黑龙江省绥化市2023年中考数学试题（附真题答案）

黑龙江省绥化市2023年中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：A、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；

D、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意.

故答案为：C.

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.2．计算的结果是（）A．-3 B．7 C．-4 D．6【解析】【解答】解：原式=5+1=6.

故答案为：D.

3．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：左视图为：

.

故答案为：B.

4．纳米是非常小的长度单位，，把0.000000001用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：0.000000001=1×10-9.

故答案为：A.

n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.5．下列计算中，结果正确的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：A、(-pq)3=-p3q3，故错误；

B、x·x3+x2·x2=x4+x4=2x4，故错误；

C、=5，故错误；

D、(a2)3=a6，故正确.

故答案为：D.

6．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（）A．55° B．65° C．70° D．75°【解析】【解答】解：对图形进行点标注：

∵AB∥CD，∠BAC=∠1+90°=115°，

∴∠ACD=180°-∠BAC=65°，

∴∠3=180°-∠ACF-∠ACD=180°-45°-65°=70°.

故答案为：C.

7．下列命题中叙述正确的是（）A．若方差，则甲组数据的波动较小B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【解析】【解答】解：A、若方差S甲2>S乙2，则乙组数据的波动较小，故错误；

B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误；

C、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故错误；

D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故正确.

故答案为：D.

8．绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是（）组别参赛者成绩ABCDEA．该组数据的样本容量是50人B．该组数据的中位数落在90~100这一组C．90~100这组数据的组中值是96D．110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°【解析】【解答】解：样本容量为12÷24%=50，样本容量没有单位，故A错误；

80~90分的人数为50-4-7-12×2=15（人），故中位数落在90~100这一组，B正确；

90~100这组数据的组中值是95，故C错误；

110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为7÷50×360°=50.4°，故D错误.

故答案为：B.

9．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图象经过点B，D，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．【解析】【解答】解：∵点A在y轴的正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，

∴可设B（3，a），则D（1，a+2）.

∵反比例函数y=的图象经过点B，D，

∴3a=a+2，

∴a=1，

∴B（3，1），

∴k=3×1=3.

故答案为：C.

可设B（3，a），则D（1，a+2），根据反比例函数y=的图象经过点B，D可得3a=a+2，求出a的值，得到点B的坐标，进而可求出k的值.10．某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的.在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：由题意可得：甲车1天的运货量为，甲、乙天的运货量为(+)，

∴+(+)=1.

故答案为：B.

天的运货量，然后根据总量为单位“1”就可列出方程.11．如图，在菱形中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于点E，当0<t<4时，点M在AB上，

∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，

∴AB=AD，

∴△ABD为等边三角形，

∴AE=DE=AD=2，BE=AE=.

∵AM=2x，AN=x，

∴=2.

∵∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABN，

∴∠ANM=∠AEB=90°，

∴MN==x，

∴y=x×x=x2.

当4≤t<8时，点M在BC上，

∴y=AN·BE=x·=x.

故答案为：A.

AD=2，BE=AE=，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AMN∽△ABN，由相似三角形的性质可得∠ANM=∠AEB=90°，利用勾股定理表示出MN，然后根据三角形的面积公式可得y与x的关系式；当4≤t<8时，点M在BC上，根据三角形的面积公式可得y与x的关系式，据此判断.12．如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H.则下列结论中，正确的个数为（）①②③当时，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD.

∵BF⊥AE，

∴∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，

∴cos∠ABF=cos∠EAD，

∴.

∵AB=AD，

∴AB2=BF·AE，故①正确；

设正方形的边长为a，

∵E为CD的中点，

∴DE=a，

∴tan∠ABF=tan∠EAD=.

∵AB==AF=a，

∴AF=a.

∵AE==a，

∴EF=AE-AF=a-a=a.

∵AB∥DE，

∴△GAB∽△GED，

∴=2，

∴GE=AE=a，

∴FG=AE-AF-GE=a-a-a=a，

∴=，

∴S△BGF：S△ABF=2：3，故②正确；

过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为矩形.

∵FH为∠BFG的平分线，

∴HM=HN，

∴四边形FMHN为正方形，

∴FN=HM=HN，

∴BF=2AF=a，FG=a，

∴，

设MH=b，则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b，BH==b.

∵BF=a，

∴a=4b，

∴b=a，

∴BH=×a=a，

∴BD2-BD·HD=2a2-a×a=a1，故④正确.

故答案为：D.

