同济大学第章概率论与数理统计习题

同济大学第章概率论与数理统计习题2024-01-20目录CONTENTS概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与参数估计假设检验与方差分析回归分析初步01概率论基本概念样本空间定义及例子事件定义及例子事件间的关系与运算样本空间与事件概率的古典定义概率的几何定义概率的公理化定义概率的性质01020304概率定义及性质条件概率的定义及计算多个事件的独立性事件的独立性定义及判断独立重复试验条件概率与独立性01020304划分与全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式的应用举例先验概率与后验概率全概率公式与贝叶斯公式02一维随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S，如果对于每一个样本点e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，则称X=X(e)为随机变量。随机变量定义随机变量具有可测性、单值性和对应关系的确定性。随机变量的性质随机变量定义及性质如果随机变量X的所有可能取值是有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的定义离散型随机变量的分布律可以用分布列来表示，即列出随机变量X取各个可能值的概率。离散型随机变量的分布律离散型随机变量及其分布律连续型随机变量的定义如果随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，则称X为连续型随机变量。连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，它描述了随机变量在某个确定点取值的概率密度。连续型随机变量及其概率密度函数随机变量函数的定义设X是一个随机变量，g(x)是一个实函数，则Y=g(X)也是一个随机变量，称Y为X的函数。随机变量函数的分布随机变量函数的分布可以通过求解分布函数或概率密度函数得到。对于离散型随机变量，可以通过求解各取值的概率得到其函数分布；对于连续型随机变量，可以通过求解概率密度函数的变换得到其函数分布。随机变量函数分布03多维随机变量及其分布描述二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律或联合密度函数。计算二维随机变量$(X,Y)$落在某一区域内的概率$P{(X,Y)inD}$。判断二维随机变量$(X,Y)$是否相互独立。二维随机变量联合分布计算条件概率$P{Xleqx|Y=y}$和$P{Yleqy|X=x}$。讨论条件分布与边缘分布的关系。求二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布律或边缘密度函数。边缘分布与条件分布

相互独立随机变量判断两个随机变量是否相互独立，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$是否成立。若相互独立，计算它们的联合分布律或联合密度函数。讨论相互独立随机变量的性质和应用。求多维随机变量函数的分布律或密度函数，如$Z=X+Y$，$Z=max(X,Y)$等。计算多维随机变量函数的数学期望和方差。讨论多维随机变量函数分布的性质和应用。多维随机变量函数分布04数理统计基本概念与参数估计总体样本统计量总体、样本与统计量研究对象的全体个体组成的集合，常用大写字母表示。从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体性质，常用小写字母表示。由样本数据计算得出的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。根据样本数据使得似然函数取得最大值的参数值作为估计量，适用于总体分布形式已知且参数未知的情况。点估计方法最大似然估计法矩估计法置信区间法利用样本数据构造一个包含总体参数的区间，并给出该区间包含总体参数的可信程度，即置信水平。枢轴量法通过构造一个包含总体参数和样本数据的枢轴量，并根据枢轴量的分布性质给出参数的置信区间。区间估计方法估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次重复抽样下的平均值等于总体参数真值。无偏性有效性一致性对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效。随着样本量的增加，估计量的值逐渐趋近于总体参数的真值。030201评价估计量标准05假设检验与方差分析确定拒绝域0102030405根据实际问题，提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$。根据假设选择合适的检验统计量，如$Z$检验、$t$检验等。根据样本数据，计算检验统计量的值。根据显著性水平$alpha$，确定拒绝域的形式。根据检验统计量的值是否落在拒绝域内，作出接受或拒绝原假设的决策。假设检验基本原理和步骤选择检验统计量建立假设作出决策计算检验统计量的值0102030405单个正态总体均值假设检验$Z$检验：当总体方差$sigma^2$已知时，使用$Z$检验对总体均值$mu$进行假设检验。单个正态总体方差假设检验$t$检验：当总体方差$sigma^2$未知时，使用$t$检验对总体均值$mu$进行假设检验。$chi^2$检验：使用$chi^2$检验对总体方差$sigma^2$进行假设检验。单个正态总体均值和方差假设检验010405060302两个正态总体均值比较假设检验两独立样本$t$检验：当两总体方差相等且未知时，使用两独立样本$t$检验对两总体均值进行比较。Welch$t$检验：当两总体方差不相等时，使用Welch$t$检验对两总体均值进行比较。配对样本$t$检验：当两总体存在配对关系时，使用配对样本$t$检验对两总体均值进行比较。两个正态总体方差比较假设检验$F$检验：使用$F$检验对两总体方差进行比较。两个正态总体均值和方差比较假设检验通过计算不同来源的变异（组内变异和组间变异），比较它们的大小来判断因素对结果是否有显著影响。方差分析基本原理研究单一因素对结果的影响，通过比较不同水平下的均值差异来判断因素对结果是否有显著影响。单因素方差分析研究多个因素对结果的影响及因素间的交互作用，通过构建不同的模型来判断各因素对结果的影响程度。多因素方差分析方差分析原理及应用06回归分析初步参数估计利用样本数据对回归系数进行估计，得到回归方程的斜率和截距。拟合优度评估通过计算决定系数R^2评估模型的拟合优度，判断自变量和因变量之间的线性关系强度。建立一元线性回归模型根据给定的样本数据，通过最小二乘法确定回归系数，建立一元线性回归模型。一元线性回归模型建立及参数估计03残差分析对残差进行可视化分析和统计检验，以检查模型的假设条件是否满足。01回归方程显著性检验通过F检验或t检验对回归方程进行显著性检验，判断自变量对因变量的影响是否显著。02预测区间构建利用回归方程对新的自变量数据进行预测，并构建预测区间，以评估预测的可靠性。回归方程显著性检验及预测区间构建多元线性回归模型建立根