安徽省合肥市庐江县2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（含答案解析）

庐江县2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试题命题人：夏友才黄翠玲审题人：杨新生一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合，，则，.故选：B2.下列四组函数中与是同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助同一函数的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项A错误；对于选项B:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项B错误；对于选项C:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故选项C错误；对于选项D:函数的定义域为的定义域为，定义域相同，且，解析式相同，故是同一函数，故选项D正确；故选：D.3.若：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出成立时的范围，根据充分条件和必要条件的定义可解决此题.【详解】解：由，变形得，解得或，所以：或，又：，，所以是的必要不充分条件.故选：B.4.已知，函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】则，从而，当时，函数与函数在定义域内都是单调递增；当时，函数与函数在定义域内都是单调递减；函数与函数在定义域内单调性相同.故选：C.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x)，且函数f(x)在(﹣∞，0)上是减函数，若则a，b，c的大小关系为（）A.a<c<b B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数为偶函数，结合偶函数的性质可得（1），，进而分析可得在上为增函数，又由，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则函数为偶函数，（1），，又由函数在上是减函数，则在上为增函数，且，则；故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查指数对数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.7.已知常数，函数经过点，若，则的值为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】将点的坐标代入函数后计算即可得.【详解】因为，，即，，即，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以.故选：C.8.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据数字黑洞的定义求出，再利用三角化简得，平方即得解.【详解】解：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2023，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，，∴，平方得，∴.故选：D．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；取可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有，故A正确；对于B：因为时显然不成立，故B错误；对于C：因为，，则，即，故C正确；对于D：取，，，，满足，，，但是，所以不成立，故D错误.故选：AC.10.德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质正确的有：（）A. B.的值域为 C.为奇函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用狄利克雷函数的性质即得ABD正确；利用函数奇偶性的定义判定C不正确.【详解】由题得，则，所以A正确；容易得的值域为，所以B正确；因为，所以为偶函数，所以C不正确；因为，所以，所以D正确．故选：ABD．11.下列四个等式中正确的是（）A.B.CD.【答案】ABD【解析】【分析】根据两角和正切公式的变形判断A，根据切化弦及三角恒等变换判断B，由诱导公式判断C，根据二倍角的正切公式判断D.【详解】，故A正确；，故B正确；根据诱导公式知，故C错误；，故D正确，故选：ABD.12.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（）A.是以2为周期的周期函数B.C.D.函数有3个零点【答案】BD【解析】【分析】对于A，由为偶函数，得关于对称，进一步即可判断；对于B，结合关于对称，周期为4即可判断；对于C，结合周期性即可验算；通过取关键点作出两函数图象，观察交点即可得解.【详解】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为关于对称，所以是函数的一个对称中心，则成立，故B正确；因为的周期为4，且，则，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是准确画出函数和的图象，通过数形结合即可顺利得解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题，则的否定是__________.【答案】【解析】【分析】全称量词命题的否定，需改变两点，一是改变量词，二是否定结论.【详解】命题的否定是“”.故答案为：.14.已知幂函数在上单调递增，则实数__________.【答案】3【解析】【分析】由幂函数的特征求出m，然后根据单调性判断即可.【详解】由题意知，，即，解得或.当时，，此时在上单调递减，不合题意；当时，，此时在上单调递增，符合题意.故答案为：315.已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.16.已知函数，若方程有4个解分别，且，则__________.【答案】10【解析】【分析】作出函数图象，由对数函数的性质可得，有二次函数的对称性可得，代入求解即可.【详解】作出函数的大致图象，如下：可知，且当时，有2个解；，得；当时，由有2个解，根据图象的对称性，得..故答案为：10.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助指数幂的运算性质运算即可得；（2）借助对数的运算性质运算即可得.【小问1详解】原式小问2详解】原式18.已知集合，．（1）若，求，及；（2）若，求的取值范围．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）运用集合交、并、补运算即可.（2）分别解、、时一元二次不等式的解集，结合集合包含关系求解即可.【小问1详解】当时，，则，，．【小问2详解】当时，，显然成立；当时，，显然不成立；当时，，因为，，所以，即此时．综上，．故的取值范围为.19.已知函数.（1）求的周期和单调区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）周期为，增区间为，减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想可得出，利用周期公式可求出函数的周期，分别解不等式和，可得出该函数的增区间和减区间；（2）由可得出，利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.【详解】（1），所以，函数的周期为，令，解得；令，解得.因此，函数增区间为，减区间为；（2），，，，，.【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力，属于中等题.20.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为(弧度)．（1）若，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．【答案】（1）9；（2）8.【解析】【分析】（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ，即可得出结论;（2）记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=90（x+），根据函数的单调性即可求出.【详解】（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π所以花坛的面积为9π（m2）（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，则r1θ+r2θ=，记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+）根据均值不等式得到当x=8时，y有最小值为1440，故当线段AD的长为8米时，花坛的装饰费用最小．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.已知函数，函数.（1）求函数的最小值；（2）若，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由解析式求定义域，应用对数运算性质得到含的二次函数形式，进而求最小值；（2）问题化为，利用含的二次函数性质求最大值，再解含的一元二次不等式，求解集.【小问1详解】由题意知的定义域为，，当且仅当时取等号，所以函数的最小值为.【小问2详解】若任意实数，使不等式成立，可转化为，又，令，则，所以，在上单调递减，在上单调递增，显然时，，即，所以，整理得，故或，又的定义域为，所以解得或，所以实数的取值范围为.22.某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)【答案】（1）20元（2）当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元【解析】【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月