广西2019-2020学年高二6月月考数学（理）试题

2019至2020学年度下学期6月份月考试题高二理科数学一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定义，即可得答案；【详解】，，，故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题.2.的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再利用共轭复数定义求出结果.【详解】因为，所以的共轭复数为.故选：B【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解．3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.【详解】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.故选：B.【点睛】本题主要考查了互斥事件概率的加法公式的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A.30 B.45 C.60 D.120【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．5.按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，模拟计算即可求解.【详解】第一次执行程序，,第二次执行程序，，第三次执行程序，，由以上可知，第3个输出的数为5，故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用指数函数的性质比较的大小，再利用幂函数的性质比较的大小，即得解.【详解】由题得，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.若，是第三象限的角，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.【详解】是第三象限角，，且，因此，，故选B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知,过点(4,2)渐近线方程为y=x,∴2=×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.10.在四面体中，，分别为棱，的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】取的中点，连接，，则为异面直线与所成的角（或补角），再利用余弦定理求解可得.【详解】取的中点，连接，，则，，则为异面直线与所成的角（或补角），因为，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力.用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角11.的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中的系数为（）A.30 B.45 C.60 D.【答案】B【解析】【分析】常数项为2各项系数之和为192，赋值，求出；各项系数之和为192，赋值，求出，再求展开式中的系数即可.【详解】令，得，所以，令，得，所以，故该展开式中的系数为.故选：B【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.求解形如的展开式问题的思路：(1)若中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如；(3)分别得到的通项公式，综合考虑．12.已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可设，，然后计算出和即可.【详解】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，由可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，故答案为.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.14.若满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】【解析】试题分析：由下图可得在处取得最大值，即.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.15.若曲线关于点对称，则______.【答案】【解析】【分析】关于点对称，则利用得求解【详解】依题意可得，，又，则.故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象的对称性，考查运算求解能力.正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心是图象与轴的交点，即函数的零点.16.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.【答案】【解析】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．三、解答题：（共70分.本卷包括必考题和选考题两部分.第（17）题~第（21）题为必考题，每题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.）17.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有.（1）求角A的大小；（2）若，，D为BC的中点，求AD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，从而求得，即可得答案；（2）利用余弦定理和勾股定理可得，即可得答案；【详解】（1）由题设知，.因为，所以.由于，故.（2）因为，所以，.因为，，所以.【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力.18.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”？附：，其中.0.050.013.8416.635【答案】（1）表格见解析；（2）有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.【解析】【分析】（1）根据优秀概率为可得乙班优秀的人数为20，即可得答案；（2）计算的值，再与进行比较大小，即可得答案；【详解】（1）列联表如下：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（2）根据列联表中的数据，得，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查列联表和卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.19.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，，由余弦定理可知，，即，在中，，，则是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．（2）过作，交于点，因为FC⊥平面ABCD，面，所以，所以面，因此，，故为二面角F—BD—C的平面角.在中，，可得因此.即二面角F—BD—C的正切值为2.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.20.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）（II）不存在．【解析】【详解】试题分析：（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得试题解析：：（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（2，0），从而有解得又所以故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有解得，另一方面，由直线OA与的距离，从而，由于，所以符合题意的直线不存在考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的综合问题21.设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若当时恒成立，求的取值范围．【答案】(1)f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2)a的取值范围为(－∞，].【解析】【分析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0可求的单调区间；(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2【详解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，综上可得a的取值范围为(－∞，]．【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.22.已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点直角坐标为，直线与曲线C的交点为，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定