2023中考数学：几何与函数问题复习

2023中考数学专题讲座几何与函数问题

【知识纵横】

客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去

描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双

基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一

步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】

【例1】AB=2,AZ)=4,ZDAB=90,AD//BC(如图).E是射线BC上的

动点(点£与点B不重合)，M是线段DE的中点.

(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义

域；

(2)如果以线段A3为直径的圆与以线段OE为直径的圆外切，求线段BE的长；

(3)联结5。，交线段A”于点N,如果以AN,。为顶点的三角形与△8WE相似，

求线段BE的长.

A「f糊般您h9取AB中点”，联结筋耳;〔2〕先点出DE；〔3〕分二种情况讨

论。

:如iTYWEd,NC=90,9C=4cm,BC=3cm，

点“8出发沿B4方向向点A匀强运励,速度方lcm/s；点Q审扁H发沿4C方向Q点C

匀速运动，速度为2cm/s；连接尸。.假设设运动的时间为f(s)(0<Z<2),解答以下问

题：

(1)当f为何值时，PQ//BC2

(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与f之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻心使线段尸。恰好把Rt^ACB的周长和面积同时平分？假设存在，

求出此时/的值；假设不存在，说明理由；

(4)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC,那么是否存在

某一时刻/,使四边形PQP'C为菱形？假设存在，求出此时菱形的边长：假设不存在，说

明理由.

图(1)夕4B图⑵

【思路点拨】〔少乎筋为t,那么AQ=2t,证△仍？s*啰人引始N代PHLAC

〔3〕我鹿力嚷模型，/长七〔件)过点P作PMLAC干阔,能比BC于必*设四i婢POP'C

是菱阳,一琳么构建星程模型后,,能找到对应t的值。\/

【例3】(山东德州)如图(1),在△腑中，4=90°,48=4,AC^j,,"是4?上的

动点(不与46重合)，过M点作助V〃重交力C于点N.以腑为直径作。0,并在。。内作

内接矩形令Ad=x.

(1)用含x的代数式表示伊的面积S；

(2)当x为何值时，。。与直线正相切？

(3)在动点"的运动过程中，记△“/口与梯形80渺重合的面积为y,试求y关于x的

函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

~O~X&^AMNsXABG,。。相力

先求足「〔用*的代数式/〕,再受/Q松Q出yN正△序伙2s△减找到c

图形娈化的分界点，x=2。然会分何种情况讨论的最大殖：①当0V4W2时，②

当2cxV4时。

【学力训练】

1、(山东威海)如图，在梯形力比。中，AB〃CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点、

M,N分别在边/〃，比'上运动，井快特MN〃AB,MELAB,NFLAB,垂足分别为£,F.

(1)求梯形力腼的面积；,一(1

(2)求四边形侬”面积的最大值.V弋

(3)试判断四边形ME7W能否为正方形，假设能，/\

求出正方形的W的面积；假设不能，请说明理由.N-------------------A

2、(浙江温州市)如图，在RtZVLBC中，NA=90,AB=6,AC=8.D,£分

别是边AB,AC的中点，点P从点。出发沿。E方向运动，过点P作PQJ_8C于Q,过

点。作QR〃区4交AC于R,当点。与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x,QR=y.

(1)求点。到BC的距离OH的长；册

(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；n/p^\E

(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形？假设存在，/\/

请求出所有满足要求的x的值；假设不存在，请说明理由.8/,X----

3、(湖南郴州)如图，平行四边形四⑶中，48=5,加=10,比1边上的高%44,£为BC

边上的一个动点(不与8、。重合).过后作直线18的垂线，垂足为凡电1与加的延长线

相交于点6,连结比DF..

(1)求证：XBEFsxCEG.A

(2)当点£在线段比上运动时，△麻和F/______一一"

△侬的周长之间有什么关系？并说明你的理由./

(3)设班'=*,△麻的面积为y,请你求/乂[/

出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何BUE\~~/C

值时,y有最大值，最大值是多少？

4、(浙江台州)如图，在矩形ABC。中，AB=9,AD=36,点P是边8C上

的动点(点P不与点6,点C重合)，过点P作直线PQ〃B。，交CD边于。点，再把

△PQC沿着动直线尸。对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x,△PQR与矩形

ABCD重叠局部的面积为y.

(1)求NCQP的度数；

(2)当x取何值时，点R落在矩形A3CD的A8边上？

(3)①求y与x之间的函数关系式;

7

②当x取何值时，重叠局部的面积等于矩形面积的一？

27

(备用图1)(备用图2)

几何与函数问题的参考答案

【典型例题】

【例1】(上海市)(1)取A3中点”，联结

•.•M为。E的中点，..MH//BE,MH=-(BE+AD).

2

又ABrBE,

,得y=；x+2(x>0)；

(2)由得£>E=J(X—4)2+22.

