2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）

2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（理科）（3月

份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合4={x[（x+1）（x-1）<0},B={y\y>0]RB）=（）

A.0B.[0,1）C.（-1,0）D.（-1,0]

22

2.（5分）己知双曲线--二=1的一条渐近线过点（2,1）,则此双曲线的离心率为（）

2,2

ab

A.MB.近C.娓D.运

22

3.（5分）若复数z满足z（1+i）=2i-1Q.为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为

_2

B.|z|=2/S_

2

C.z+z=3

D.z在复平面内对应的点在第二象限

4.（5分）设a>0,b>0,则“9a+6W4”是“abW生（）

9

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）己知函数/（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A.f(x)=ln(1H-cosx2)B.f(x)=x*ln(1-cosx2)

C.f(x)=ln(1+siru2)D.f(x)=x*ln(1-sinx2)

6.(5分)为了得到函数y=sin(2x+2L)的图象，可以将函数y=cos(2x+—)()

34

A.向左平移近个单位B.向右平移且L个单位

2424

C.向左平移三个单位D.向右平移三个单位

22

7.（5分）已知（“X+工）6（〃>0）的展开式中含/2的系数为60,则（奴-工）6的展开

XX

式中的常数项为（）

A.-160B.160C.80D.-80

8.（5分）如图所示，已知四边形A8CD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为

30°的直角三角形AC。拼接而成，将△ACO绕AC边旋转的过程中（）

A.CD1.ABB.BC-LADC.BD1ABD.BC1.CD

9.（5分）已知随机变量孑的分布列如下表所示，且满足E（《）=0（）

-102

Pab

~2

A.D解）B.D（闷）C.D（2^+1）D.D（3罔一2）

10.（5分）已知椭圆C：-^1+^—=1Ca>b>0）的离心率为返■（/>0）的直线，与椭圆

2,22

ab0

交于A,满足|A/q=2尸8|,则实数左的值为（）

A.1B.V2C.我D.2

11.（5分）对任意的XI,X2G（1,21，当X1<X2时，X2-X1+且/恒成立（）

2x2

A.（2,+8）B.[2,+8）c.（4,+8）D.[4,+00）

af+1

12.（5分）设数列｛“"｝的前”项和为外,满足2%=」一（〃6N*）,则下列说法正确的是

an

（）

A.〃2021*02022<1B.672021e02022>1

C.6Z2022<-2V2022D.“2022>272022

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）在长方体ABC。-481cl。中，己知AB=2,BC=f,使得EC1_LED,则实数f

的取值范围是.

14.(5分)平面向量a，隰足：Ial—1>Iab|--3a*b>设向量a，b>则sinO的最大值

为.

15.(5分)已知实数m人满足2“+2Hl=4"+4〃，则f=20+2"的取值范围是.

16.(5分)电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐

在同一排种.

三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~

21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)

必考题：共60分.

17.(12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若6=2旦-工.

24

(1)求角8的大小；

(2)若AABC是锐角三角形，求AABC面积的取值范围.

18.(12分)已知数列｛“”｝满足ai=1,且GP2P3.....an=n(nGN*).

(1)求数列｛板｝的通项公式；

a*(n-1)(n+1)

----------------------->(n>2)

(2)设从=«2n-n，且数列出“｝的前"项和为S〃，若S”23

an>(n=l)

-A(〃+2)恒成立，求人的取值范围.

19.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABC。中，平面B48_L平面ABCQ,NABC=120°,

PB=1

(1)求证：平面P8D，平面以C；

(2)求平面心力与平面P8C所成锐二面角的大小.

20.(12分)己知实数x,y满足，+(e^-y)2+e2＞，=2.

(1)若x=0时，试问上述关于y的方程有几个实根？

(2)证明：使方程/+(炭-y)+e2』2有解的必要条件为：-20W0.

21.(12分)如图所示，已知抛物线£)2=2川，其焦点与准线的距离为6,过点M(4,0)

1./2与E相交，其中A与E交于A,8两点，/2与E交于C,力两点，直线AO过E的

焦点凡BC的斜率为h,fa.

(1)求抛物线E的方程；

k

(2)问」■是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由.

k2

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.作答时请写清题号.(10分)［选修：坐标系与参数方程］

22.(10分)以直角坐标系的原点。为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的

长度单位卜=此。50(7为参数,0^a<2L),曲线C的极坐标方程为pcos29=8sin0.

