陕西省榆林市五校联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1陕西省榆林市五校联考2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色中性笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足,则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由,可推得,所以数列是以3为周期的一个周期数列,所以.故选：B.2.若，，则直线不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由，得，又，，则直线的斜率，在轴上的截距，所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A3.已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗因为是上一点，所以，解得，又是抛物线的焦点，所以，所以的面积为．故选:B．4.已知为等差数列的前项和，若，则（）A.64 B.32 C.28 D.22〖答案〗C〖解析〗设等差数列的公差为d，则，解得.故选：C5.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意设双曲线的方程为，将点（，）代入双曲线方程得，所以双曲线的方程为，即.故选：A.6.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗项数为的中奇数项共有项,其和为项数为的中偶数项共有项,其和为所以解得故选:A.7.已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，若原点到直线的距离是椭圆的短轴长的，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，所以直线的方程为，即，原点到直线的距离，整理得，所以椭圆的离心率.故选：D.8.已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数列、都是等差数列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗直线，即，设所求直线的方程为，由题意可得，解得或．故所求直线的方程为或．故选：AD．10.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,若,则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，,故A正确；对于B，,故B正确；对于C，,故C正确；对于D，,故D错误.故选：ABC.11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（）A.观测点之间的距离是B.圆的方程为C.小汽车行驶路线所在直线的方程为D.小汽车会进入安全预警区〖答案〗BCD〖解析〗由题意,得,所以,即观测点之间的距离是,故错误；设圆的方程为,因为圆经过三点,所以，解得，所以圆的方程为,故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为,又点的坐标是,所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C正确；圆化成标准方程为,圆心为,半径,圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.故选：BCD.12.经过抛物线的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，的最小值是4，则下列说法正确的是（）A.B.C.若点是线段的中点，则直线的方程为D.若，则直线的倾斜角为或〖答案〗BC〖解析〗，由题意可知直线的斜率存在且不为，可设直线的方程为，联立，得，，，，所以，当时等号成立，所以，所以抛物线方程为，所以，所以，A选项错误；，所以，，所以，B正确；因为点是线段的中点，所以，即，所以直线的方程为，C正确；，所以，即，所以，因为，所以，即，解得（舍去），又，故，所以，所以直线的斜率为，直线的倾斜角为，D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是__________.〖答案〗40〖解析〗由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为，故这四个顶点围成的四边形为菱形，所以面积.故〖答案〗为：4014.若圆与圆相切，则实数__________〖答案〗或〖解析〗圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，当圆与圆外切时，，即，解得；当圆与圆内切时，，即,解得，所以圆与圆相切时,或.故〖答案〗为：或15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______.〖答案〗〖解析〗数列的前项和为，当时，，当时，，，不满足上式，所以数列的通项公式为故〖答案〗为：16.已知点是离心率为的双曲线上的三点,直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则______〖答案〗3〖解析〗因为双曲线的离心率为所以不妨设因为点在上，所以两式相减,得,因为点是的中点，所以,,所以即所以同理因为所以故〖答案〗为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的圆心为，且过点．（1）求的标准方程；（2）若直线与相切于点，求的方程．解：（1）由题可知，的半径为,所以的标准方程为.（2）因为直线与相切于点，且,所以，所以，由点斜式得，，整理得，.18.如图，在直四棱柱中，是棱的中点,.请用向量法解决下列问题.（1）求证:;（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由直棱柱的性质可知,因为,所以两两互相垂直,故以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则.因为是棱的中点,所以,所以,所以.所以,即.（2）由(1)可知.设向量是平面的法向量,则即令,得.设直线与平面所成的角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合．（1）求抛物线的标准方程；（2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．解：（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为，由可得，，所以，解得，所以双曲线的右焦点为，所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为，所以，即，所以抛物线的标准方程为；（2）由，得双曲线的右顶点为，因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为，设，，联立直线与拋物线的方程，消去，得，所以，，所以．20.已知各项都为正数的数列的前项和为,且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若，求数列的前项和.解：（1）数列中，，当时，，由两式相减，得，即，又数列的各项都为正数，则，当时，，解得，因此数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以.（2）由（1）得，，，即，设的前项和为，则，当时，，当时，，于是当时，；当时，，所以数列的前项和.21.如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）作中点，因为与都是正三角形，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，且，设平面法向量为，则，即，令，则，所以，所以点到平面的距离；（2）设平面的法向量为，因为，所以，即，令，则，所以，由（1）知面的法向量为，令平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.22.已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6．（1）求E的方程；（2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线C