水力学学习方法指导-水力学课程主页

PAGEPAGE2水力学教学辅导第三章水动力学基础【教学基本要求】1、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。2、理解液体运动的基本概念，包括流线和迹线，元流和总流，过水断面、流量和断面平均流速，一元流、二元流和三元流等。3、掌握液体运动的分类和特征，即恒定流和非恒定流，均匀流和非均匀流，渐变流和急变流。4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。5、掌握恒定总流的能量方程，理解恒定总流的能量方程和动能修正系数的物理意义，了解能量方程的应用条件和注意事项，能熟练应用恒定总流能量方程进行计算。6、理解测压管水头线、总水头线、水力坡度与测压管水头、流速水头、总水头和水头损失的关系。7、掌握恒定总流的动量方程及其应用条件和注意事项，掌握动量方程投影表达式和矢量投影正负号的确定方法，会进行作用在总流上外力的分析。8、能应用恒定总流的动量方程、能量方程和连续方程联合求解，解决工程实际问题。9、了解液体运动的基本形式：平移，变形（线变形和角变形），旋转。10、理解无旋流动（有势流动）和有旋流动的定义。11、初步掌握流函数、势函数的性质和流网原理。【学习重点】1、液体运动的分类和基本概念。2、恒定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其应用是本章的重点，也是本课程讨论工程水力学问题的基础。3、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。4、恒定总流能量方程的应用条件和注意事项，并会用能量方程进行水力计算。5、能应用恒定总流的连续方程和能量方程联解进行水力计算。6、掌握恒定总流动量方程的矢量形式和投影形式，掌握恒定总流动量方程的应用条件和注意事项。重点注意和影响水体动量变化的作用力。7、能应用恒定总流的连续方程、能量方程和动量方程进行水力计算。8、流函数、势函数的性质及求解方法。9、流网原理及流网法求解势流问题。【学习指导】3.1概述本章讨论液体运动的基本规律，建立恒定总流的基本方程——连续性方程、能量方程和动量方程，作为解决工程实际问题的基础。由于实际液体流动时质点间存在着相对运动，因而必须考虑液体的粘滞性，而液体运动要克服粘滞性，必然导致液体能量的损耗，这就是液体运动的水头损失。关于水头损失放在第4章专门进行讨论。3.2描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法（1）拉格朗日法也称为质点系法。它是跟踪并研究每一个液体质点的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个液体运动的规律。这种方法形象直观，物理概念清晰，但是对于易流动（易变形）的液体，需要无穷多个方程才能描述由无穷多个质点组成的液体的运动状态，这在数学上难以做到，而且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动，虽然刚体由无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗日法在固体力学中较多应用。（2）欧拉法：液体流动所占据的空间称为流场。在水力学中，我们只关心不同的液体质点在通过流场中固定位置时的运动状态。例如河道某断面处，不同时间的水位、流量和流速；管道中某处的流速和压强等。我们并不关心这个液体质点是怎么来的，下一步又流到哪里去。把某瞬时通过流场各个固定点的液体质点运动状态综合起来，就能反映液体在某个时刻流场内的运动状况。这种描述液体运动的方法称为欧拉法，也称为流场法，这是水力学中常用的方法。这种方法物理意义不如拉格朗日法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间而变的，但是对我们研究流场的运动状况较为方便。最后必须说明，两种描述流动的方法只是看问题的角度不同，着眼点不同，并没有本质上或原则上的区别，拉格朗日表达法和欧拉表达法是可以相互转化的。究其原因，从物理概念上讲，流场是运动的液体质点占据整个流动区域构成的，因而流场空间点上反映出来的运动要素值及其随时间的变化当然是质点运动的结果。换言之，流场中的流动情况自然也可反映或转化成质点的运动情况。这些就是上述两种方法可以转化的依据。不过，欧拉法的着眼点是流场，便于直接运用场论分析液流问题；而且对加速度来讲，在欧拉法中是速度场的一阶偏导数，但在拉格朗日法中是位移的二阶偏导数。因此，数学处理上欧拉法也较为方便，故今后除特别说明外，都采用欧拉法的观点研究问题。3.3液体运动分类和基本概念（1）恒定流和非恒定流流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。非恒定流的流速、压强等运动要素是时间的函数，由于描述液体运动的变量增加，使得水流运动分析更加复杂和困难。