］y=2+tsina2

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C相交于A,B两点,当a变化时

［选修：不等式选讲］

23.设函数/(X)-x+2.

(1)若『(X)-)+4x+4|>3,求x的取值范围;

(2)若|x-a|W2,求证：\f(x)-f(a)

2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷(理科)(3月

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参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x|(x+1)(x-1)<0},=()

A.0B.[0,1)C.(-1,0)D.(-1,01

【解答】解：集合A={x|(x+1)(x-1)<2}={x|-1<X<1},

B={y|y>2},

.—ylyWO},

则AH(CRB)={X|-1<XW6}.

故选：D.

22

2.(5分)已知双曲线之--三一=1的一条渐近线过点(2,1),则此双曲线的离心率为()

2,2

ab

A.V3B.返c.V5D.匹

22

22

【解答】解：双曲线%-¥=1的一条渐近线依-"=8过点(2,可得6=2“，

双曲线的离心率为e=£=在豆4=遥.

aa

故选：C.

3.(5分)若复数z满足z(1+z)=2i-1(i为虚数单位)，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为

_2

B.团=鱼^_

2

C.z+z=3

D.z在复平面内对应的点在第二象限

【解答】解：:z(1+力=2/-3,.・.z=2i-l=(2i-1)(i-5)=旦金

8+i(i+1)(i-1)27

，z的虚部为旦，故选项A错误，

2

2+合2=q_,故选项8正确,

|z尸

z+短444^=3，

Z在复平面内对应的点为(工，旦)，在第一象限,

22

故选：B.

4.(5分)设a>0,b>0,则“9a+6W4”是a()

9

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：①当9a+6W4时,

Va>4,b>0y/9ab=6Vab>

^W46,...充分性成立，

9

②当a=10,b—―-—时2,但9a+b>6,

10009

：.9a+b^4是的充分不必要条件，

9

故选：A.

5.(5分)已知函数/(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()

B.f(x)—x*ln(1-cosx2)

C.f(x)—In(1+siruc2)D.f(x)—x*ln(1-sinx2)

【解答】解：由已知图象关于原点对称，可得/(x)为奇函数,

对于A,由7(X)—In(1+cosx2)为偶函数，故A错误;

对于C,由f(x)=/〃(4+sin?)为偶函数，故C错误;

对于8,由/(x)=x*ln(1-cos/)为奇函数，且/(1)—In(1-cos1))=

0百元)不存在;

对于。，由/.(x)—x*ln(1-sinx2)为奇函数，且/(I)—In(3-sinl)voj(-)不

存在加元）=0,

故B错误，。正确.

故选：D.

6.（5分）为了得到函数y=sin（2r+2L）的图象，可以将函数）=<：0$（2x+2L）（)

34

A.向左平移更个单位B.向右平移二个单位

2424

C.向左平移三个单位D.向右平移个单位

22

【解答】解：将函数y=cos(2X+2L)=sin(2x+12L,

44

向右平移著个单位的+等）=sin⑵+半

故选：B.

7.（5分）已知（公+工）6（a>0）的展开式中含/2的系数为60,则（依-工）6的展开

XX

式中的常数项为（）

A.-160B.160C.80D.-80

【解答】解：（OX+工）6（fl>2）的展开式的通项T，*l=a“C4'x6-2r,

X

令2-2r=-2,得r=3.

所以（奴+工）6（«>5）的展开式中含『2的系数为a2c74=60,解得a=2,

X

所以（ar-工）6的展开式通项〃+]=（-8）呼一忆在—⑵，

X

令6-2k=0,得2=8,

所以（奴-工）6的展开式中的常数项为（-3）323c63=-160.

X

故选：A.

8.（5分）如图所示，已知四边形A5CD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为

30°的直角三角形ACQ拼接而成，将△4CD绕AC边旋转的过程中（）

A.CDLABB.BC.LADC.BDLABD.BC.LCD

【解答】解：设AB=BC=1,则47=加返，4。=近,

26

若CQ_LAB,又AB_LBC,则AB_LB£>,故A可能成立；

若8C_LA。，又AO_LC£）,则A£>_L5。，

A8为直角三角形48。的斜边，ffi]AB<AD；

BD1AB,则AB<A£>；

若BCLCD,则8。为直角三角形8CQ的斜边，故。可能成立.

