2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编三角函数解三角形基础题

20222023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、解三角形基础题一、多选题1．已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形【答案】ABD【分析】A，由，利用正弦定理化简得到求解判断；BCD，由，，利用余弦定理求解判断.【详解】A.因为，所以，则，解得，故正确；B.因为，，所以，即，则，所以是正三角形，所以，故正确；C.由B知：为等边三角形，故错误；D.由B知：为等边三角形，故正确.故选：ABD2．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（

）A．B．若有两解，则取值范围是C．若为锐角三角形，则取值范围是D．若为边上的中点，则的最大值为3【答案】ABD【分析】根据向量运算结合面积公式得到，A正确；根据，代入数据则可判断B正确；确定，计算，C错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，故，故，，所以，故A正确；对选项B：若△ABC有两解，则，即，则，故B正确；对选项C：为锐角三角形，则，，故，则，，故，故C错误；对选项D：若为边上的中点，则，故，又，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故，所以，故，正确；故选：ABD.3．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递增D．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数【答案】AD【分析】根据图象求出，得A正确；由以及正弦函数的性质可得B不正确；C错误；根据图象变换规律得D正确.【详解】由图可知，，所以，，由五点作图法可得，得，所以，故A正确；由以上知，，，所以函数的图象不关于直线对称，故B不正确；由，得，因为在上不单调，所以函数在上不单调，故C错误；，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数，故D正确.故选：AD4．的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（

）A．B．若，则为120°C．若，则为等腰直角三角形D．若，则是钝角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D.【详解】，故A正确；由余弦定理得，而，则，故B正确；若，即,展开整理得，∵，∴或，∴为直角三角形或等腰三角形，故C错误；若，由正弦定理得，由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确.故选：ABD.5．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是以为周期的周期函数B．在上单调递减C．的值域为D．存在两个不同的实数，使得为偶函数【答案】BD【分析】A选项，验证，得到A错误B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性求出答案；C选项，令，此时得到，换元后得到，由求出值域；D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的：且，且，验证后得到答案.【详解】，所以函数的周期不为，故选项A错误；时，，故，令，则，因为，所以，故，且t在单调递减，又，故，开口向下，对称轴为，故在单调递增，由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，B正确；令，若，，即，时，，两边平方得：，故，若，，即，时，此时，两边平方得：此时，综上：对于，均有，所以变形为，因为，所以当时，取得最大值，最大值为1，其中，，因为，故最小值为，综上：的值域为，C错；，则，假设为偶函数，则，即，只需且，由可得：，①，或②，其中由①得：，，不能对所有恒成立，舍去；由②得：，由可得：③，由③得：，故需要保证与同时成立，令，解得：且，令，解得：且，故，取，此时，此时令，解得：，符合要求，取，此时，此时令，解得：，舍去，取，此时，此时令，解得：，符合要求，综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数，，就是这两个实数，D正确．故选：BD．【点睛】三者的关系如下：，，，当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，，，则只有一解C．若，则D．若为锐角三角形，则【答案】ACD【分析】对于A、C：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D：根据题意结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得，则，因为，则，可得，即，所以为等腰三角形，故A正确；对于选项B：若，，，则，所以有两解，故B错误；对于选项C：若，有正弦定理可得，则，即，因为，则，可得，所以，故C正确；对于选项D：若为锐角三角形，则，可得，且，，则在上单调递增，所以，又因为，则，可得，所以，故D正确．故选：ACD.7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则是等腰三角形 D．若，则【答案】ABD【分析】对于A，由三角形的性质和正弦定理分析判断，对于B，利用正弦定理分析判断，对于C，利用余弦定理分析判断，对于D，由已知得，而，利用两角和的正切公式化简后代入可求得结果.【详解】对于A，因为，所以由三角形中大角对大边得，所以由正弦定理得，所以A正确，对于B，因为，所以由正弦定理得，所以，，所以，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以C错误，对于D，由，得，所以，因为，所以，化简得，所以或，因为，结合三角形内角性质，所以，所以为锐角，所以，所以D正确，故选：ABD8．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（

