2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的(

)A.

B.

C.

D.2.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cmA.63cm B.6cm3.如图所示的几何体EF−ABCD，底面ABCD是矩形，AB/​/EF，AB=A.5

B.10

C.15

D.5二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，其中正确的命题为(

)A.α//β⇒l⊥m B.三、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.空间中两条直线的位置关系有______．6.直线3x+(a+1)y+7.若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(2,0)，则椭圆的标准方程为8.如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图A′B′C′D′，其中A′D

9.等轴双曲线C与椭圆x210+y26=10.已知直线l1：(k−3)x+(4−k11.若棱锥底面面积为150cm2，平行于底面的截面面积是54cm2，底面和这个截面的距离是12.一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______．13.若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______．14.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，B15.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2cm，高为5

16.如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为______．

四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知圆C：x2+y2−2x+4y=5，点A(4,−118.(本小题10分)

ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD19.(本小题10分)

如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EF∩BD=G．

(1)求证：EF⊥平面BDD1B1；20.(本小题12分)

已知点A(2,8)，B(x1,y1)，C(x2,y2)在抛物线y2=2px，(p>021.(本小题12分)

已知m>1，直线l：x−my−m22=0，椭圆C：x2m2+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．

(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查知识点：旋转体(圆柱、圆锥、圆台)等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．

本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．【解答】

解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，

其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；

由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，

其原因只能是瓶子平行与底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查圆锥、圆柱的体积，考查计算能力，是基础题．

先求出圆柱中水的体积，设出圆锥中水的底面半径，利用体积相等，求出圆锥的高．

【解答】

解：由题意知圆柱中水的体积是：24πcm3，

设圆锥中水的底面半径为rcm，

将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，

水的体积为：13πr2⋅3.【答案】A

【解析】解：过点E分别作EG⊥AB，EJ⊥CD于点G，J，同理作出FH⊥AB，FK⊥CD于H，K，

因为AB/​/EF，故将几何体EF−ABCD分为四棱锥E−AGJD，F−HBCK和三棱柱EGJ−FHK，

因为底面ABCD是矩形，所以AB/​/CD，故EJ⊥AB，

因为EG∩EJ=E，EG，EJ⊂平面EGJ，

所以AB⊥平面EGJ4.【答案】AC【解析】解：由于直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，

对于选项A：当α/​/β，且l⊥平面α，所以l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，所以l⊥m．

对于选项B：α⊥β不能推出l/​/m，故错误．

对于选项C：由于l/​/m，直线l⊥平面α，所以直线m⊥平面α5.【答案】相交、平行和异面

【解析】解：空间中两条直线的位置关系有相交、平行和异面，

故答案为：相交、平行和异面．

根据空间中两直线的位置关系的定义即可求解．

本题考查了空间中两直线的位置关系，属于基础题．6.【答案】12【解析】解：直线3x+(a+1)y+1=0化成斜截式，可得y=−3a+1x−1a+7.【答案】x2【解析】解：由题意可得2a=12，c=2，且焦点在x轴上，

即a=6，所以b=a2−c2=36−48.【答案】6

【解析】解：如图，还原梯形，BC=4，AB=2，AD=2，梯形为直角梯形，

所以原梯形ABCD9.【答案】x2【解析】解：设双曲线的方程为x2a2−y2a2=1，椭圆的焦点坐标为F1(−2,0)，F2(2,0)．

∵等轴双曲线C与椭圆x21010.【答案】3

【解析】解：直线l1：(k−3)x+(4−k)y+1=0与l11.【答案】30c【解析】解：设棱锥的高为x，

∵棱锥底面面积为150cm2，平行于底面的截面面积是54cm2，底面和这个截面的距离是12cm，

∴15054=(xx−12)2，即xx−12.【答案】3π【解析】解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：3，

则此球的表面积为：4π×(32)213.【答案】1+【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为A，

则S侧面积=A2

全面积S=A2+2π(A2π)2

则圆柱的全面积与侧面积的比

S全面积14.【答案】arccos2【解析】解：设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，

以向量AB,AD,AA1为基底，则AB⋅AD=AB⋅AA1=AD⋅AA1=015.【答案】13

【解析】解：将正三棱柱ABC−A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，

在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．

由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d16.【答案】3【解析】解：在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，

则由图可知：|BF|=1，|BO|=2，

所以sin∠BOF=12，

又因为sin∠ODM=|OM||OD|=1|OD|，

结合∠BOF=∠ODM17.【答案】解：(1)圆C：x2+y2−2x+4y=5，化成标准方程得(x−1)2+(y+2)2=10，

所以圆心为C(1,−2)，半径r=10；

(2)当直线经过点A(4,−1)且斜率不存在时，直线方程为【解析】(1)将圆C化成标准方程，即可得到圆心C的坐标、及半径大小；

(2)先判断过A点且斜率不存在的直线与圆18.【答案】证明：(1)连结AC，

∵∠ABC=90°，AB=BC=a，

由勾股定理得AC=2a，

同理CD=2a，

又∵AD=2a，

∴△ACD是直角三角形．

即AC⊥CD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又∵AC，PA⊂PAC，AC∩PA=A，

【解析】(1)连结AC，由勾股定理可得AC⊥CD，由线面垂直的性质定理可得：PA⊥CD，进而由线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAC，进而得到PC19.【答案】解：(1)证明：∵D1D⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，

∴AC⊥D1D，又AC⊥BD，且AC与BD为相交直线，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又E、F分别为AB、BC的中点，∴EF/​/AC，

∴EF⊥平面BDD1B1；

(2)建系如图，则根据题意可得：

E(22,2,0)，F(2【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，即可证明；

(2)(i)建系，根据向量数量积的运算，即可求解；

(ii20.【答案】解：(1)∵点A(2,8)在抛物线y2=2px，(p>0)上，

∴64=4p，解得p=16，

∴抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为F(8,0)．

(2)如图，∵F(8,0)是△ABC的重心，M是BC中点，

∴F是线段AM的定比分点，且AFFM=2，

设点M的坐标为(x3,y3)，

则2+2x【解析】(1)由点A(2,8)在抛物线y2=2px，(p>0)上，利用待定系数法能求出抛物线方程．

(2)由已知条件知F(8,0)是线段21.【答案】解：(I)因为直线l：x−my−m22=0，经过