故选：B.

9.（5分）已知随机变量s的分布列如下表所示，且满足E（P=0（）

-102

pab

~2

A.D(^)B.D(|^|)C.D(2^+1)D.D(3|^|-2)

1

a+b+5=4a

【解答】解：依题意《,解得,4

4

-lX+0Xy+2Xb=2b

a4

・•・《的分布列为:

-142

P1_3_

7~2

•••D(◎(-I-。)?卷X(3-0)2磊X(2-6)2=\,

D(5计1)=4D(P=3,

网的分布列为:

冏106

P2_1

~3~2~5

E(因)=1X^-+0XT-+2X-^=-^>

3663

D（因）=鼠（1号）2痔x（0-4）0卷产书，

66Z60oy

D（3因-7）=9D（冏）=5.

，方差值中最大的是D（6冏-2）.

故选：D

22r~

10.（5分）已知椭圆C：三_+2—=1（a>b>0）的离心率为乂3.a>0）的直线，与椭圆

2,2Q

ab0

交于A,满足|An=2|EB|,则实数k的值为（）

A.1B.V2C.5/3D.2

【解答】解：•••椭圆C：I（a>b>7）的离心率为返，

2,23

ab0

.\a7=3c2,庐=2C，2,

设直线方程为xJ-y-C，

则与椭圆联立可得，（3-t-y）y2-^-y-4c2=0,

设A（xs,yi）,B（%2,”），

不妨设yi>”，

V|A/q=3|FB|,

72

；.yi=-2y4,将yi=-2），7&〃加p;代入可得，y=一,y2_2ck从而

7k2+23k7+2

/4kc、4_2C2k%一

（---9~）—―2~~2,

4k"+23kJ+8

'：k>3,

Ak=V2.

故选:B.

11.（5分）对任意的XI,X2&（1,2],当X1<X2时，X2-Xl+3_/"■"<0恒成立（）

2x2

A.（2,+8）B.[2,+8）C.（4,+8）D.[4,+«>）

【解答】解：由题得X2-R1+包（m¥2-伍¥1）<3,所以X2-旦加8Vxi-2。X3,

422

因为X1VX2,所以函数/（X）=K-2//a在（1,

2

所以，（x）=1-」_WO在（1.5]恒成立，

5x

所以。22%在（1,6]恒成立，

实数。的取值范围是[4,+8）.

故选：D.

12.（5分）设数列｛a”｝的前〃项和为％,满足2s”=：也（吒N*）,则下列说法正确的是

an

()

A.42021・42022<1B.02021・42022>1

C.。2022V-2^2022D.t/2022>2^/2022

a^+o

【解答】解：数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，满足2S〃=」一（册N*）,

an

当〃=1时，解得m=6；

当时，1

2Sn=Sn-Sn-84Q-s~~

dndn-l

82

MWSn-Sn_1=7(常数);

所以数列｛*2｝是以1为首项;

2n

故Sn3=l+（n-l）=n；

;

故5/爪或Sn=-Vn

teZ

an=Sn-Sn_3=V^-V^l(首项符合通项)，

所以an=Vn-Vn-1；

=-;

或%=SJSn-7Vn+Vn~l=Vn~l~Vn

所以azo2i=U2021-“2020,a2022=V2022-^2021)故C；

a2021-a2022=22021-A/2020)(V2022-V2021)

~I--------1--------x-j-------------------<I，

V2021W202042022W2021

或a2021•a2022=(V2020-V2021)(V2021-V2020)

/4/-----X-3----i-----<1；

V2021W202042022W2021

或故A正确，B错误.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）在长方体ABC。-481clG中，己知AB=2,BC=f,使得ECi_LEO,则实数f

的取值范围是(0,11.

【解答】解：因为CC_L平面ABC。，ECU平面A8CDIC_LE£>,

由ECslED,ECICCIC=C4,可得E£>J_平面ECC\,

所以EDIEC,

在矩形ABC。中，设则BE=2-a,

3

由N£)EA+NCEB=90°,可得tanNO£4ran/CE8=^_•丝=———

AEBEa(2-a)

即F=a(8-a)=-(a-1)2+6,

当a=l时，P取得最大值6,即/的最大值为1；

当a=0或8时，?取得最小值0,

但由于>2,所以/的取值范围是(0.