）A．1 B．C． D．【答案】AD【分析】利用正余弦定理即可求出结果.【详解】，，即，当时，即，因为，，所以，当时，，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，解得，所以或.故选：AD.9．已知函数，则下列结论中正确的有（

）A．函数解析式化简后为：B．的对称轴为，C．的对称中心为，D．的单调递增区间为，【答案】ABD【分析】根据题意利用三角恒等变换化简得，再结合三角函数性质逐项分析判断.【详解】因为，故A正确；令，解得，，所以的对称轴为，，故B正确；令，解得，，所以的对称中心为，，故C错误；令，解得，，所以的单调递增区间为，，故D正确；故选：ABD.10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（

）A．若，则A＝30°B．若A＞90°，则C．若，b＝4，B＝60°，则有两组解D．若，则是钝角三角形【答案】BD【分析】根据正、余弦定理结合三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，又因为，则或，故A错误；对于选项B：若A＞90°，则，因为，则，即，可得，即，故B正确；对于选项C：由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，所以有且仅有一组解，故C错误；对于选项D：若，有正弦定理可得，可得，且，所以为钝角，则是钝角三角形，故D正确；故选：BD.11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且、、，下面说法错误的是（

）A． B．是锐角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍 D．内切圆半径为【答案】BC【分析】根据题意，由正弦定理，可判定A正确；由余弦定理求得，可判定B错误；由，可判定C错误；由设内切圆的半径为，根据面积相等，求得的值，可判定D正确.【详解】因为中，，，，由正弦定理，可得，所以A正确；因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以为钝角，所以为钝角三角形，所以B不正确；由余弦定理可得，可得，所以C不正确；由，可得，可得的面积为，设内切圆的半径为，可得，解得，所以D正确.故选：BC.二、单选题12．记函数的最小正周期为，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，再利用函数的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值.【详解】对任意的，，则为函数的最大值或最小值，故函数的图象关于直线对称，故，解得，又因为且函数的最小正周期满足，即，解得，故.故选：D.13．在中，若，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理推出，结合推出，，可得答案.【详解】由以及正弦定理得，即，则，，，又，所以，，，即的形状为有一个内角为的直角三角形.故选：D.14．在中，，则（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】由余弦定理求出，再由余弦定理求出，根据三角形内角和可得答案.【详解】由余弦定理得，所以，得，得或，当时，，因为，所以，，当时，，因为，所以，，所以或.故选：C15．已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上皆有可能【答案】B【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.【详解】由及正弦定理，得,因为，所以,所以,即，，所以，则所以，所以为直角三角形.故选：B.16．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，所以.故选：C17．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，，则，设，则，且，在中，，则，在中，，则，又，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以，则，即，又，故当，时，.故选：A18．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，即，所以，则，所以.故选：D19．为了得到函数的图象，只需将函数的图象(

)A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.故选：D.20．已知，则（

）A． B． C．2 D．2【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由，得，解得.故选：B21．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．【详解】，，，则，．故选：D．22．的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】.故选：C23．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，则.故选：B.24．结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由及和角正切公式展开整理，即可得结果.【详解】由，所以.故选：B25．函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论错误的是（