①；设正方形的边长为a，则DE=a，tan∠ABF=tan∠EAD=，由勾股定理可得AB=AF=a，则AF=a，然后表示出AE、EF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△GAB∽△GED，由相似三角形的性质可得GE=AE=a，然后表示出FG，得到的值，利用三角形的面积公式即可判断②；过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为正方形，FN=HM=HN，，设MH=b，则BF=4b，BH=b，据此不难求出b与a的关系，然后表示出BH，据此判断④.二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13．因式分解：.【解析】【解答】解：原式=(x2+xy)-(xz+yz)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).

故答案为：(x+y)(x-z).

2+xy)-(xz+yz)，对括号中的式子提取公因式，然后分解即可.14．若式子有意义，则x的取值范围是.【解析】【解答】解：∵式子有意义，

∴x+5≥0且x≠0，

解得x≥-5且x≠0.

故答案为：x≥-5且x≠0.

x+5≥0且x≠0，求解即可.15．在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.【解析】【解答】解：画出树状图如下：

共有16种情况，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的情况数为8，

∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率为=.

故答案为：.

第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的情况数，然后利用概率公式进行计算.16．已知一元二次方程的两根为与，则的值为.【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6，即x2-4x-6=0的两根为x1与x2，

∴x1+x2=4，x1x2=-6，

∴==-.

故答案为：-.

x2-4x-6=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=4，x1x2=-6，对待求式进行通分可得，然后代入计算即可.17．化简：.【解析】【解答】解：原式=()·

=·

=·

=

故答案为：.

18．如图，的半径为2，为的弦，点C为上的一点，将沿弦翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为.（结果保留π与根号）【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于点M，

由折叠可得OA=AC，AB⊥OC，

∴OA=OC=AC=2cm，

∴OM=CM=OC=1cm，∠AOC=60°.

∵∠AMO=90°，

∴AM==cm，

∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-×2×=(π-)cm2.

故答案为：(π-)cm2.

OC=1cm，∠AOC=60°，由勾股定理可得AM的值，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC进行计算.19．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点，点，.则点的坐标为.（结果用含a，b的式子表示）【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于点M，过C′作C′N⊥AB′于点N，则∠ANC′=∠AMC=90°.

∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，

∴.

∵∠NAC′=∠CAM，

∴△ACM∽△AC′N，

∴.

∵A（2，0），C（a，b），

∴OA=2，OM=a，CM=b，

∴AM=a-2，

∴，

∴AN=2a-4，C′N=2b，

∴ON=AN-OA=2a-6，

∴C′（6-2a，-2b）.

故答案为：（6-2a，-2b）.

，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ACM∽△AC′N，根据相似三角形的性质可得AN、

C′N，然后表示出ON，据此可得点C′的坐标.20．如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点.连接，将绕点C顺时针旋转60°得到.连接，，，则周长的最小值是.【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°.

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE=∠ACF.

∵CE=CF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠CAF=∠CBE.

∵△ABC是等边三角形，BD是高，

∴∠CBE=∠ABC=30°，CD=AC=3.

过C作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接DH、AH，DH与AG交于点I，连接FH、CI，则∠ACG=60°，CG=GH=AC=3，

∴CH=AC=6，

∴△ACH为等边三角形，

∴DH=CD·tan60°=，AG垂直平分CH，

∴CI=HI，CF=FH，

∴CI+DI=HI+DI=DH=，CF+DF=HF+DF≥DH，

∴当F与I重合，即D、F、H共线时，CF+DF取得最小值，最小值为CF+DF=DH=，

∴△CDF周长的最小值为3+.

故答案为：3+.

∠ABC=30°，CD=AC=3，AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACF，利用SAS证明△BCE≌△ACF，得到∠CAF=∠CBE，过C作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接DH、AH，DH与AG交于点I，连接FH、CI，易得△ACH为等边三角形，根据三角函数的概念可得DH，由垂直平分线的性质可得CI=HI，CF=FH，则CI+DI=HI+DI=DH，CF+DF=HF+DF≥DH，据此求解.21．在求的值时，发现：，，从而得到.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则.（结果用含n的代数式表示）【解析】【解答】解：∵图（1）有1个三角形，记作a1=1；

图（2）有5个三角形，记作a2=5=1+4×1；

图（3）有9个三角形，记作a3=9=1+4×2；

……

∴图（n）中三角形的个数为an=1+4×(n-1)=4n-3，

∴a1+a2+a3+……+an=1+5+9+……(4n-3)=·n=2n2-n.

故答案为：2n2-n.

