第七章 一阶电路

第7章一阶电路和二阶电路的时域分析零输入响应零状态响应全响应重点掌握基本信号阶跃函数和冲激函数稳态分量暂态分量动态电路：含储能元件L(M)、C的电路。根据KCL、KVL以及元件的VCR建立的方程是以电压或电流为变量的微分或微积分方程的形式。微分方程的阶数取决于动态元件的个数和电路结构。7-1动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程LS(t=0)USC+–uCR(t>0)i动态电路的阶数：一阶电路：一阶微分方程所描述的电路.二阶电路：二阶微分方程所描述的电路.高阶电路：高阶微分方程所描述的电路.S未动作前S接通电源后进入另一稳态i=0,uC=0i

=0,uC=US二、什么是电路的过渡过程？稳定状态(稳态)过渡状态(动态)S+–uCUSRCiS+–uCUSRCi过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。三、过渡过程产生的原因1.电路中含有储量元件(内因)能量不能跃变2.电路结构或电路参数发生变化(外因)支路的接入、断开；开路、短路等S+–uCUSRCiuCtt1USO初始状态过渡状态新稳态+uSR1R2R3

参数变化换路+–uCC+uSR1R3

四、分析方法经典法拉普拉斯变换法状态变量法时域分析法频域分析法时域分析法一、t=0+与t=0

的概念t=0时换路t=0

换路前的最终时刻t=0+换路后的最初时刻t=0换路瞬间0

0+LS(t=0)USC+–uCR(t>0)电路中初始条件的确定所谓的初始条件就是指电路中所求变量及其1阶至N-1阶导数在t=0+时的值,也称初始值.二、换路定则当t=0+时,CiuC+–qC(0+)=qC

(0

)uC

(0+)=uC

(0

)当i(t)为有限值时,qC=CuC电荷守恒

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，

则电容电压（电荷）换路前后保持不变。uC(0+)=uC(0

)当i为冲激函数时:跳变！当t=0+时,

L(0+)=

L

(0

)iL

(0+)=iL

(0

)当u(t)为有限值时,

L=LiLLiLu+–磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，

则电感电流（磁链）换路前后保持不变。即:iL

(0+)=iL

(0

)小结：(2)换路定则是建立在能量不能突变的基础上.(1)一般情况下电容电流、电感电压均为有限值，换路定则成立。

L

(0+)=

L

(0

)iL(0+)=iL(0

)qC(0+)=qC

(0

)uC

(0+)=uC

(0

)换路定则:特例：当u为冲激函数时三、电路初始条件的确定例1.求

uC

(0+),iC(0+).t=0时打开开关S.+10ViiCuCS10k

40k

+

C由换路定则：uC

(0+)=uC

(0

)=8V0+

时刻的等效电路：

解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k

+

例2.t=0时闭合开关S.求uL(0+).iL(0+)10VS1

4

iLLuL+–

iL(0+)=iL(0

)=2A0+等效电路：解：10V1

4

iL(0+)uL(0+)+–注意：求初始值的一般方法：(1)由换路前电路求uc(0

)和iL(0

)；(2)由换路定则，得uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效电路：(4)由0+时刻的等效电路电路求非独立初始条件。电容用电压为uC(0+)的电压源替代；电感用电流为iL(0+)的电流源替代。例3.(1)求iL(0

)(2)由换路定则，得解：uSSRiLLuL+–+–+–uR(3)0+电路uSSRiLLuL+–+–+–uRRuL(0+)+–+–+–uR(0+)例4.求iC(0+),uL(0+).S(t=0)+–uLCuCLISRiL+–0+电路：iL(0+)=iL(0

)=ISuC(0+)=uC(0

)=RISuL(0+)=

uC(0+)=

RISiC(0+)=iL(0+)

uC(0+)/R=RIS

RIS=0+–uL(0+)uC(0+)R+–iC(0+)iL(0+)解：7-2一阶电路的零输入响应零输入响应(Zero

inputresponse)：激励(电源)为零，仅由动态元件的初始储能引起的响应。一、

RC电路的零输入响应(C对R放电)uC

(0

)=U0S(t=0)+–uCRCi+–uC上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为

uc=Aept

t≥0

式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。可得特征方程为

RCP+1=0从而解出特征根为

则通解将初始条件uc(0+)=u0代入式中，求出积分常数A为得到满足初始值的微分方程的通解为放电电流为

t≥0

t≥0

５式令τ=RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数,这样４、５两式可分别写为

t≥0

t≥0由于为负，故uc和i

均按指数规律衰减，当t→∞时，uc和i衰减到零。I0tiCOU0tuCO从理论上讲t

时,电路才能达到稳态.但实际上一般认为经过3

5

的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态.C的能量不断释放,被R吸收,直到全部储能消耗完毕.t023

4

5

U00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0(实验测

的方法)能量关系：RCRC电路的一阶响应τ的几何意义：次切线的截距U0ut0

U0

e

从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。ABC时间常数

=RC越大，uc衰减越慢。因为在U0一定下，电容C越大则储存电荷越多；电阻R越大则放电电流越小。改变R或C可以改变电容放电的快慢.

已知S断开前电路已处于稳定状态，R1=R2=50Ω，R3=100Ω，C=0.02F。试求在t=0时，S断开后的uC（t）和i3（t）例

解：先求uC（0-）t=0+-24VUSR1R3C+uC-SR2i3USS(t=0)R1iLLuL+–R二、RL电路的零输入响应其解答形式为：

i(t)=Aept由特征方程Lp+R=0得由初值iL(0+)=iL(0

)=I0得i(0+)=A=I0图见P144页7-5(1)iL,

uL

以同一指数规律衰减到零；(2)衰减快慢取决于L/R。量纲：亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒令

=L/R

RL电路的时间常数3

5

过渡过程结束。I0tiLORI0tuLOiL

(0+)=iL(0

)=35/0.2=175AuV(0+)=

875kV!例.现象：电压表烧坏!L=0.4HVRV5k

35VS(t=0)iLuV+–R=0.2

求iL

、uV

小结：1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的,响应都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

.

RC电路：

=RC,RL电路：

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4.一阶电路的零输入响应和初值成正比。如果磁场能量较大，切断电感电流时必须考虑磁场能量的释放．零状态响应(Zerostateresponse)：动态元件的初始储能为零，在外施激励(电源)作用下产生的响应。(2)求特解uC'=US1.

RC电路的零状态响应（C充电）(1)由KVL有：uC(0

)=07

3一阶电路的零状态响应一阶线性非齐次微分方程解答形式为：通解特解强制分量(稳态分量)S(t=0)+–uCUSRCi+–uRuR+uC=UsRiuC

(0+)=A+US=0

A=

US(3)求齐次方程通解

自由分量(暂态分量)(4)求全解(5)定常数US

USuC'uC"强制分量(稳态)自由分量(暂态)uctOtiO能量关系：电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，一部分储存在电容中，且WC=WR不管R、C的值是多少电源提供的能量只有一半储存在电容中，另一半被电阻消耗掉了，充电效率为50%USRCt=0时闭合开关S.求uc响应。uiCi12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S例.戴维南等效电路i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S+1.5V+0.25

1

0.8FuC

S2.RL电路的零状态响应iL(0

)=03.正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例)iL(0

)=0USLS(t=0)+–uLR+–uRiLtOuSLS(t=0)+–uLR+–uRiLuS+–强制分量(稳态)自由分量(暂态)用相量法计算稳态解iL

:iL(0

)=0LS(t=0)+–uLR+–uRiLuS+–jXLR+–定常数解答为讨论：

u

=0o,

即合闸时

u

=

合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。A=0无暂态分量电路的过渡过程与开关的动作时刻有关

u

=

+/2时波形为：最大电流出现在合闸后半个周期时t=T/2。t

ILmi''i'iILmOT/27

4一阶电路的全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一、一阶电路的全响应及其两种分解方式1.

