四川省成都市川大附中高三上学期期中考试数学（理）试题

川大附中2021届高三上半期考试数学试题(理科)(时间：120分钟满分：150分)第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知是实数集，集合，，则（）A． B． C． D．2.若复数满足，则下列说法正确的是（）A．的虚部为2B．为实数C．D．3.已知，，，则（）A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a4.已知变量满足约束条件，则的最大值（）A． B．1 C．4 D．85.的展开式中，含项的系数为（）A．60 B． C． D．806.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（）A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)7.函数的图象大致为（）A．B．C．D．8.已知函数满足：，函数，若，则（）A． B．0 C．0 D．49.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．10.下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β11.斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（）A．2019B．2020C．2021 D．202212.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（）A．2 B． C． D．第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13.若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是．14.P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则．15.已知在边长为3的等边中，，则．16.给出以下命题：（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于任意”；（5）设函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围为.其中不正确的命题序号为．三、解答题（本大题共7小题，其中1721题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17.（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．18.（12分）2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意不满意合计男生女生10合计100，其中.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.87919.（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．21.（12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，讨论方程的根的个数；（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22.选修44（极坐标与参数方程）（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.23.选修45（不等式选讲）（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，，且，求证：.川大附中2021届高三上半期考试数学试题(理科)(时间：120分钟满分：150分)第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知是实数集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C2.若复数满足，则下列说法正确的是（）【答案】CA．的虚部为2B．为实数C． D．3.已知，，，则（）答案CA．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a4.已知变量满足约束条件，则的最大值（）【答案】DA． B．1 C．4 D．85.的展开式中，含项的系数为（）【答案】C．A．60 B． C． D．80的展开式中，第项为，当时，系数为。6.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（）答案AA．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)7.函数的图象大致为（）【答案】DA．B．C．D．【解析】：由得，且，当时，此时，排除B,C函数的导数，由得，即时函数单调递增，由得且，即或时函数单调递减，故选：D8.已知函数满足：，函数，若，则（）答案BA． B．0 C．0 D．49.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【答案】AA． B． C． D．【解析】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）可得该圆锥的高．底面面积，几何体的体积10.下列命题中错误的是（）答案DA．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β11.斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022解析：，则，故选B．12.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（）【答案】BA．2 B．2 C． D．【解】由抛物线的定义知，则，解得，又点在抛物线上，代入，得，得，，所以，抛物线，因为斜率为的直线过点，所以的方程为，联立方程得，即，设，，由根与系数的关系得，则直线的斜率，直线的斜率，.第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13.若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是．答案(－ln2,2)14.P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则．答案1715.已知在边长为3的等边中，，则．6 16.给出以下命题：（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；（4）命题“存在”的否定是“对于任意”；（5）设函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围为.其中不正确的命题序号为．【答案】（2）（4）（5）【详解】（1）根据回归直线恒过样本的中心点，可得，故正确；（2）由有，与的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误；（3）把代入函数，函数值为，所以函数关于对称，由，可得所以函数在上是递增的.所以函数在上是递增的.故正确；（4）命题“存在，”的否定是“对于任意，”故错误；（5）构造函数，要使函数恰有三个零点，必须使函数有零点，并且函数有两个零点，而函数在上的两个零点为－1和－2，从而得到，故是错误的.三、解答题（本大题共7小题，其中1721题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17.（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．解(1)由题意可得f

(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4))).由题意知，T＝eq\f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，则f

(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z，∴f

(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．(2)将f

(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，得到y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，得到g(x)＝eq\r(2)sin(x+eq\f(π,4))的图象． ∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴eq\f(\r(2),2)≤sin(x+eq\f(π,4))≤1，故函数g(x)的值域为[1，eq\r(2)]．18.（12分）2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意不满意合计男生女生10合计100，其中.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879解：（1）由已知得，解得，又，解得，评分的平均值为．（2）完成列联表如下表：态度性别满意不满意合计男生253560女生301040合计5545100，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．19.（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【解】：（Ⅰ）平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量．设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则．于是．设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为．20.（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．解：（1）因为，的面积，且，故解得，，，则，，则椭圆的标准方程为．（2）假设，，直线与椭圆联立得消去整理得，则，，又因为，所以，，则，即，代入韦达定理得，即，化简得，因为，则，即，代入直线得，所以恒过，故直线经过定点．21.（12分）已知函数（a为实常数）（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；（2）当时，讨论方程的根的个数；（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，函数的定义域为．．当时，，所以函数在上为减函数，在上为增函数．，，所以函数在上的最大值为，相应的x值为e．（2）由，得．若，则在上，函数在上为增函数，由知，方程的根的个数是0；若，由，得（舍）或．若，即，在上为增函数，由知，方程的根的数是0；若，即，在上为减函数，又，，所以方程在上有1个实数根；若，即，在上为减函数，在上为增函数，又，．．当，即时，，方程在上的根的个数是0；当时，方程在上的根的个数是1；当时，，，方程在上的根的个数是2；当时，，，方程上的根的个数是1．（3）若，由（2）知，函数在上为增函数，不妨设，则，即为，由此说明函数在上单调递减，所以，对恒成立，即对恒成立，而在上单调递减，所以．所以，满足，且对任意的，都有成立的实数a的取值范围不存