以线段AB为直径的圆与以线段OE为直径的圆外切，

:.MH^-AB+-DE,即L(X+4)=-「2+J(4—xy+22

2222L

44

解得x=—,即线段BE的长为一；

33

(3)由，以AN,。为顶点的三角形与△BME相似,

又易证得ZDAM=ZEBM.

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ZADN=ZBEM；②NADB=4BME.

①当ZADN=ZB£M时，AD〃BE,：.NADN=/DBE./DBE=4BEM.

:.DB=DE,易得BE=2AD.得8£=8；

②当=时，AD//BE,：.ZADBZDBE.

：.ZDBE^ZBME.又/BED=ZMEB,：ABEDs/\MEB.

DEBE即BE2=EM.DE,得/=g隹+=一小百+―4)2.

~BE~~EM

解得％=2,x2=-10(舍去).即线段BE的长为2.

综上所述，所求线段3E的长为8或2.

【例2】(山东青岛)(1)在'中，AB=^BC2+AC2B

ri

由题意知：AP=5-t,AQ=2t,

假设阕〃成；那么△加铝

.AQAP.2r5-t

"'~AC~~AB''*

(2)过点。作加_£”1于〃.

V/XAPHsAABC,

.PHAP.PH5-t

.•---=---..•---=----

BCAB35

2

y=lx/iex1PH=^x2/x(3-1/)=-1/+3/.

(3)假设图把周长平分，都么AP+AQ=BP+BC+CQ.

二(5T)+2f=f+3+(4-2f),解得：t=\.

假设"0把△力式1面积平分，那么另”0=!5.8<7,即一62+3片3.

•：夕1代入上面方程不成立,

...不存在这一时刻t,使线段国把电△力"的周长和面积同时平分.

(4)过点尸作掰14。于"，PN1BC于N,

假设四边形尸C是菱形，那么产。=AC

于材，QM=CM.

,：PNLBC于N,易处丛PBNs/\ABC.

.PNBP.PN_t

••—，••—~~，

ACAB45

4f4z

:.PN=—,：.QM=CM=—,

55

4410

/--t-\—t+2t=4解得：t=—.

5599

J当，="时、四边形叱'。是菱形.

9

3748

此时PM=3—二，=」,CM=-t=-

5359

在RSW中'PC=—炽I呼,

菱形凰火'C边长为早.

【例3】(山东德州)⑴"：MN〃BC,:./AMUB,NANM=ZC.

XAMNs/\ABC.

XAN

.AMANpn-

ABAC43

3

/.AN=—x.

4

133

S=SAMNP=SA4MN=彳♦-71.工=7厂•V4)

Z4o

(2)如图(2),设直线6c与。。相切于点。，连结10,0D,那么43勿=4版M

2

在Rt/\ABC中，回=-JAB2+AC2=5.

由(1)知AA^Vs/\ABC.

.AM__MN_,即2=MN

访―正，45

MN=-x,

4

OD=-x.过材点作偌_L5C于0,那么MQ=0£)=*x♦A

88

在Rt△身内与RtZ\%4中，N8是公共角，

BC

・图⑴

••BM-QM

BCAC

U5

5x-x2525

BM=—^—=—x,AB^BM+MA^—x+x=4.

32424

・v—96

••X----

49

.••当x=空96时，。。与直线区相切.

49

(3)随点材的运动，当户点落在直线加上时，连结力P,那么。点为4一的中点.

*：MN〃BC,:./A淤/B,ZA0-lf=AAPC.

：./\AM0sXABP.

...遒=丝=[AM=MB=2.

ABAP2

故以下分两种情况讨论：

①当0VxW2时，y=S^=-x1.

PMN8

33

当x=2时，=gx22=2,

②当2<xV4时，设掰PN分典交BC千E,

图(4)

•/四边形4"¥是矩形，

：.PN//AM,PN=AM=x.

又•：MN〃BC,

・・・四边形,®W是平行四边形.

:.FN=BM=4—x.

:.PF=x—(4—x)=2x—4.

又丛PEFsXACB.

篇)=fc-s-=l(x-2)2-

y=_S〉PEF=d(x-2)~--X2+6X-6.

oZ

9

当2Vx<4时，y=——X2?+6X-6

8

8

二当x=§时，满足2cx<4,y最大=2.

o

综上所述，当x=2时，y值最大，最大值是2.

【例3】(山东德州)(1),:MN//BC,：.NAMN=NB,NANM=NC.

：.△AMNs&BC.

.AMANrm尤_AN

ABAC43

3

：.AN=-x.

4

133

=，X，X=J；2

•*,S=SMNP=SMMNZT7,<4)

Z4o

(2)如图(2),设直线BC与。。相切于点£>,连结AO,OD,那么AO=O£>=」MM

2

在RtA^BC中，BC=>/AB2+AC2=5.

由(1)知△AMNS/\ABC.

.AMMN_即X广MN

‘・海一正’45

：.MN=-x,

4

AOD=-x.过M点作MQJ_BC于Q,那么MQ=OO=3x.