故答案为：(0,5].

14.(5分)平面向量a，b满足：lal=l，Iabl—~3a•b,设向量a，b»则sin。的最大值

为国运.

-13-

【解答】解：：。+2口>0，故-52京》0，

cosQ^O,

由己1知有12+4*3=-3ab，

.—2--2

,•a+2a・b+4b=7(a・b)'

(4_5cos?9)|b|2+7cos8|b|+1=0,

①当5-9COS20=5时，cos9=-—»

3

此时|E|/'sin8=哼'

②当4-9cosPWO时，则关于|b|，

其中A=52COS20-16》5,解得COS04一囚逗,

13

当一14cose<迄时，此时4-6COS29<0,

3

故方程必有正根，

丁1〈cos2044,

y

此时sin8=Vl-cos268V'

当/~<cos8<_时，4-5COS20>O,

413

记(8-9cos2g)|q7+4cos8|讣1=7的两根为xi，处

则x0+x产-4COS8>2,7

Xi.X=----------------7-

8-9cos2894-9cos'9

此时方程有两个正根，

此时/《cos26〈卷’

1.0y

sin8=Vl-cos364J，

・・/

313—

所以sine的最大值为亚亘，

一13

故答案为：则亘.

13

15.(5分)已知实数满足2。+2Hl=4。+心,则t=2a+2b的取值范围是(1,3+^1.

-------------2

b28

【解答】解：令x=2",y=2(x>5,y>0)+y,t=x+y9

22

则(x-—)+(y-1)=—f

24

则点(x,y)在以(工，运为半径的圆上的第一象限的部分，

42

如图，设圆(x-旦)2+(y-2)2=5与x轴交于A,

28

当x=0时，y=2,7),

当直线/=x+y过A(1,0)时，

Ar>7,

当直线与圆(x-1)5+(y-1)2=当目切于第一象限时，

24

则受:lai,解得尸3_屈5亚(舍),

-1+622222

.1=5"+2A的取值范围是(1,立口叵］.

_2

故答案为：(1,邺回］.

2

16.(5分)电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐

在同一排720种.

【解答】解：先列举出恰有两个连续的空座位的情况有30种，

再对再对甲、乙、丙、丁四位全排列有A：，

故甲、乙、丙、丁四位同学坐在同一排.

故答案为：720.

三、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~

21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)

必考题：共60分.

17.(12分)在△A8C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若人=2且-£.

24

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.

22622

【解答】解：(1)由余弦定理知，cosC=a+b-c=a+7-c=旦一£,

2ab4a24

整理得，4=«5+(?-ac,

2,2,25工2d1

所以cosB=41W也=3.乜心:^^=让

2ac3ac2ac8

因为加(0,Tt)

3

(2)由正弦定理知，=Y—

sinAsinBsinC

所以a=—^sinA—^=-sinC,

V3V3

所以ac=—^sinA•一£l$sinAsin(2兀UnA(^A-AsinA)=—(J^A)=&(2/Jzl

V2V343822335

2爵=fr)+r

因为△4BC是锐角三角形,

0<A<4

o解得TA)Ae(A)6兀、

2兀7兀

0<C--A

c3Z

所以sin(2A--2I_)e(A,

72

所以41?e(2,4],

3

所以△ABC面积S=gacsinB=±Z3-e(3&,&],

2623

故△ABC面积的取值范围为(2叵，V3].

6

18.(12分)已知数列｛〃"｝满足m=1,且.....an—n(«eN*).

(1)求数列｛或｝的通项公式：

an"(n-1)(n+1)

(n>2)

(2)设从=，2n・n且数列出"｝的前〃项和为S“若S”》3

an>(n=l)

-X(n+2)恒成立，求入的取值范围.

