠AO’B=60°，求A、B两点的球面距离。2.已知上海的位置约为东经121°，北纬31°；大连的位置约为东经121°，北纬39°，试求上海和大连之间的球面距离。（结果精确到1千米3.已知北京的位置约为东经116°，北纬40°；纽约的位置约为西经74°，北纬40°，试求北京和纽约之间的球面距离（结果精确到1千米）。B组1.球O半径为1，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别为大圆圆弧AB与AC的中点，求点E、F在该球上的球面距离。2.已知上海的位置约为东经121°，北纬31°，巴西里约热内卢的位置约为西经43°，南纬23°。试求上海和里约热内卢之间的球面距离（结果精确到1千米C组查阅文献，推导地球上两点间球面距离公式：。选择具有实际背景的问题作为应用实践，将教材中的例题作为课后作业安排。学生任选一个问题进行解答，体现个性化学习。利用阅读材料的公式验证应用实践的结果。分层作业设计更符合学生的个性化发展。五．教学设计说明学生在以前的学习中经历过将“平面上两点间的最短路径是连接这两点的线段”这一概念直接引入的过程，所以设计了通过实验和类比来了解球面距离概念的环节，并借用多媒体技术，使球面距离更直观化，让学生更好地体会将空间中的计算转换为平面上的问题求解的方法。另外，应用实践中，结合一定的地理知识，将地球上两点间的距离转换为数学问题，即两点的球面距离，使学生体验“由此及彼、由表及里”这一认识事物的过程。为了达到教学目标，通过设计实验、制作PPT课件使概念更直观化；并从理解、掌握、应用三个层次进行教学，分层递进。同时，为了体现学生的主体性，以兴趣、动机、态度、思维来支撑整个学习过程，在教学中尽可能让学生在互动中得到正确的