微积分复习课件

微积分复习课件2024-01-25微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分方程初步知识多元函数微积分学基础无穷级数简介与收敛性判断复习策略与应试技巧目录01微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在该邻域内时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。几何意义导数$f'(x_0)$表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零时，函数在该区间内单调递减。导数定义导数定义及几何意义常数C的导数为0，即$(C)'=0$。常数求导例如$sinx,cosx,tanx$等三角函数的导数分别为$cosx,-sinx,sec^2x$。三角函数求导对于形如$y=x^n$的幂函数，其导数为$y'=nx^{n-1}$。幂函数求导对于形如$y=a^x$（$a>0,aneq1$）的指数函数，其导数为$y'=a^xlna$。指数函数求导对于形如$y=log_ax$（$a>0,aneq1$）的对数函数，其导数为$y'=frac{1}{xlna}$。对数函数求导0201030405常见函数求导法则高阶导数计算高阶导数定义如果函数的导数在区间内每一点都可导，则称该函数在区间内二阶可导。类似地，可以定义更高阶的导数。高阶导数计算法则逐次求导即可得到高阶导数。例如，对于函数$y=x^3$，其一阶导数为$y'=3x^2$，二阶导数为$y''=6x$，三阶导数为$y'''=6$。设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$。如果存在一个与$Deltax$无关的数A，使得当$Deltaxto0$时，差商$frac{Deltay}{Deltax}-Ato0$，则称A为函数在点$x_0$处的微分，记作$dy|_{x=x_0}$或$df(x_0)$。微分在近似计算、误差估计、优化问题等方面有广泛应用。例如，在求解最值问题时，可以通过求解一阶导数等于零的点来找到可能的极值点；在求解曲线长度、面积等问题时，可以利用微分进行近似计算。微分定义微分应用微分概念及应用02积分学基本概念与运算定积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$lambda=max{Deltax_1,Deltax_2,ldots,Deltax_n}to0$时，该和式的极限存在且唯一，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$，称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分。定积分的性质定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。定积分定义及性质设函数$F(x)$和$f(x)$在区间$I$上有定义，若$F'(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。函数族$F(x)+C(C$为任意常数)称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$。不定积分的定义不定积分的计算主要有换元法和分部积分法两种方法。换元法是通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分；分部积分法则是通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，然后利用乘积的求导法则进行求解。不定积分的计算方法不定积分计算方法定积分应用举例定积分的几何应用定积分的物理应用定积分的经济应用求变力做功、求液体静压力等。求总收益、总成本等。求平面图形的面积、求旋转体的体积等。广义积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,+infty)$或$(-infty,b]$或$(-infty,+infty)$上有定义，若$int_{a}^{A}f(x)dx$或$int_{B}^{b}f(x)dx$或$int_{A}^{B}f(x)dx$存在，则称该极限值为函数$f(x)$在相应区间上的广义积分。广义积分的性质广义积分具有与定积分相似的性质，如线性性、可加性等。同时，广义积分还有一些特殊的性质，如收敛性、绝对收敛性等。广义积分简介03微分方程初步知识微分方程概念及分类描述未知函数与其导数之间关系的方程。微分方程定义根据方程中未知函数的最高阶导数的阶数，可分为一阶、二阶及高阶微分方程；根据方程是否线性，可分为线性与非线性微分方程。微分方程分类一阶线性微分方程标准形式$y'+p(x)y=q(x)$。要点一要点二解法步骤先求解对应的一阶齐次线性微分方程$y'+p(x)y=0$，得到通解$y=Ce^{-intp(x)dx}$；再利用常数变易法，将通解中的常数C替换为未知函数u(x)，并代入原方程求解u(x)，最终得到原方程的通解。