虽然自然界的水流绝大部分是非恒定流，但在一定条件下，常将非恒定流简化为恒定流进行讨论。本课程主要讨论恒定流运动。（2）迹线和流线迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同时刻在空间位置的连线，迹线必定与时间有关。迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的流速方向与该曲线相切。流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。对于恒定流，流线的形状不随时间而变化，这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不重合。流线有两个重要的性质，即流线不能相交，也不能转折，否则交点（或转折）处的质点就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾。也可以说某瞬时通过流场中的任一点只能画一条流线。流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体的流速大小和方向，流线密的地方表示流速大，流线疏处表示流速小。（3）元流、总流和过水断面元流是横断面积无限小的流束，它的表面是由流线组成的流管。由无数个元流组成的宏观水流称为总流。与元流或总流的所有流线正交的横断面称为过水断面。过水断面的形状可以是平面（当流线是平行的直线时）或曲面（流线为其它形状）。单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量，流量用Q表示，单位为（m3/s）。引入元流概念的目的有两个：1）、元流的横断面积dA无限小，因此dA面积上各点的运动要素（点流速u和压强p）都可以当作常数；2）、元流作为基本无限小单位，通过积分运算可求得总流的运动要素。元流的流量为dQ=udA，则通过总流过水断面的流量Q为Q=∫dQ=∫AudA（3—1）（4）断面平均流速一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且有时流速分布很复杂。为了简化问题的讨论，我们引入了断面平均流速v的概念。这是恒定总流分析方法的基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素只是一个空间坐标（流程坐标）的函数。断面平均流速v等于通过总流过水断面的流量Q除以过水断面的面积A，即V＝Q/A。断面平均流速代替真实流速分布是对水流真实结构的一种简化。对大多数水流运动采用这样的处理方法可使问题的分析变得比较简单。在实际应用中，有时并不需要知道总流过水断面上的流速分布，仅需要了解断面平均流速的大小及沿程变化情况即可。（5）均匀流与非均匀流流线是相互平行的直线的流动称为均匀流。这里要满足两个条件，即流线既要相互平行，又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表述为液体的流速大小和方向沿空间流程不变。流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言；恒定流可是均匀流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不可能存在的，请注意区分。均匀流具有下列特征：1）过水断面为平面，且形状和大小沿程不变；2）同一条流线上各点的流速相同，因此各过水断面上平均流速v相等；3）同一过水断面上各点的测压管水头为常数（即动水压强分布与静水压强分布规律相同，具有z+=c的关系）。（6）一元流、二元流与三元流根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，我们把水流运动分为一元流、二元流与三元流。严格地说自然界的实际水流都是三元流，但是为了简化分析过程，引入断面平均流速后，把许多问题转化为一元流动来讨论，这是重要的处理方法。（7）渐变流与急变流根据流线的不平行和弯曲程度，我们把非均匀流又分为两类：流线不平行但流线间夹角较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小（即曲率半径较大），这种流动称为非均匀渐变流，简称渐变流；反之则称为急变流。我们可以证明渐变流同一个过水断面上的测压管水头（z+p/r）近似当作常数，这一点在讨论恒定总流能量方程时要应用到。对于急变流，同一过水断面上各点的z+p/r≠c。自然界的实际水流绝大多数是非均匀流，把非均匀流区分为渐变流和急变流是为了简化对非均匀流渐变流的讨论。3.4恒定总流的连续性方程根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩液体一元恒定总流任意两个过水断面的连续性方程有下列形式。Q1=Q2或v1A1=v2A2（3（3—3）上式说明：任意两个过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比。对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为：∑Q流入=∑Q流出（3—4）连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三个最基本的方程之一。3.5恒定总流的能量方程（1）恒定元流的能量方程：根据物理学动能定理或牛顿第二定律，可以导出恒定元流的两个过水断面之间的能量关系式为（3—5）式中：z是相对某个基准面单位重量液体具有的位能，称为位置水头；是单位重量液体具有的压能，称为压强水头；（）是单位重量液体具有的位能和压能之和，称为总势能或测压管水头；表示单位重量液体具有的动能，称为流速水头；h＇w表示单位重量液体从1断面流到2断面克服由液体粘滞性引起的阻力而损失的能量，称为水头损失。式（3—5）表示水流在流动过程中，单位重量液体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。理想液体不存在粘滞性，所以理想液体流动中水头损失h＇w=0，表示液体机械能的守恒。但实际水流都有粘滞性，因此h＇w≠0，说明水流沿流动方向机械能总是在减少的。应用毕托管测某点的流速，其理论依据就是恒定元流的能量方程（称为伯努利方程）。（2）恒定总流的能量方程将恒定元流能量方程沿总流的2个过水断面进行积分，并且引入过水断面处水流是均匀流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量方程（3—6）请注意：积分过程中用到均匀流和渐变流条件，表明同一过流断面上各点的测压管水头具有（）=c的性质；用断面平均流速v替代过水断面上的实际流速，计算单位重量液体具有的动能并不相等，因此就必须引进动能修正系数α，使得或表示为（3—7）在式（3—6）中，表示过水断面上单位重量液体具有的平均动能，同样hw表示单位重量液体从1断面流到2断面平均的水头损失。恒定总流能量方程是水力学的三个基本方程之一，是最重要最常用的基本方程，它与连续方程联合求解可以计算断面上的平均流速或平均压强，它们与后面讨论的恒定总流动量方程联解，可以计算水流对边界的作用力，在确定建筑物荷载和水力机械功能转换中十分有用。（3）恒定总流能量方程的图示，水头线和水力坡度恒定总流能量方程各项的量纲都是长度量，因此可以用比例线段表示位置水头、压强水头、流速水头的大小。各断面的位置水头、测压管水头和总水头端点的连线分别称为位置水头线、测压管水头线和总水头线（见教材第78和79页图3—27、28）。位置水头线与测压管水头线、测压管水头线与总水头线之间的距离分别表示该过水断面上各点的平均压强水头和平均流速水头。所以画出水流的水头线可以清楚地反映沿流程各个断面上位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断面的压强变化十分重要。假如水流从1断面流到2断面的平均水头损失为hw，流程长度为l，则将单位长度上的水头损失定义为水力坡度J，它也表示总水头线的斜率：（3—8）J是没有单位的纯数，也称为无量纲数。根据水头线表示的能量转换关系，恒定总流能量方程的几何意义可以这样来描述：对于理想液体（hw=0），总水头线是一条水平线；对于实际液体（hw＞0），总水头线总是一条下降的曲线或直线，它下降的数值等于两个过水断面之间水流的水头损失。请注意：测压管水头线不一定是下降的曲线，需要由位能与压能的相互转换情况来确定其形状。对于均匀流，流速水头沿程不变，总水头线与测压管水头是相互平行的直线。（4）应用恒定总流能量方程的条件和注意事项在推导恒定总流能量方程的过程中曾经引入过一些条件，这些条件限制了恒定总流能量方程的使用范围，同时在应用能量方程解决工程实际问题时还必须处理好一些具体事项，现归纳说明如下。1）恒定总流能量方程的应用条件a）液体流动必须是恒定流，而且是不可压缩液体（ρ=常数）；b）作用在液体上的质量力只有重力；c）建立能量方程的两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但该两个断面之间的某些流动可以是急变流。d）在推导能量方程的过程中，两个计算断面之间没有流量的汇入或流出。如果有流量的汇入或分流，也可以建立相应的能量方程式，参见书上第80页。这时必须强调能量方程的两侧都是单位重量液体具有的能量，但确定相应的水头损失非常困难。2）应用恒定总流能量方程需要注意的具体问题a）为了计算能量方程中的位置水头，必须确定基准面。基准面可以任意选择，但尽可能使所选的基准面能简化能量方程，便于求解。例如所选基准面使z=0，这样能量方程项数减少。还必须强调，同一个能量方程只能选择同一个基准，否则能量方程就不能成立。b）计算压强水头，既可选择绝对压强也可选用相对压强，但两个断面必须选用一致。实际工程计算中一般采用相对压强更为方便。c）因为渐变流过水断面上各点的（）值相等，在过水断面上要选好计算点，便于计算测压管水头（）。