结构设计原理-第四节（受弯构件的应力、裂缝和变形计算）

EngineeringMathematics伍川生副教授硕士生导师

勘察设计注册土木工程师（道路工程）资格考试受弯构件的应力、裂缝和变形计算钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝、变形验算CheckingComputationofStress,CrackandReflectionofRCFlexuralMembers正常使用极限状态验算的内容：使用阶段的变形。使用阶段的最大裂缝宽度。正常使用阶段的特点（与承载能力极限状态相比）

计算依据不同：承载能力极限状态是以破坏阶段（Ⅲa）的状态为建立计算图式的基础；而使用阶段一般是指第Ⅱ阶段，即梁带裂缝工作阶段。

影响程度不同：与承载能力极限状态相比，超过正常使用极限状态所造成的后果（如人员伤亡和经济损失）的危害性和严重性相对要小一些、轻一些，因而可适当放宽对其可靠性的保证率的要求。

荷载效应及抗力的取值不同

承载能力极限状态：汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各效应设计值进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组合系数。正常使用极限状态：汽车荷载应可不计冲击系数，作用（或荷载）效应应取用短期效应和长期效应的一种或几种组合。短期效应组合就是永久作用（结构自重）标准值与可变作用频遇值效应的组合；长期效应组合则为永久作用标准值与可变作用准永久值效应的组合换算截面第二工作阶段的基本假定：平截面假定弹性体假定（压区砼近似按线性分布）受拉区完全不承担拉应力。拉应力完全由钢筋承受。换算截面

定义：

将钢筋和混土两种材料组成的实际截面换算成为一种拉压性能相同的假想材料组成的匀质截面即换算截面。材料力学应力计算公式的前提是单一材料

换算原则：换算前后合力的大小和作用点的位置不变。∴

∵

式中：——钢筋截面积

换算成假想的受拉混凝土截面积——钢筋混凝土构件截面的换算系数，等于

弹性模量比。

即钢筋的换算面积

定义：钢筋混凝土受弯构件受力进入第Ⅱ工作阶段（带裂缝工作阶段）后，通常假定受拉区混凝土完全不承受拉应力，拉应力由钢筋承受。将受压区的混凝土面积和受拉区的钢筋换算面积所组成的截面称为钢筋混凝土构件开裂截面的换算截面。三、开裂截面的换算截面换算截面图a)原截面b)换算截面

几何特性开裂截面的换算截面面积

换算截面对中性轴静矩

受压区受拉区

开裂截面的换算截面惯性矩

截面对其形心的静矩为0，见推导：形心轴，即

矩形截面：对于受弯构件，开裂截面的中性轴通过其换算截面的，得到

T形截面：

①

时：按宽度为的矩形截面计算开裂截面的换算截面几何特性。

②

时：表明中性轴位于T形截面的肋部。

式中：

换算截面对其中性轴的惯性矩

开裂状态下T形截面换算计算图式a)第一类T型截面b)第二类T型截面

定义：砼全截面面积和钢筋的换算面积所组成的截面。

几何特性：

全截面换算示意图a)原截面b)换算截面全截面的换算截面

对上缘取静矩计算全截面换算示意图a)原截面b)换算截面受弯构件的裂缝和裂缝宽度验算一、产生裂缝的原因由作用效应引起的裂缝，（M、V、T以及拉力等）主要通过设计计算进行验算和构造措施加以控制由外加变形或约束变形引起的裂缝，如混凝土收缩、温度变化、基础不均匀沉降等外加变形或约束变形引起开裂，主要通过采用构造措施和施工工艺加以控制。

筋锈蚀裂缝：采取构造措施（足够厚度的砼保护层和保证砼的密实性，严格控制早凝剂的掺入量)二、为什么要控制裂缝宽度：

三、受弯构件弯曲裂缝宽度计算理论和方法

第一类是分析影响裂缝宽度的主要因素，然后利用数理统计方法来处理大量的试验资料，从而给出简单、适用而又有一定可靠性的裂缝宽度计算公式。

适用功能要求：贮液（气）容器外观要求，心理界限：0.3mm耐久性要求：防锈蚀第二类是计算理论法。它是根据某种理论来建立计算图式，最后得到裂缝宽度计算公式，然后对公式中一些不易通过计算获得的系数，利用试验资料加以确定，主要有粘结滑移理论、无滑移理论以及两种理论的综合。

粘结滑移理论：裂缝控制主要取决于钢筋和混凝土之间的粘结性能。

无滑移理论：表面裂缝宽度是由钢筋至构件表面的应变梯度控制的，即裂缝宽度随着离钢筋距离的增大而增大，钢筋的混凝土保护层厚度是影响裂缝宽度的主要因素。

综合理论：考虑了混凝土保护层厚度对裂缝宽度的影响，也考虑了钢筋和砼之间可能出现的滑移。

四、影响裂缝宽度的主要因素钢筋应力σss：最主要因素，最大裂缝宽度与σss呈线性关系。钢筋直径d：在ρ与钢筋应力大致相同的情况下，Wfmax随d的增加而增加。配筋率ρ：当d相同，钢筋应力大致相同的情况下，

Wfmax随ρ的增加而减小，当ρ接近某一数值，

Wfmax接近不变。保护层厚度c：c越大，Wfmax越大，但钢筋锈蚀可能性

越小，两种作用相互抵消。钢筋外形：引入系数c1来考虑钢筋外形的影响。

荷载作用性质：短、长期、重复作用，引入系数c2。构件受力性质的影响：引入系数c3。五、最大裂缝宽度计算公式

《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》在此公式的基础上加以修订。对矩形、T形和工字形截面的钢筋混凝土受弯构件，

《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》规定受弯、轴心受拉、偏心受压、偏心受拉构件的其最大裂缝宽度(mm)按下式计算：

式中

c1——考虑钢筋表面形状的系数，对光圆钢筋，c1取1.4对带肋钢筋，c1取1.0c2——作用（或荷载）长期效应影响系数，其中Nl和Ns，分别表示按作用（或荷载）长期效应组合和短期效应组合计算的内力值。（弯距或轴力）c3——与构件受力性质有关的系数，当为钢筋混凝土板式受弯构件c3＝1.15，其他受弯构件c3＝1.0，轴受拉构件c3＝1.2，偏心受拉构件c3＝1.1，偏心受压构件

c3＝0.9

d——纵向钢筋直径（mm),当用不同直径的钢筋时，d改

用换算直径de，式中对钢筋混凝土构件，为受拉区第i种普通钢筋的根数，为受拉区第i种普通钢筋的公称直径。对于焊接钢筋骨架，上式中的d或de应乘以1.3的系数；

ρ——纵向受拉钢筋配进率，对钢筋混凝土构件，当ρ＞0.02时，取ρ＝0.02；当ρ＜0.006时，取ρ＝0.006；对于轴心受拉构件，

ρ按全部受拉钢筋截面面积As的一半计算；bf,hf——构件受拉翼缘的宽度和厚度σss——由作用（或荷载）短期效应组合引起的开裂截面纵

向受拉钢筋在使用荷载作用下的应力（MPa），对于钢筋混凝土受弯构件，

；其他受力性质构件的计算式参见《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》JTGD62--2004；H0——截面的有效高度；六、裂缝宽度限值

《公桥规》规定，钢筋混凝土受弯构件在荷载作用下，算得的最大裂缝宽度须满足下述要求：

Ⅰ类和Ⅱ类环境：0.2mmⅢ类和Ⅳ类环境：0.15mm

一、为何对钢筋砼受弯构件进行变形验算：

挠度过大，损坏使用功能：如简支梁跨中挠度过大，将使梁端部转角大，引起行车对该处产生冲击，破坏伸缩缝和桥面；连续梁的挠度过大，将使桥面不平顺，行车时引起颠簸和冲击等问题。

使相邻构件开裂、压碎。

心

理安全。

挠度过大，发生振动、动力效应。受弯构件的变形（挠度）验算二、材力挠度计算公式：

对简支梁，挠度计算的一般公式是：

式中：

——与荷载形式有关的荷载效应系数，如均布荷载时B——给定的构件截面抗弯刚度，也即是截面抵抗弯曲变形的

能力。

三、钢筋砼受弯构件的抗弯刚度计算公式：

钢筋混凝土受弯构件各截面的配筋不一样，承受的弯矩也不相等，弯矩小的截面可能不出现弯曲裂缝，其刚度要较弯矩大的开裂截面大得多，因此沿梁长度的抗弯刚度是个变值，为简化起见，把变刚度构件等效等刚度构件，采用结构力学方法，按在两端部弯矩作用下构件转角相等的原则，则可求得等刚度受弯构件的等效刚度B，即为开裂构件等效截面的抗弯刚度图9-9构件截面等效示意图a)构件弯曲裂缝b)截面刚度变化c)等效刚度的构件《公桥规》规定：钢筋砼受弯构件计算变形时的抗弯刚度为：

式中：B——开裂构件等效截面的抗弯刚度；B0—全截面的抗弯刚度，

Bcr——开裂截面的抗弯刚度;Ec

——混凝土的弹性模量；I0——全截面换算截面惯性矩；Icr——开裂截面的换算截面惯性矩；Ms――按短期效应组合计算的弯矩值；Mcr——开裂弯矩;ftk——混凝土轴心抗拉强度标准值；γ——构件受拉区混凝土塑性影响系数,

S0——全截面换算截面重心轴以上（或以下）部分面积对重心轴的面积矩；W0——全截面换算截面抗裂验算边缘的弹性矩。四、预拱度的设置

概念：施工时预设的反向挠度。

设置目的：

为了消除结构重力这个长期荷载引起的变形；

希望构件在平时无静荷载作用时保