一阶线性微分方程解法$y''=f(x,y')$或$y''=f(y,y')$。可降阶高阶微分方程类型通过适当的变量代换，将原高阶微分方程降为一阶微分方程进行求解。对于第一种类型的方程，可令$y'=p$，则$y''=p'$，将p看作新的未知函数进行求解；对于第二种类型的方程，可令$y'=p(y)$，则$y''=p'(y)p$，通过分离变量法求解。解法步骤可降阶高阶微分方程解法常系数线性微分方程标准形式$ay''+by'+cy=f(x)$，其中a、b、c为常数。解法步骤先求解对应的齐次线性微分方程$ay''+by'+cy=0$，得到通解；再通过待定系数法或常数变易法，求解非齐次线性微分方程的特解；最后将通解与特解相加，得到原方程的通解。常系数线性微分方程解法04多元函数微积分学基础多元函数定义多元函数的性质多元函数的图像多元函数概念及性质设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。包括有界性、单调性、周期性、连续性等。无法用直观的图形与表达式表示，通常研究它的有关性质来把握函数的性态。偏导数定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数。全微分定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx,Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^(1/2)，此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy。偏导数与全微分的计算通过求导法则和链式法则进行计算。偏导数与全微分计算多元函数的极值定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于P0的点P(x,y)，如果都适合不等式f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)有极大值（或极小值）。多元函数极值的必要条件具有偏导数的极值点必是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。多元函数极值的充分条件结合二阶偏导数进行判断。多元函数极值问题要点三二重积分的定义设函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,…,n)，并以Δδi的直径记作di，分别取各子域中的点(ξi,ηi)，作和式Σf(ξi,ηi)dσi。如果当各子域的直径中的最大值d趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分。要点一要点二二重积分的性质包括线性性、可加性、保号性等。二重积分的计算方法化为累次积分进行计算，根据被积函数的特性和积分区域的形状选择合适的坐标系进行化简。要点三二重积分计算方法05无穷级数简介与收敛性判断无穷级数定义无穷级数是由无穷多个数相加而成的和，通常表示为$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n$是级数的通项。无穷级数分类根据通项$a_n$的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意项级数三类。无穷级数概念及分类通过比较正项级数与已知收敛或发散的级数，来判断其收敛性。比较判别法利用正项级数的相邻两项之比来判断其收敛性。比值判别法利用正项级数的通项的n次方根来判断其收敛性。根值判别法正项级数收敛性判断方法VS适用于交错级数，通过判断级数的通项是否满足一定条件来判断其收敛性。绝对收敛与条件收敛对于任意项级数，若其绝对值级数收敛，则原级数也收敛；若原级数收敛但其绝对值级数发散，则称原级数为条件收敛。莱布尼茨判别法任意项级数收敛性判断方法幂级数定义幂级数是一种特殊的函数项级数，其通项可以表示为$(x-a)^n$与一个常数的乘积。幂级数的展开通过泰勒公式或麦克劳林公式，可以将一个函数展开为幂级数。收敛域确定对于给定的幂级数，需要确定其收敛域，即使得级数收敛的x的取值范围。常用的方法有比值判别法、根值判别法和直接比较法等。幂级数展开与收敛域确定06复习策略与应试技巧重点知识点回顾与总结极限的概念、性质及计算微分中值定理及其应用定积分的概念、性质及计算导数的定义、性质及计算不定积分的概念、性质及计算微分方程的基本概念、解法及应用极限计算题运用极限的四则运算法则、等价无穷小替换等方法求解导数计算题掌握导数的基本公式和求导法则，注意复合函数、隐函数的求导方法微分中值定理证明题构造辅助函数，运用罗尔定理、拉格朗日中值定理等证明不定积分计算题掌握不定积分的基本公式和换元法、分部积分法等求解方法定积分计算题运用定积分的性质和牛顿-莱布尼兹公式求解，注意变限积分的求导方法微分方程求解题掌握一阶、二阶微分方程的求解方法，注意初始条件的运用常见题型分析与解题技巧针对每个知识点，选取具有代表性的题目进行练习和