云南、黑龙江、陕西、河南四省2024届高中毕业生联合命题数学试卷（一）（解析版）

PAGEPAGE1云南、黑龙江、陕西、河南四省2024届高中毕业生联合命题数学试卷（一）一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，又单调递减，解得，故，所以，则．故选：A.2.已知复数满足，，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，，∴.故选：C.3.已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件，〖答案〗A〖解析〗由题意知，将点代入方程，即，得，则抛物线C的焦点．当点M的坐标为时，点M与拋物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有；当时，点M的坐标不一定为，理由如下：如图，连接PF，当时，．因此“点M的坐标为”是“”的充分不必要条件.故选：A．4.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（）时间x（月）12345销售量y（万件）11.62.0a3A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B.表中数据的样本中心点为C.D.由表中数据可知，y和x成正相关〖答案〗A〖解析〗依题意，，而y与x的回归直线方程为：，则，解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确；由，得y和x成正相关，D正确；2024年1月份，即，由回归直线方程，得，因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误.故选：A5.展开式中的常数项为（）A.672 B. C. D.5376〖答案〗D〖解析〗二项式的展开式的通项，令，得，所以二项展开式中的常数项为.故选：D6.已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段长度的最小值为2 B.的形状为锐角三角形C.三点共线 D.的坐标不可能为〖答案〗C〖解析〗对于A，因为抛物线过点，所以抛物线的方程为，线段长度的最小值为通径，所以A错误；对于B，由定义知，轴，所以，同理，所以，所以B错误；对于C，设直线，与抛物线方程联立，得，设，，则，，因为，所以，三点共线，所以C正确；对于D，设的中点为，则，，取，可得，所以D错误.故选：C.7.球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为，易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为，所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：，所以，故，则球的直径为6.故选：D8.已知函数，则满足的的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则或，解得或或.令，则或，解得或.画出函数图象的草图（如图），得满足的的取值范围为.故选:D.二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小〖答案〗ABD〖解析〗对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是，故A正确；对于B，一组数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是3，故B正确；对于C，将这8个数据从小到大排列为:12,14,15,17,19,23,27,30;由于，第70百分位数为第6个数为23，故C错误；对于D，设原数据为平均数为，方差为2，即加入一个新数据5，这9个数据为此时样本容量为9，平均数不变，方差，故方差变小，故D正确，故选：ABD10.已知数列满足（m为正整数），，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则m所有可能取值的集合为C.若，则D.若，k为正整数，则的前k项和为〖答案〗AC〖解析〗A选项，若，则，，，，，，，，故A正确；B选项，若，则，或7．当时，，，，或，，；当时，，，，或，，，或，，，或，，，故m所有可能取值的集合为，故B不正确；C选项，若，则，，，，，，，，…，所以从第5项开始为周期数列，且周期为3，则，，故，C正确；D选项，若，则，，…，，，所以的前k项和为，故D不正确.故选：AC11.已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A.当不与左、右端点重合时，的周长为定值B.当时，C.有且仅有4个点，使得为直角三角形D.当直线的斜率为1时，直线的斜率为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因，当且仅当为右顶点时取等号，又因为的最大值为，所以，因为，所以，所以椭圆的方程为，因为的周长为，故A正确；对于B：当时，，所以，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C：设椭圆的上顶点为，因为，所以，所以的最大值为，所以存在个点，使得，又因为存在个点使，存在个点使，所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误；对于D：因为，设，则，所以，所以，因为，所以，故D正确，故选：ABD.12.已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.函数极值点为1B.C.若分别是曲线和上的动点.则的最小值为D.若对任意的恒成立，则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗．所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，故A正确；设，则，由单调性的性质知在上单调递增．又，则存在．使得，即，，所以当时．，当时．．所以在上单调递减．在上单调递增.所以，又，则，所以，故B错误；因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称，设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为，，由得，所以切点坐标为，即，所以，所以的最小值为，故C正确；若对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，则．所以在上单调递增，则，即，令，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.若向量满足，且在上的投影向量为，则__________.〖答案〗0〖解析〗由题意知，在上的投影向量为，由，得，所以.故〖答案〗为：014.若，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以.故〖答案〗为：.15.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．〖答案〗〖解析〗设该正四棱台的的高为,则根据题意可得：，∴，又易知对角面为上下底分别为与，且高为的等腰梯形，∴该棱台的对角面面积为．故〖答案〗为：.16.已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗由题意对任意的，都有，且，所以，，即对任意的，恒成立，而，不妨设，令，则，所以对任意的，恒成立，当且仅当，即实数b的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）当时，，得，当时，，所以，变形得，即，数列以为首项以3为公比的等比数列，所以，即（2）由，所以，所以.18.如图，在三棱柱中，平面分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明；如图，设的中点为，连接.因为分别为的中点，所以，又，所以，所以在平面内.因为，所以，所以四边形是平行四边形，，又平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则点，.设平面的法向量为，由得不妨令，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.19.已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．解：（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.20.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：01000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）依题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：故.（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.21.已知椭圆的离心率是，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．（1）解：由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）证明：由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（1）解：因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单