(3.4)-第2章 时域离散信号和系统的频域分析-3

12.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性频率响应函数与系统函数系统的零、极点分布与系统的频率响应特性特殊系统的系统函数及其特点系统函数的极点分布与系统的因果性和稳定性2.6.1频率响应函数与系统函数系统的时域特性用单位脉冲响应表示，对进行傅里叶变换，得到

称为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。

将进行Z变换，得到一般称为系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。3频率响应函数的表示

复函数

是以2π为周期的连续周期函数，用实部和虚部表示为

用幅度与相位表示为

的幅度响应

的相位响应

4

系统函数的表示

系统函数的定义系统函数

H(z):表示系统的零状态响应与输入序列z变换的比值

线性时不变系统5N阶差分方程的系统函数因果输入序列，零初始状态，差分方程取z变换，得到N阶差分方程的系统函数：线性时不变系统输入和输出满足差分方程

6

与频率响应

在数值上等于H(z)在z平面单位圆上的取值（H(z)必须在单位圆上收敛）。

如果已知系统函数H(z)，则可求得其频率响应，即

7频率响应的物理意义设输入序列是频率为ω的复指数序列，则由线性卷积公式，得到系统的响应y(n)即：离散线性时不变系统对输入为单频复指数序列的响应，仍为同频率ω的单频复指数序列。其幅度放大倍，相移变化为。

是一个与系统频率特性有关的量，如果输入为一般x(n)，则系统响应为对输入x(n)的所有频率成分响应的加权和。8正弦输入序列的系统频率响应可见，当离散线性时不变系统输入单频正弦序列时，输出仍为同频率的单频正弦序列，其幅度为频率响应幅度

的乘积，而相位为输入相位θ与系统相位响应之和。

92.6.2系统的极点分布与因果性和稳定性

如何根据H(z)的极点分布判断系统的因果性和稳定性?因果稳定的充分必要条件：一个因果稳定系统H(z)的收敛域必须在某个圆的外部，该圆包含H(z)所有的极点，而且<1（收敛域必须包含单位圆）。即

Rx-＜|z|≤+∞，0＜Rx-＜1

如果系统函数H(z)的所有极点都在单位圆内，则系统是因果稳定的。如果系统因果稳定，则系统的所有极点都在单位圆内。收敛域包含单位圆，系统稳定；收敛域包含无穷远，系统因果。10例：分析系统的因果性和稳定性例：已知一个线性时不变系统的系统函数，试确定系统的收敛域，并分析系统的因果性和稳定性。

解：对H(z)的分母进行因式分解得极点为-0.25，-0.5；零点为0，0.5，如右图所示。两个极点把平面划分为三个区域，所以H(z)的收敛域有三种可能的情况，下面分别进行讨论。11

如果收敛域是极点-0.5所在的圆的外部区域，收敛域包含∞点，有，因此系统是因果的。系统函数的收敛域为0.5＜|z|≤+∞

，而且包含单位圆，所以对应系统是稳定的。如果收敛域是极点-0.25所在的圆的内部区域，有，因此系统是逆因果的，收敛域为0≤|z|＜0.25。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。如果收敛域是极点-0.25和-0.5所在的两个圆之间的环域，即0.25≤|z|＜0.5，收敛域不包含∞点，单位圆也没有位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。12

【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。

解

H(z)的极点为z=a,z=a－1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a－1<|z|≤∞:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an－a－n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0≤|z|<a:对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a－n－an)u(－n－1)，这是一个非因果且不收敛的序列。（3）收敛域为a<|z|<a-1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。132.6.3系统的零极点分布与系统频率响应

对系统函数的分子、分母多项式进行因式分解

H(z)在z=cr处有零点，在z=dr处有极点

N＞M时，在z=0处有一个(N-M)阶零点

零点和极点分别由差分方程的系数ai和bi决定

除常数A外，系统函数完全由零点cr极点dr唯一确定

零、极点也是描述系统的一种方法，因为已知系统的零、极点分布，就可以大致了解系统的性能

14

将上式分子、分母同乘以zN+M，得到：设系统稳定，将z=ejω代入上式，得到频率响应函数2频率响应的几何确定法

零点矢量

：极点矢量：矢量的模即矢量长度；矢量的幅角是对应矢量与正实轴的夹角。

15频率响应几何确定法系统频率响应式可表示

幅度响应等于各零点矢量长度之积除以各极点矢量长度之积，再乘以常数A

相位响应等于各零点矢量的相角之和减去各极点矢量的相角之和，再加上线性分量ω(N-M)。

16频率响应几何确定法图示17零极点位置对频率响应的影响零点位置:

主要影响幅度响应的谷点值及形状。当B点旋转到某个零点cr附近时，如果零点矢量长度最短，则幅度响应在该点可能出现谷点；零点cr越靠近单位圆，零点矢量长度越短，则谷点越接近零；如果零点cr在单位圆上，零点矢量长度为零，则谷点为零。

极点位置:

主要影响幅度响应的峰值及尖锐程度。当B点旋转到某个极点dr附近时，如果极点矢量长度最短，则幅度响应在该点可能出现峰值；极点dr越靠近单位圆，极点矢量长度越短，则幅度响应在峰值附近越尖锐；如果极点dr在单位圆上，极点矢量长度为零，则幅度响应的峰值趋于无穷大，此时系统不稳定。

18小结单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明显的影响，零点可在单位圆外。在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是一种非常有用的分析系统的方法。19

【例2.6.2】

已知H(z)=z-1，分析其频率特性。

解：由H(z)=z－1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ejω)|=1,相频特性φ(ω)=－ω，当ω=0转到ω=2π时，极点向量的长度始终为1。

图2.6.2

H(z)=z－1的频响特性当ω=0转到ω=2π时，极点向量的长度始终为1。由该例可以得到结论：位于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性，但对相频特性有贡献。20【例2.6.3】

设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为

式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图所示。如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波器。

21【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。解

H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。零点有N个，由分子多项式的根决定

即N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。22例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.4所示。当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。根据其形状，称之为梳状滤波器。232.6.4几种特殊系统的系统函数及其特点全通滤波器梳状滤波器最小相位系统241全通系统（全通网络，全通滤波器）

定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.

表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随φ(ω)改变，起纯相位滤波作用全通滤波器系统函数的一般形式：

频率响应函数251全通系统（全通网络，全通滤波器）

或写成二阶滤波器级联形式：全通滤波器零点与极点互为共轭倒易关系用零极点表示如下：

全通滤波器一组零极点示意

可以证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性26例：二阶全通系统

例：

设二阶全通系统的系统函数求系统的频率响应函数，并画出相应曲线。

解：2梳状滤波器系统函数，其频率响应函数以2π为周期，将

的变量

用代替，得到的，其频率响应是以为周期的，所以在区间【0，2π】上就有

N个相同的频率特性周期，从而可以构成各种梳状滤波器。27梳状滤波器可以滤除输入信号中的的频率分量。可用于消除信号中的电网谐波干扰和其它频谱的等间隔分布的干扰。28例：梳状滤波器

例：

已知一个系统函数，试定性画出系统的幅度响应曲线

。

解：

一个N阶极点z=0，不影响幅度响应

N个一阶零点等间隔分布在单位圆上，由分子多项式的根决定。

当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点幅度为零；两个零点之间幅度由零逐渐增大，在零点中间幅度最大，形成峰值，再逐渐减少至零。幅度谷点频率为ωk=2πk/N

29最小相位系统最小相位系统Hmin(z)：如果因果稳定系统H(z)的所有零点都在单位圆内最大相位系统Hmax(z)：如果所有零点都在单位圆外混合相位系统：若单位圆内、外都有零点30（1）任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即H(z)=Hmin(z)Hap(z)（2）在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。（3）最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为当且仅当H(z)为最小相位系统时，HINV(z)才是因果稳定的（物理可实现的）。

最小相位系统312.7Matlab实现序列逆Z变换的Matlab实现周期序列傅里叶级数的Matlab实现322.7.1序列逆Z变换的Matlab实现函数residuez:适合计算离散系统有理函数的留数和极点，可以用于求解逆Z变换。函数residuez基本调用方式:>>[r,p,c]=residuez(b,a);

输入参数:b=[b0，b1，…，bM]为分子多项式的系数,a=[a0，a1，…，aN]为分母多项式的系数，这些多项式都按z的降幂排列

输出参数:r是极点的留数，p是极点，c是无穷项多项式的系数项，仅当M≥N时存在。33例：计算逆Z变换

例2.19计算的逆Z变换。

解:有理分式X(z)分子和分母多项式都按z的降幂排列。>>b=[0,1];a=[2,-3,1];%多项式的系数[r,p,c]=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项disp('留数:');disp(r');%显示输出参数disp('极点:');disp(p');disp('系数项:');disp(c');程序运行结果为留数:1-1极点:1.00000.5000系数项: