6知识资料基本方程组的数值求解

基本方程组的数值求解一、引言

控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点：方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。其中动量方程可写成

方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联立求解。形式相同，故可用通用程序求解

二、积分区域与微分方程的离散化

1．积分区域的离散化积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来代替交线的交点称为网格的结点两相邻结点之间的距离称为网格步长时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间的距离为时间步长图1网格结点的符号X3X2X1P方程离散将微分方程离散成代数方程有限差分法:泰勒展开控制容积法有限元ESNWP2．微分方程的离散化1、函数在网格点上的值代表网格内各处的值；2、相邻网格点连线与网格边界交点上函数值代表该边界上的函数值。泰勒展开ESNWP隐含Φ

为多项式近似数学上简单明了,物理上没有明确意义控制容积法通过网格将计算区域离散成互不相叠的控制单元体每一个点周围均有控制体包围它将控制方程在每个单元体上积分得出的离散方程表述了Φ在该单元体上的守恒关系wens将Φ

的控制方程在P(w,n,e,s)上积分基本规则方程最终离散为:为了使上式不会产生偏离物理意义的解,或者发散,Patankar总结了4条规则:控制容积界面上的相容性:

在控制面上，通量要保持一致,在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式差分方程中的系数符号相同(建议统一取非负数)源项的负斜率线性化相邻节点系数满足:瞬态项xΦWPweEΦ在控制体内的分布,这里采用平均分布.对流和扩散项定义总通量JwensJe的离散wens交接面上的Φe

未知Ce

对流强度De

扩散强度中心差分则E点的系数为:有可能是负的,违背了规则,所以要求:否则会出现物理上非真实的解wens上风格式则E点的系数为:不会是负的wens指数格式对于一维稳态无内热源对流－扩散方程:假定u,ρ,Γ均为已知常数，在边界条件：可以得出精确解析解:Pe为Peclect数除非Pe很小,否则分布不是线性当|Pe|很大时,上风格式较好直接采用上式内插,得指数格式缺点:计算复杂2维和3维时并不一定是该分布CeCe/DeCe混合格式将指数格式分段用直线来近似,避免指数运算则系数为:当-2<=P<=2时为中心格式其他情况接近与上风格式QUICK格式(quadraticupwindinterpolationofconvectivekinematics,对流项的二次迎风插值)在中心差分格式基础上增加曲率修正,修正量考虑速度方向,使上风格式具有二阶精度差分一般形式

狭长竖直长方形空腔内自然对流

a):一阶迎风格式

b):混合格式

c):乘方格式

d):三阶迎风格式

e):QUICK格式时间上积分需要知道Φ随时间的变化关系一般假设:f=0:显式格式f=0.5:Crank-Nicolson格式f=1:全隐式格式源项将源项假设成Φ的线性关系例如源项为:S=4-5T3,则线性化有很多选择:离散结果数值求解二维控制方程离散成一般形式:求解线性方程组的方法:直接求解迭代法逐点迭代逐线迭代逐面迭代高斯消去法求解2-D和3-D问题时太复杂大量的存储空间和计算时间对于非线性问题(系数与待求变量有关),方程也需要重复求解迭代法从一个预估场Φ开始采用某种代数关系获得一个更好的场重复求解以期获得更接近真实的场不需要太多的附加存储空间更适合处理非线性问题逐点迭代对应同一个问题,迭代格式取的不好,会发散收敛的例子:发散的例子:逐点迭代收敛条件:缺点:收敛速度太慢逐线迭代将待求方程转变成三对角方程组,可以采用TDMA(tri-diagonalmatrixalgorithm)方法直接求解TDMAAlgorithm:计算P1,Q1获得Pi,Qi令ΦN=QN获得ΦN-1,ΦN-2…逐面迭代三维问题采用逐面迭代格式,形成五对角方程组,在该面上再转成三对角方程,采用TDMA方法求解SIMPLE(解压力耦合方程的半隐式法)关于Φ的控制方程系数中有对流项（速度）为此解其他标量方程前需要获得流场,需要首先求解动量方程对于不可压流体,压力没有明显的方程,但压力是驱动流动的动力,其速度要满足质量方程因此,质量方程称为压力场是否正确的校验方程波形压力场由于压力只出现一个梯度项,导致满足控制方程的压力场会有无限多个wens波形速度场对于质量方程,由于是梯度,也会出现上述问题交错网格速度分量存储于控制容积的边界上其他变量存储于控制容积网格点上交错网格下的动量方程离散假设一个压力场P*,则可以求出速度场则该速度场要满足质量方程,压力修正压力和速度修正假设正确压力为:P’为压力修正量次要影响，可忽略相邻速度修正值所引起，为速度修正的间接影响求出正确压力为什么不直接利用压力和速度去开始下一次迭代，而必须要求解速度修正值？

这是由于不满足连续性方程，如果用去确定新的系数并开始下一次的迭代，会影响迭代收敛速度，并且会使代数方程组前的系数关系得不到保证。压力校正方程对于连续性方程:其积分方程为:将速度修正方程带入压力校正方程SIMPLE算法1、假定一个速度分布，记为，以此计算动量离散方程中系数及常数项；2、假定一个初始压力场；3、依次求解动量方程，得到；4、求解压力修正方程，得到压力修正值；5、根据压力修正值，得到和；6、利用改进后的速度场求解其它与速度场耦合的变量；7、利用改进后的速度场和压力场作为下一次迭代计算的初值，重复上述步骤，直到获得收敛解。SIMPLE算法四、差分格式1．差分方程的要求在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则，并发展了一系列的分析方法为了容易理解，这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论

差分方程可以写为

(5)

式中，取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。1）物理上的真实性

①差分方程的系数要同号：上述差分方程中，Bnb和BP要同号②在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。2）迭代求解的收敛性对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒（Scarborough）指出：①所有结点的差分方程，其系数之和需满足

（6）②至少有一个结点，系数之和满足

（7）对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的3）解的精确性

要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是重要的因素之一。2．对流项和扩散项的差分很多差分格式的系数都与参数、