高考数学理北师大版一轮复习训练6-1不等式的性质及一元二次不等式

核心考点·精准研析考点一比较大小与不等式的性质

1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 ()A.ab>0 B.bc<0C.ab>ac D.b(ac)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20222022,则ab(用“>,<”填空).

3.设m=QUOTE,n=QUOTE,则mn(用“>,<”填空).

【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.2.QUOTE=QUOTE=QUOTE<1,所以a<b.答案:<3.mn=QUOTEQUOTE=QUOTE<0,所以m<n.答案:<1.用同向不等式求差范围的技巧QUOTE⇒QUOTE⇒ad<xy<bc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.比较大小的三种常用方法(1)作差法:直接作差判断正负即可.(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.【秒杀绝招】1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=QUOTE解题.考点二一元二次不等式的解法

【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2x)<0的解集是 ()A.(2,+∞) B.(∞,2)C.(0,2) D.(∞,0)∪(2,+∞)2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是QUOTE∪QUOTE,则不等式cx22x+a≤0的解集是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.[2,3] D.[3,2]3.设a>1,则关于x的不等式(1a)(xa)QUOTE<0的解集是. 导学号

【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2x)<0,所以x(x2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集为(∞,0)∪(2,+∞).2.选C.不等式的解集是QUOTE∪QUOTE,所以QUOTE和QUOTE是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,由QUOTE,解得:a=12,c=2,故不等式cx22x+a≤0,即2x22x12≤0,即x2x6≤0,解得2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[2,3].3.因为a>1时,1a<0,且a>QUOTE,则关于x的不等式可化为(xa)QUOTE>0,解得x<QUOTE或x>a,所以不等式的解集为QUOTE∪(a,+∞).答案:QUOTE∪(a,+∞)1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集;若无根,则根据图像写解集.1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(4,1),则不等式b(x2+1)a(x+3)+c>0的解集为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪(1,+∞)D.(∞,1)∪QUOTE【解析】选B.因为不等式的解集为(4,1),则不等式对应方程的实数根为4和1,且a<0;由根与系数的关系知,QUOTE,所以QUOTE,所以不等式化为3a(x2+1)a(x+3)4a>0,化为3(x2+1)(x+3)4<0,即3x2x4<0,解得1<x<QUOTE,所以该不等式的解集为QUOTE.2.(2020·抚州模拟)设m=log0.30.6,n=QUOTElog20.6,则 ()A.mn>mn>m+n B.mn>m+n>mnC.mn>mn>m+n D.m+n>mn>mn【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=QUOTElog20.6<QUOTElog21=0,所以mn<0,mn>0,因为QUOTE=2log0.62=log0.60.25>0,QUOTE=log0.60.3>0,而log0.60.25>log0.60.3,所以QUOTE>QUOTE>0,即m+n>0,因为(mn)(m+n)=2n>0,所以mn>m+n,所以mn>m+n>mn.考点三一元二次不等式恒成立问题

命题精解读1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.学霸好方法1.恒成立问题的解题思路(1)利用等价条件直接求范围(2)分离参数后转化为最值问题(3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题2.交汇问题:与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.在R上的恒成立问题【典例】若关于x的不等式x2axa>0的解集为(∞,+∞),则实数a的取值范围为. 导学号

【解析】设f(x)=x2axa,则关于x的不等式x2axa>0的解集为(∞,+∞)⇔f(x)>0在(∞,+∞)上恒成立⇔Δ=(a)24×1×(a)=a2+4a<0,解得4<a<0.答案:(4,0)在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解.给定区间上的恒成立问题【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 导学号()A.(∞,3]∪[0,+∞) B.[3,+∞)C.[3,0] D.(∞,3]【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x,在[0,1]上恒成立,所以只需m≤(x24x)min,x∈[0,1],令f(x)=x24x=(x2)24,x∈[0,1],所以f(x)min=f(1)=3,所以m≤3.定区间上的恒成立问题如何解?提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.给定参数范围的恒成立问题【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 ()导学号A.[1,3] B.(∞,1]C.[3,+∞) D.(∞,1)∪(3,+∞)【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=1时,由x2+px>4x+p3,得p<4,故x=1不符合条件,排除A,B;当x=3时,由x2+px>4x+p3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;方法二:转换变元法:不等式变为QUOTEp+x24x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,所以QUOTE即QUOTE解得x<1或x>3.1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(mx)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 ()A.(3,2) B.(1,2)C.(2,2) D.(1,2)2.已知关于x的不等式x2x+a1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.

【解析】1.选A.由题意知,不等式(mx)※(m+x)<4化为(mx+1)(m+x)<4,即m2+m4<x2x;设f(x)=x2x,x∈[1,2],则f(x)的最大值是f(2)=42=2;令m2+m4<2,即m2+m6<0,解得3<m<2,所以实数m的取值范围是(3,2).2.关于x的不等式x2x+a1≥0在R上恒成立,所以二次函数的图像与x轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(1)24(a1)≤0,解得a≥QUOTE,所以a的取值范围为QUOTE.答案:QUOTE1.关于x的不等式x2ax+a+3≥0在区间[2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是.

【解析】由题得a≥QUOTE=(x1)+QUOTE+2因为2≤x≤0,所以3≤x1≤1,所以(x1)+QUOTE+2=QUOTE+2≤22QUOTE=2,当x=1时得