88

在Rt/XBMQ与RtZ^BCA中，N3是公共角,

A

:.△BMQSXBCA.图⑴

...BM__QM

,^BC~~AC'

u5

5x-x2525Qz

:.BM=―AB=BM+MA=—x+x=4.—.

3242449

96

.•.当X=*时，。。与直线8c相切.

49

(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时,连结AP,那么。点为AP的中点.

.MN//BC,：.ZAMN=ZB,ZAOM^ZAPC.

：.△AMOS/XABP.

.,.则=丝」.AM=MB=2.

ABAP2

故以下分两种情况讨论：

①当0VXW2时，y=S^=-x2.

MN8

33

当x=2时'y最大.X22=3.

oZ

②当2Vx<4时，设PW,PN分别交BC于E,

•.,四边形4WPN是矩形，

.'.PN//AM,PN=AM=x.

又,：MN//BC,

：.四边形MBFN是平行四边形.

:.FN=BM=4-x.

„„_323/c\292,,

=StMNP-SAPEF^-X一彳(x-2)=--x+6x-6.

oZo

98丫

当2Vx<4时，y=—%?+6x—6=—x—+2.

88l3

Q

・••当x时，满足2<%<4,y最大=2.

Q

综上所述，当x=；时，y值最大，最大值是2.

【学力训练】

1、（山东威海）（1）分别过£>,C两点作QGLAB于点G,CHLAB于点4.

'：AB//CD,

：.DG=CH,DG//CH.

...四边形。GHC为矩形，GH=CD=\.

•：DG=CH,AD=BC,ZAGD=ZBHC=90°,

：.^AGD^/XBHC(HL).

AG=8H=A8二=2zl=3.

22

•.•在Rt^AG。中，AG=3,A£>=5,

：.DG=4.

.c_(1+7)X4_IZ.

,•S梯形A58=2=16,

(2),:MN"NB,MELAB,NF上AB,

:,ME=NF,ME"NF.

・・・四边形MEFN为矩形.

■:AB//CD,AD=BC,

NA=NB.

•：ME=NF,NMEA=NNFB=9a。,

：./\MEA^ANFB(AAS).

：.AE=BF.

设4£=x,那么EF=7—2x.

VZA=ZA,NME4=NOGA=90。,

:.XMEksXDGA.

AGDG3

•cs4、8f7丫49

•・S^UEFN=ME.EF=-X(1-2X)=--\X--\+~.

当X=N时，ME=1<4,...四边形MEFN面积的最大值为丝.

436

⑶能.

由（2）可知，设AE=x,那么EF=7-2r,ME=^x.

3

假设四边形ME/W为正方形，那么

即”=7-2-解，Wx=—

310

rc「C2114k

EF=7-2x=7-2x—=—<4zi.

105

196

・・・四边形版57W能为正方形，其面积为S正方形ME小

~25

2、(浙江温州市)(1)ZA=RtN,AB=6,AC=8,:.BC=IO.

・点。为AB中点，.♦.8D=LAB=3.

2

NDHB=ZA=9。,ZB=ZB,

：.4BHDS£\BAC,

DHBD

：.DH

BC105

(2)QR//AB,：.^QRC=ZA=9Q.

ZC=ZC,.-.△/?2C^AABC,

RQQCy10-x

"~AB~~BC'-6-10

3

即y关于x的函数关系式为：y=—1x+6.

(3)存在，分三种情况：

①当PQ=PR时，过点P作PM_LQR于M,那么QM=.

Nl+N2=90,ZC+Z2=90,

.-.Z1=ZC.

QM_4

cosZ1=cosC=—=—,

105~QP~1>

3I?

②当PQ=RQ时，—《X+6=M

:.x=6.

③当PR=Q/?时，那么R为PQ中垂线上的点,

于是点R为EC的中点，

:.CR=-CE=-AC=2.

24

综上所述，当x为彳或6或旨时，△PQR为等腰三角形.

3、（湖南郴州）（1）因为四边形力腼是平行四边形，所以A5DG

所以NB=NGCE,ZG=NBFE

所以ABEFSMEG

（2）△8EF与△CEG的周长之和为定值.理由一：

过点。作尸G的平行线交直线四于〃，

因为所以四边形破1。为矩形.所以FH=CG,FG=CH

因此，ABEF与MEG的周长之和等于BC+CH+BH

由BC=10,AB=5,4除=4,可得G¥=8,BH=6,

所以8C+0/+H/=24

理由二:

由4?=5,4仁4,可知

在Rt△戚与RtZXGQ?中，有：

4343

EF=-BE,BF=-BE,GE=-EC,GC=-CE,

5555

1212

所以，△废尸的周长是上BE,的周长是上CE

55

又BE+CE=10,因此一BEF与二CEG的周长之和是24.

43

(3)设,BE=x,那么破=-x,GC=-(10-x)

所以y=-EF.DG=---^(lO-x)+5]=--x2--x配方得

255

6,55、2121

y=---(x---)H---.

2566

所以，当*=卫时，y有最大值.最大值为也.

66

4、(浙江台州)(1)如图，四边