全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)uC'=US以RC电路为例解答为uC(t)=uC'+

uC"非齐次方程uC"=Aept

=RCuC

(0+)=A+US=U0

A=U0

US(t>0)强制分量自由分量uC(0

)=U0S(t=0)+–uCUSRCi+–uR强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC'USU0uCtuCo2.

全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0=+uC1(0-)=0uC2(0-)=U0uC

(0

)=U0S(t=0)+–uCUSRCi+–uRS(t=0)+–uC1USRCi1+–uR1S(t=0)+–uC2RCi2+–uR2二、用三要素法分析一阶电路全响应总是由初始值、稳态值（特解）、时间常数三个要素决定。在直流电源激励下，全响应f(t)可写为：例1.已知：

t=0时合开关S。求换路后的uC(t)。解tuC

(V)20.66701A2

1

3F+uC

S例2.已知：电感无初始储能,t=0时合S1,t=0.2s时合S2。i10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

求换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解it(s)0.25(A)1.2620例3.已知:u(t)如图示,iL(0)=0。求:iL(t),并画波形.u(t)12120t(s)(V)+

u(t)1

5

5HiL解0<

t

1

iL(0+)=0

t<0

iL(t)=0iL(

)=1AiL(t)=1

e

t/6A=5/

(1//5)=6s方法一：用分段函数表示+

1V1

5

5HiL1<

t

2iL(1+)=iL(1-)=1

e

1/6=0.154AiL()=0iL(t)=2+[0.154

2]e

(t

1

)/6=2

1.846e

(t

1

)/6A

t>2iL(2+)=iL(2-)=2-1.846e-(2

-

1

)/6=0.437AiL(

)=2AiL(t)=0.437e

(t

2

)/6A

=6s

=6s+

2V1

5

5HiL1

5

5HiL

u(t)=

(t)+

(t1)2

(t2)

(t)(1

e

t/6)

(t)

(t1)(1

e

(t

1)/6)

(t1)

2

(t2)

2(1

e

(t

2)/6)

(t2)iL(t)=(1

e

t/6)

(t)+(1

e

(t

1)/6)

(t1)2(1

e

(t

2)/6)

(t2)A00.1540.43712t(s)iL(t)(A)解法二：用全时间域函数表示(叠加)u(t)12120t(s)(V)7-7一阶电路的阶跃响应和冲激响应一、单位阶跃函数(Unitstepfunction)1.定义2.延迟单位阶跃函数S+–uCUSRCit

(t)Ot

(t)Ot0阶跃函数可以作为开关的数学模型延迟单位阶跃函数可以起始任意函数例1.t0f(t)tOf(t)(tt0)t0tO1t0tf(t)O1t0tO

(t)(tt0)例2.二、单位冲激函数(UnitImpulseFunction)1.单位脉冲函数1t1f(t)0

1/

tf(t)02.定义k(t)例.t

(t)O+CuCiCuS

+

tUuS0

0uc

U(t)iC

CU(t)

tUuS0'tiC(t)OCU(t)uCtUO

CU/

tiC0'当

减小iC=CUS

(t)t=t0时合S

t=0时合S延迟单位冲激函数

(t-t0):S+–uCUSCitiC(t)OCUS

(t-t0)tO

(t-t0)t03.

函数的筛分性质

同理有4.

(t)

和

(t)的关系=

(t)例.解:f(t)在t=0时连续4.阶跃响应：电路对于阶跃函数输入的零状态响应称为阶跃响应。uC(0

)=0+–uCUS

(t)RCi+–uC(0

)=0S(t=0)+–uCUSRCi+–tiOUSuCtO延时阶跃响应:激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。uC(t0

)=0+–uCUS