【解答】(1)解：数列｛而｝满足防=1,且@722忍3….an=n(n€N*)，

当〃23时，有……an-Tan-\—n-1,

两式作商，可得a>工一，n>2，

nn-7

nyn>2

又由m=4,得a”n-l

6,n=l

n

(n-l)-(n+1)

._n_6n+1

(2)解：当〃22时,bn=

5nn2n

当〃=4时，b-a-7=_2_,所以对任意的”eN*,均有b上工，

1124n2n

则s=J_+_L+...+2i§.,

n21222n

两式相减可得

Sn111n+1豆n+131n+4

-----=14--------1------+…+二-----------=14-------------------------

7g2734n2367n+132n21

1彳

n+1

求得S=4-~-

n2k

由S”28-A(〃+2),可得X>一送—

(n+3)-2n

n+7

g(n+1)(n+3)-2n+3(n+2)(n+4)/

n+3m|

令g(n)则---厂工一3------75----=---------a-<7

2

(n+2)-2ng(n)n+32(n+3)

(n+2)节”

因为g(n)>0,所以g(〃+l)Vg(〃)，g(n)减小，

所以入2g(n)max=g(1),

3

即入的取值范围是12,+8).

8

19.(12分)如图所示，在四棱锥尸-ABCQ中，平面以B_L平面A8CC,NA8C=120°,

PB=\

(1)求证：平面PBO_L平面B4C；

(2)求平面朋O与平面P8C所成锐二面角的大小.

A

【解答】解：(1)证明：•.•平面布3_L平面A2CD,面雨8n面42C£>=A8,P8u面

.”81.平面ABCD,

：ACu面ABC。，J.ACYPB,

由菱形性质知AC_L8。，；PBClBD=B,

；.AC_L平面PBD,

又ACu平面以C,.•.平面P8OJ_平面以C.

(2)如图，设CO的中点为E,

7CE=4^D=2,ZBCE=60°,BC=^-^BE±CE

：.BELAB,

；平面B48_L平面ABCD,面PABH^ABCD^AB,BEu平面ABCD,

ABEl®PAB,

又P8_L4B,所以BE,AB两两互相垂直，

所以以点3为坐标原点，以直线8A、BE为x、y,如图所示建立空间直角坐标系，

B(0,5,0),A(2,4,0),P(0,4,0),C(-1,2,M),D(1,4,V3)

设平面附。的一个法向量为ir=(x,y,而标=(-1,7,V3),AP=(-2,6,0),

由£0=0,得卜底z=0,取x=«,

m-AP=8I-5x+y=0

得孟=(旄，2«,7))

设平面尸8c的一个法向量为口=(。，b,且际=(0,1,3),BC=(-1,0,a)，

由r呼°，得尸，取a=。阳=(«,0,7)，

n-BC=0I-a+V3c=0

设平面以。与平面PBC所成锐二面角为。，则

|mn|_3+1

cos(m»n?|

cos8=||m|-|n|=^+12+fX2=2

所以9=60°,故平面南。与平面P8C所成锐二面角为60°.

20.(12分)已知实数x,y满足/+(/->)2+e2y—2.

(1)若x=0时，试问上述关于y的方程有儿个实根？

(2)证明：使方程/+S-y)+e2y=2有解的必要条件为：-2WxW0.

【解答】解：(1)将x=0代入，得(1-y)4+e2>'=2,

不妨记f(y)=y4-2y-l+e4y,f(y)=2y-2+8^2v,

,：f(y)=4e4v+2>0,：.f(y)在R上递增，

.•.当y<8时，/(y)<0,f(y)>0,

：.f(y)在(-8,7)单调递减，+oo)单调递增，

'：f(y)》/(0)=0,.”=。时・

(2)证明：先证明"2x+8,令g(x)=/-(x+1),则屋(x)="-1,

当x<4时，g'(x)<0,

当x>0时，g'(x)>6,

g(x)2g(0)=0,/Nx+1恒成立.

由(/-y)7-2(/-y)2+8=(/-y-1)2^2,得(d-y)2>2(/-y)-3,

；.2=/+(，-y)6+e2>，>x2+8(，-y)-X+X+hy—^+l^^x^+l(1+x),

•*.X7+2X^0,/.-6WxW0.

21.(12分)如图所示，已知抛物线E：y2=2px,其焦点与准线的距离为6,过点M(4,0)

I,/2与E相交，其中/1与E交于A,8两点，/2与E交于C,。两点，直线AO过E的

焦点F,BC的斜率为ki,ki.

(1)求抛物线E的方程;

k

(2)问」是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由.

k2

【解答】解：(1)抛物线氏y2=2px,可得焦点坐标尸(