对于管流，计算点通常取在管轴线上；对明渠水流，计算点取在自由表面上，这里的相对压强为零，所以（）=z。d）选取过水断面除了满足渐变流条件外，还应使所选断面上未知量仅可能少，这样可以简化能量方程的求解过程。e）求解能量方程必须确定动能修正系数α。α值与断面流速分布有关，流速分布越均匀，α值趋向于1，断面流速分布不同，α值也不同。严格地讲两个断面上的α1与α2是不相等的，但是实际工程中的动能修正系数大多在1.05~1.10之间，一般可以取α1=α2=1计算。对于流速分布相当不均匀的水流（例如层流运动），动能修正系数远大于1，这将在第4章讨论。f）能量方程中水头损失hw是十分重要又非常复杂的一项，不能正确地计算液体流动的hw，能量方程难以解决实际问题。关于hw的讨论和计算也将在第四章专门讨论。g)当一个问题中有2~3个未知数的时候，能量方程需要和连续方程、动量方程组成方程组联合求解。3.6恒定总流动量方程恒定总流动量方程是动量定理在液体流动中的表达式，它反映水流动量变化与作用力之间的关系。恒定总流动量方程主要用于求解水流与固体边界之间的相互作用力，如水流对弯管的作用力，水流作用在闸门和建筑物上的动水压力以及射流的冲击力等。（1）恒定总流动量方程根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式为（3—9）恒定总流动量方程的物理意义表明：单位时间内流出控制体与流入控制体的水体动量之差等于作用在控制体内水体上的合外力。恒定总流的动量方程是个矢量方程，把动量方程沿三个坐标轴投影，即得到投影形式的动量方程：∑Fx=ρQ（β2v2x-β1v1x）∑Fy=ρQ（β2v2y-β1v1y）（3—10）∑Fz=ρQ（β2v2z-β1v1z）式中：∑Fx、∑Fy、∑Fz是作用在控制体上所有外力的合力沿x、y、z轴方向的分量；v1x、v2x、v1y、v2y、v1z、v2z分别是控制体进出口断面上的平均流速在x、y、z轴上的分量；β1、β2为进出口断面处的动量修正系数，已知断面上的点流速u分布规律时，可以按下式计算（3—11）β值一般约为1.02~1.05，通常取β1=β2=1.0计算。（2）恒定总流动量方程的应用条件和注意事项a）水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急变流。这与恒定总流能量方程的条件相同，这样在应用能量方程和动量方程进行联解时不会出现适用范围的不一致。b）动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方程解题必须建立坐标系。坐标系可以任意选择，但所选的坐标系应使流速和作用力的投影分量越少越好，这样可以减少方程中的未知数。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时，则为正值，否则应为负值。这一点在解题中经常容易发生错误，学员应特别注意。c）动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。d）∑包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选，这也是解题中常会发生错误的地方。外力通常包括重力（质量力）、压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可以先假设其方向进行求解。如果求出该力为正值，表示假设方向正确；否则表示该力的实际作用方向与假设方向相反。e）动量方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合求解。f）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为（3—12）3.7液体微团的运动形式在理论力学中，刚体有两种基本运动形式，即平移和绕某瞬时固定轴的转动。而液体能够流动，发生变形，因此液体微团具有四种基本运动形式，即：（1）平移运动：平移的速度为ux,uy,uz（2）线变形运动：线变形速度为（3—13）（3）角变形运动：角变形速度为（3—14）（4）旋转运动：旋转角速度为（3—15）式中：εi─边线变形速度，θi─角变形速度，ωi─旋转角速度。在液体上述四种基本运动形式中，我们最关心的是旋转运动，它对讨论液体的运动和运动的求解十分重要。如果液体微团的旋转角速度ωx=ωy=ωz=0，则液体是无旋流动或有势流动（存在流速势函数）；当ωx、ωy、ωz有一个不为0，则液体作有旋流动或有涡流动。3.8平面势流的流函数和流速势函数流函数：平面流动中的流线方程uxdy-uydx=0能够进行积分的条件是：它必须是某函数ψ(x,y)的全微分，我们把ψ称为流函数。流函数ψ存在的充分必要条件是满足连续性方程，也就是说，对于连续的平面运动，流函数ψ总是存在的。