1、a2、a3的值可表示出an，然后求和即可.22．已知等腰，，.现将以点B为旋转中心旋转45°，得到，延长交直线于点D.则的长度为.【解析】【解答】解：①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，

∵△ABC为等腰三角形，∠A=120°，AB=2，

∴∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠ABC=30°，

∴∠DA′B=60°.

由旋转可得∠A′BA=45°，

∴∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°.

∵∠A′BC=∠DA′B+∠D，

∴60°+∠D=75°，

∴∠D=15°.

∵∠DA′B=60°，A′B=2，

∴∠A′BE=30°，

∴A′E=AB=1，

∴BE==.

∵HF为BD的垂直平分线，

∴DF=BF，

∴∠D=∠FBD=15°，

∴∠EFB=∠D+∠FBD=30°，

∴BF==2BE=，

∴DF=BF=，

∴EF==3，

∴A′D=AE+EF+DF=4+.

②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，

由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，

∴∠A′BD=∠ABA′-∠ABC=15°，∠BA′D=60°.

∵DM⊥A′D，

∴∠A′DM=30°.

设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x.

∵PQ为BD的垂直平分线，

∴BQ=DQ，

∴∠A′BD=∠QDB=15°，

∴∠DQM=∠A′BD+∠QDB=30°，

∴DQ=BQ=2DM=x，

∴QM==3x.

∵A′M+QM+BQ=A′B，

∴x+3x+x=2，

∴x=2-，

∴A′D=2x=4-.

综上可得：A′D=4+或4-.

故答案为：4+或4-.

①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，由旋转的性质可得∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠A′BA=45°，则∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°，然后求出∠D的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得A′E，由勾股定理求出BE，根据垂直平分线的性质可得∠D=∠FBD=15°，则∠EFB=∠D+∠FBD=30°，BF==2BE=，由勾股定理求出EF，然后根据A′D=AE+EF+DF进行计算；②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x，DQ=BQ=2DM=x，QM=3x，根据A′M+QM+BQ=A′B可得x的值，进而可得A′D.三、解答题（本题共6个小题，共54分）23．已知：点P是外一点.（1）尺规作图：如图，过点P作出的两条切线，，切点分别为点E、点F.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D在上（点D不与E，F两点重合），且.求的度数.【解析】①连接PO，分别以点P，O为圆心，大于OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交OP于点A；②以点A为圆心，以AO为半径画弧，与圆O交于E，F两点.作直线PE，则PE、PF即为所求；

（2）由切线的性质可得∠PEO=∠PFO=90°，结合四边形内角和为360°可得∠EOF=150°，然后根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质进行计算.24．如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的B点测得，从B点沿河岸的方向走40米到达D点，测得.（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿的方向走米到达P点.求的值.【解析】CH，CH=DH，然后根据BH-DH=BD=40进行计算；

（2）根据HP=HD-PD可得HP的值，然后根据三角函数的概念进行计算.25．某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人.（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.

【解析】5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人可得5x+2y=310；根据3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人可得3x+4y=340，联立求解即可；

（2）设租用A型车m辆，则租用B型车(10-m)辆，根据A的租金×辆数+B的租金×辆数=总租金可得500m+600(10-m)≤5500；根据全校420人可得40m+55(10-m)≥420，联立求出m的范围，结合m为整数可得m的取值，进而可得租车方案，设总租金为w元，根据A的租金×辆数+B的租金×辆数=总租金可得w与m的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；

（3）设S甲=kt，S乙=k1t+b，将（4，300）代入S甲中求出k的值，将（0.5，0）、（3.5，300）代入y乙中求出k1、b的值，据此可得对应的函数关系式，然后令y乙-y甲=25求出t的值即可.26．已知：四边形为矩形，，，点F是延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.连接交于点G.（1）如图一，当点G为的中点时，求证：.（2）如图二，过点C作，垂足为E.连接，设，.求y关于x的函数关系式.（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作，交的延长线于点M.当时，求线段的长.【解析】

（2）根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CEF∽△ABF，由勾股定理可得AF，然后由相似三角形的性质进行解答；

（3）过点E作EN⊥BF于点N，由矩形的性质可得AD=BC=3，易得△ABF、△CEF均为等腰直角三角形，则∠CFE=∠BAF=45°，∠ECF=45°，进而推出EN平分CF，得到CN=NF=NE=，由勾股定理可得BE，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BAM∽△BCE，然后由相似三角形的性质计算即可.27．如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，.（1）求证：.（2）求证：.（3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长.【解析】∽△MAH，然后根据相似三角形的性质进行证明；

（2）连接OC，交AB于点F，易得∠OND=∠OMC，根据等腰