）A．的解析式是B．函数的最小正周期是πC．函数的最大值是2D．函数的一个对称中心是【答案】A【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，即可判断ABC,由验证法即可代入求解D.【详解】由函数的最小值为可得，由图象可知，解得，再根据五点法作图可得，求得，故函数的解析式为，故A错误，BC正确，当时，代入中得，故是的对称中心，故D正确，故选：A26．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得.故选：C27．下列化简不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A选项，，所以A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项正确.D选项，，D选项错误.故选：D28．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，得，又，所以，所以为锐角，所以．故选：C．三、解答题29．已知函数的最小值为．(1)求函数的单调递减区间；(2)英国数学家泰勒（B．Taylor，16851731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：，）【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数，进而根据正弦函数的性质即可求解；（2）结合诱导公式化简，进而结合泰勒公式求解即可.【详解】（1），所以，即，所以，令，，即，，所以函数的单调递减区间，．（2）由（1）知，所以，由泰勒公式得：，所以．30．已知，其中，.(1)求的单调递增区间；(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【详解】（1）令，得，所以的单调增区间为，．（2）∵，∴，又，，∴，∴，∵，则由正弦定理得．∴.31．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)将的图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求在区间上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，由图像得，，解得，又，则，所以，因为点在的图像上，则，所以，，即，，而，则，所以．（2）依题意，，因，则，而函数在上单调递增，在上单调递减，因此有，故在上的值域为．32．已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求出和，可得；（2）根据求出，再根据角的范围可得结果.【详解】（1）因为，所以，化简得，因为，所以，所以，所以，，所以.（2）由（1）知，，所以所以，解得，因为，，所以，所以.33．已知函数．(1)求的最小正周期和对称中心；(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值．【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为.(2)【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；（2）由，为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的最大值.【详解】（1）.的最小正周期为，令，，得，，所以的对称中心为.（2）由，得，因为为锐角三角形，，所以，所以，.因为，，所以，同理得，所以，因为，且，所以，所以，所以当，即时，取得最大值为，从而取得最大值为.即周长的最大值为.34．用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：00200(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；(2)当时，求的值域.【答案】(1)表格见解析，(2)【分析】（1）根据表中数据结合“五点法”画图，求得，即可得答案；（2）结合角的范围，利用三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由题中数据可知，，从而，∴，且，∴，即，又，∴，∴，表中数据补充完整为：00200（2）∵，∴，∴，∴，即当时，的值域为.35．设.(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；(2)求函数在上的最大值.【答案】(1)非奇非偶函数，(2)【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，故，令，,由于不恒等于，也不等于，故为非奇非偶函数，其最小正周期为；（2）由题意可得，因为，所以，故，故的最大值为，即函数在上的最大值为.36．已知，.(1)求；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可解得的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值.【详解】（1）解：因为，由题意可得，解得.（2）解：因为，，则，又因为，所以，，故，所以，，因此，.37．已知函数的最大值为.(1)求实数的值和函数的对称中心；(2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据最大值求出，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）由题意，根据函数的图象变换规律，求得的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求得实数的取值范围．【详解】（1）由于函数，函数的最大值为2，，即．由，可得，的对称中心为（2）将图象上所有点向右平移个单位得，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得的图像．在上有两个不同的解转化为与在有两个不同的交点．如图为函数在上的图象，，故由图可得有，即，故的取值范围为．38．函数，其中，.(1)求函数的最小正周期；(2)若是三角形的内角，当时，求的集合.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据数量积公式，结合辅助角公式求得，再根据周期公式求解即可；（2）由，根据三角形内角范围，可得或，从而可得答案.【详解】（1）函数，，所以的最小正周期为：.（2），因为是三角形的内角，所以，所以或，即或，所以的集合为.39．已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由图可知，再结合周期公式可求出，由可求出的值，再由可求出的值，从而可求出的解析式；（2）由求出的范围，再利用正弦函数的性质可求出的取值范围．【详解】（1）由的部分图象可知，所以，所以，解得，因为的图象过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，解得，所以，（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.40．已知函数．(1)求的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在上的值域．【答案】(1)最小正周期为，对称轴为(2)【分析】（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到，由正弦型函数最小正周期、对称轴方程的求法直接求解即可；（2）利用整体代换法，结合正弦函数的性质可确定值域.【详解】（1），的最小正周期；令，解得：，的对称轴方程为.（2）当时，，，即在上的值域为.41．已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后根据两角的取值范围即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系得到，然后结合（1）的结论和两角和的正弦公式即可求解.【详解】（1），，，.（2）由，求得，.42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求△ABC的周长．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①D为线段AC的中点；②BD是∠ABC的平分线．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理解三角形即可；（2）由三角形的面积公式及余弦定理求解即可.【详解】（1）解：由正弦定理得：，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴．（2）若选①：因为，，，得，在中，由余弦定理得：，即，联立，可得：，所以.∴周长为．若选②：由BD平分∠ABC得，，∴，即．在中，由余弦定理得：，又，∴，联立得，解得：，（舍去），所以.∴周长为．43．已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间.【答案】(1)，对称中心为，(2)【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.【详解】（1）根据函数的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，，，故有．根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，.（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，即，令，，解得，，可得的减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．44．第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE（如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED为赛道，已知，，，，_____