流函数与流速之间的关系可以表示为：（3—16）流函数具有四个重要的性质：在平面无旋运动中，流函数满足拉普拉斯方程，即（3—17）在数学上把满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，所以ψ是调和函数。等流函数线就是流线，即ψ=常数，它代表一条流线。两条流线的流函数值之差等于两条流线之间通过的单宽流量。4）流函数的增值方向是流速矢量方向逆时针旋转90°的方向。（2）流速势函数：有势流动的流场中必定存在一个流速势函数φ(x,y,z)，流速势函数φ对各个坐标轴的偏导数等于流速向量在该坐标轴上的投影，即（3—18）也可以表示为dφ=uxdx+uydy（3—19）流速势函数具有下面四个性质：某瞬时流速势函数φ对某方向的偏导数等于流速在该方向上的投影。流速势函数也满足拉普拉斯方程，即φ也是调和函数。当势函数φ=常数，它表示一条等势线。4）流速势函数的增值方向与流速方向一致。3.9流网原理在平面势流中，流速势函数φ等于不同常数时构成了一组等势线，流函数ψ为不同常数时代表一组流线，这些等势线和流线构成的网格即是流网。流网有下列特征：流线与等势线处处正交，也就是说流网是正交网格。2）如果取△φ=△ψ，则流网构成正交方格。利用组成流网的流函数与流速势函数的性质，可以求解流场内任何一点的流速和压强。【思考题】3—1描述液体运动有哪两种方法？两种方法有什么区别？3—2什么是流线和迹线？流线具有什么性质？3—3什么是过水断面和断面平均流速？为何要引入断面平均流速？3—4叙述流动的分类和其特征？3—5有人说“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确？为什么？3—6动水压强与静水压强有什么不同？在推导恒定总流能量方程时，为什么过流断面必须位于渐变流段？3—7在使用能量方程时应注意哪些问题？3—8应用能量方程判断下列说法是否正确：（1）水一定从高处向低处流动；（2）水一定从压强大的地方向压强小的地方流动；（3）水总是从流速大的地方向流速小的地方流动？3—9什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者有什么关系？沿程变化特征是什么？3—10建立动量方程有哪些条件？应用时要注意哪些问题？3—11建立动量方程时如何建立坐标可以简化计算过程？3—12为什么边界对水流的作用力方向可以任意假设？3—13液体运动的基本形式有哪几种？3—14什么是平面流动？3—15什么是有势流动和有旋流动？有势流动如何判别？3—16什么是流函数和流速势函数？它们存在的条件是什么？有哪些性质？3—17流网是怎么构成的？它具有什么性质？【解题指导】思3—5提示：流动均匀与否是对于空间分布而言，流动恒定与否是相对时间而言，这是判别流动的两个不同标准。因此，这种说法是错误的。思3—6解答：静水压强具有下列特性：即静水液体内任何点的（z+p/y）=常数。而动水压强只在一定条件下才具有这个特性，即在均匀流过水断面上的各点其（z+p/y）=常数。对于渐变流，可以近似将（z+p/y）=常数，这在推导能量方程时，可以将它作为常数提出积分号外，使积分运算变的十分简便。思3—8提示：三种说法均是不正确的。由于水流在流动过程中总有能量损失，因此水流只能从能量大的地方流向能量小的地方，而位置的高低、压强的大小、流速的大小不是确定液体流动方向的依据。例题例题3—1如图所示水泵管路系统,已知：流量Q=101m3/h,管径d=150mm，管路的总水头损失hw1-2=25.4m,水泵效率水泵的扬程Hp水泵的功率Np解：(1)计算水泵的扬程Hp以吸水池水面为基准写1-1,2-2断面的能量方程即0+0+0+Hp=102+0+0+hw1-2∴Hp=102+hw1-2=102+25.4=127.4m(2)计算水泵的功率Np此题主要说明在水流中有能量输入或输出时能量方程的应用。由于水泵是输给水流能量，因此Hp前取正号，这样才能与2-2断面的能量相等。同时要搞清楚水泵扬程Hp概念，Hp=z+hw1-2。(11)图示一跨河倒虹吸管，正方形断面面积A=0.64m2，长l=50m，两个30。折角、进口和出口的局部水头损失系数分别为ζ1=0.2，ζ2=0.5，ζ3=1.0，沿程水力摩擦系数λ=0.024，上下游水位差H=3m。求通过的流量Q`解：例题3—2有一个水平放置的弯管，直径从d1=30cm渐变到d2=20cm，转角θ=60°，如图所示。已知弯管1—1断面的平均动水压强p1=35000N/m2，断面2—2的平均动水压强为p2=25840N/m2，通过弯管的流量Q=150L/s。求水流对弯管的作用力。解：根据题意要求水流对弯管的作用力，应该用动量方程进行求解。（1）取弯管的1—1与2—2断面之间的水体作为脱离体（如图）。断面1—1和2—2两过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算。（2）分析作用在脱离体上的外力：断面1-1和2-2上的动水总压力分别为P1与P2，P1=p1A1，P2=p2A2管壁对水流作用力R，它实际上是水流对管壁作