专题导数同构法讲义-高三数学二轮复习

同构专题知识梳理1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题2.当遇到幂函数乘以或常数乘以时我们可以用对数恒等式变换，这时搭配、就能找到同构。这种同构就称为朗博同构。常用的方法有：、、、、3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：x=elnx(x>0)，①xex=②xex=③x2ex④exx2有时也需要对两边同时加、乘某式等.4.与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.精选例题习题题型：构造1.已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】设，显然是增函数，不等式变形为，即，所以．所以，令，则，当时，，单调递增，时，，递减，所以，不等式恒成立，则．即的最小值是．故选：A．2.已知函数，若，则的取值范围是.【答案】【解析】由移项得：（说明：将变量移至一边的原则进行变形）即，两边同时加（x－1）得（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）即设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.3.已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】∵∴两边加上得设，则其单增∴，即令，则∵的定义域是∴当时，，单增；当时，，单减∴当时，取得极大值即为最大值，且∴，∴即为所求.题型：构造1.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.2.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）.【答案】【解析】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.题型：构造1.设a，b都是正数，若aea+1+bA.ab＞e；B.b＞ea+1；C.ab＜e；D.b＜ea+1.【答案】B【解析】由已知aea+1+b为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得ae为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得a故ea设fx=∵a＞0，∴e∵blnb−1＞0，b＞0当x＞1时，f'∴ea＜be，即ea+12．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】不等式，在恒成立，即在恒成立，设，则，因为，令，解得，所以当，，单调递减，当时，，单调递增，因为当时，恒成立，所以恒成立，所以，设，则，当时，，单调递减，所以所以，即的取值范围为.故答案为：题型：构造1.已知函数（），若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是.A．；B．；C．；D．.【答案】A【解析】，即两边同时除以得两边同时除以得，即设函数，易得在单增所以，易知，故设，易得所以，故，选A.2.6.（2022·江苏天一中学）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．【答案】（，）【解析】关于的不等式在上恒成立，则，设，∴∵，∴在上单调递增，∴即，设，∴，令，得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，∴，∴故答案为：（，）.题型：构造f(x)=x1．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．【答案】【解析】，∴，构造函数，显然在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立，．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．2．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________.【答案】【解析】不等式可变形为.因为且，所以.令，则.所以函数在上单调递增.不等式等价于，所以.因为，所以.设，则.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，所以.故正实数的取值范围是.题型：其它构造1.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，构造函数，则，，当时，，当时，，所以在上单调递增，得，，在上恒成立，设，，当时，，单调增，当时，，单调减，，所以故选:A.2.（2022年10月浙江十校联考16）若对任意都有（其中为自然对数的底数）恒成立,则实数的最小值为为________________.【答案】【解析】可变形为,令,则原不等式变形为：恒成立单调递增,即有恒成立对两边取对数得,即恒成立令,由知时单调递增；时单调递减,故,所以.故填：题型：多种不同的构造法1.设实数λ>0，若对任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx−lnx【答案】[【解析】方法一：由eλx−lnxλ≥0得e设f(t)=tet，则又f'∴当t<−1时，f'(t)<0，f(t)单调递减；当t>−1时，①当x≥1e时，t1=λx>0，t2即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx对任意的x∈(0，+∞)设gx=lnxx，x>0，则g'x=1−lnxx2，则当0<x<e②当0<x<1e时，由f0=0⋅e0=0，结合函数f(t)综上可得λ≥1e，∴实数λ的取值范围是方法二：由eλx−lnxλ≥0得e当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0只需考虑x>1的情形，亦即λ设f(t)=tet(t>0)，则ft由fλx≥flnx得，λ设ggxmax=ge方法三：由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnx当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0只需考虑x>1的情形，亦即e设f(t)=tlnt(t>1)，则f'ft由feλx≥fx得，e设ggxmax=ge方法四：由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnx当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0只需考虑x>1的情形，得λ设ft=t+lnt(t>1)，则ft由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即设ggxmax=ge2.对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是