18.2.3　正方形 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形(第一课时）人教版数学八年级下册平行四边形复习反思，引发思考一般特殊以平行四边形为例，你能说一说如何研究一个几何图形吗？菱形矩形平行四边形性质定义边判定边角对角线角对角线通过平行四边形边、角的特殊化，得到了特殊的平行四边形.你能说说矩形、菱形与平行四边形有什么关系吗？

有一个角是直角有一组邻边相等两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形有一个角是直角两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形有一组邻边相等活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.经验类比，得到定义正方形经验类比，得到定义活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.想一想：满足什么条件的矩形是正方形？经验类比，得到定义正方形活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.有一组邻边相等的矩形是正方形.活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.想一想：满足什么条件的菱形是正方形？活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.有一个角是直角的菱形是正方形.有一个角是直角两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等正方形的定义有一组邻边相等的矩形是正方形.

有一个角是直角的菱形是正方形.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形既是矩形，又是菱形.它具有矩形的性质，又有菱形的性质.BCADO你得到了哪些性质？理性思考，获得定理边角对角线猜想1

正方形的四条边都相等.四条边都相等性质1

正方形的四条边都相等.ABCD∵

四边形ABCD是正方形，∴

AB=BC=CD=DA.猜想2

正方形的四个角都是直角.四个角都是直角性质2

正方形的四个角都是直角.ABCD∵

四边形ABCD是正方形，∴

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.猜想：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.BCADO正方形菱形矩形AC=BDAC⊥BDAO=CO，BO=DOAO=BO=CO=DO证明：∵正方形ABCD是矩形，∴

AC=BD.

∵正方形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO，BO=DO.∴

AO=BO=CO=DO.∵

正方形ABCD是菱形，∴

AC⊥BD.BCADO性质3

正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.∵四边形ABCD是正方形，∴

AC=BD，AC⊥BD，

AO=BO=CO=DO.BCADO正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？对称性BCADO正方形边角对角线矩形四个角都是直角对角线相等菱形四条边都相等对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的四条边都相等.正方形的四个角都是直角.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.正方形的性质用定义判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.矩形菱形正方形有一组邻边相等有一个角是直角矩形正方形边角对角线？有一组邻边相等猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.BCADOBCADOAC⊥BDOB=OD四边形ABCD是正方形四边形ABCD是矩形AB=ADBCADO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴

BO=DO.∵

AC⊥BD，∴

AB=AD.∴

四边形ABCD是正方形.判定

对角线互相垂直的矩形是正方形.∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.BCADO矩形有一组邻边相等对角线互相垂直正方形猜想：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.BCADOBCADOAC=BD四边形ABCD是正方形四边形ABCD是菱形四个等腰直角三角形有一个角是直角AO=CO，BO=DO，AC⊥BD证明：∵

四边形ABCD是菱形，∴

AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.∵

AC=BD，∴

AO=BO=CO=DO.∴

△AOD，△AOB是等腰直角三角形.∴

∠BAO=∠DAO=45°.∴

∠DAB=90°.∴四边形ABCD是正方形.BCADO判定

对角线相等的菱形是正方形.∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.BCADO有一个角是直角对角线相等菱形正方形正方形的判定平行四边形先判定矩形再判定菱形先判定菱形再判定矩形正方形例如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD=∠EDA=15°.

运用定理，解决问题BAECD

BAECD正方形∠EAD，∠EDA等边三角形三条边都相等三个角都是60°四条边都相等四个角都是直角∠BAE，∠CDE

证明：∵

△BEC是等边三角形，∴

BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°.∵

四边形ABCD是正方形，∴

AB=BC=CD，

∠ABC=∠BCD=∠DAB=90°.∴

AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°.∴

△ABE，△DCE是等腰三角形.BAECD∴

∠BAE=∠BEA=75°.∴

∠EAD=∠DAB－∠BAE=15°.同理∠EDA=15°.∴

∠EAD=∠EDA=15°.BAECD例题小结正方形应用正方形的性质解决角度问题挖掘隐含条件例

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB且交AB于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.BCAFEDBCAFE直角DE⊥BCDF⊥AC四边形CEDF是正方形矩形对角线互相垂直有一组邻边相等DBCAFE在判定四边形CEDF是矩形后，证明对角线互相垂直.角的平分线∠CGE=90°45°123对角线相等且互相平分DG证明：∵

CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴

DE=DF，∠DFC=∠DEC=90

°.又

∠ACB=90°，∴

四边形CEDF是矩形.又

DE=DF，∴

四边形CEDF是正方形.BCAFED例题小结正方形有一组邻边相等对角线互相垂直有一个角是直角对角线相等平行四边形矩形菱形

练习如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为

.

课堂练习，加深认识CABDE12正方形的面积正方形的边长正方形的性质∠B=90°勾股定理CABDE正方形的性质边长及面积CABDE

练习如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为

.

3

练习判断下列说法是否正确.（1）正方形一定是矩形. (

)（2）四条边都相等的四边形是正方形. (

)（3）有一个角是直角的平行四边形是正方形. (

)（4）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方

形.()（5）两条对角线相等的菱形是正方形. (

)√××

练习判断下列说法是否正确.（1）正方形一定是矩形. (

)（2）四条边都相等的四边形是正方形. (

)（3）有一个角是直角的平行四边形是正方形. (

)√平行四边形矩形菱形（4）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.()√平行四边形矩形（5）两条对角线相等的菱形是正方形. (

)正方形平行四边形矩形菱形ACBDFEMN练习如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.求证：四边形EFMN是正方形.

ACBDFEMN正方形ABCD全等三角形AE=BF=CM=DN四个角都是直角，四条边都相等菱形EFMNACBDFEMN四边形EFMN是正方形菱形EFMN∠ANE=∠BEF有一个角是直角∠NEF=90°证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.ACBDFEMN∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF.∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠AEN+∠BEF=90°.∴

∠NEF=180°－∠AEN－∠BEF=90°.∴四边形EFMN是菱形.∴四边形EFMN是正方形.ACBDFEMN定义归纳总结，提升认识判定先证明矩形再证明菱形先证明菱形再证明矩形正方形性质边角对角线平行四边形一般特殊矩形菱形正方形课后作业如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（）.

（A）10°

（B）15°

（C）20°

（D）125°ABEDC2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的矩形；

（3）对角线相等的菱形；

（4）对角线互相垂直平分相等的四边形.3.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？ACBDE第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形(第二课时）人教版数学八年级下册定义复习引入，回顾知识正方形有一组邻边相等的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形的定义定义类比正方形性质边角对角线正方形的四条边都相等.正方形的四个角都是直角.正方形的对角线相等,并且互相垂直平分.正方形的性质定义判定类比正方形性质边角对角线正方形的判定平行四边形先判定矩形再判定菱形先判定菱形再判定矩形正方形平行四边形一般特殊矩形菱形正方形四边形平行四边形矩形正方形菱形

综合运用，解决问题图中共有多少个等腰直角三角形？BCADO练习如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.分析：BCADOOA=OB=OC=OD，AC⊥BD△AOB，△BOC，△COD，△DOA

BCADO分析：AB=BC=CD=DA，

∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°

△ABC，△BCD，△CDA，△DAB

BCADO△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB解：图中一共有8个等腰直角三角形.△AOB，△BOC，△COD，△DOA△ABC，△BCD，△CDA，△DAB全等三角形45°等腰直角三角形全等三角形特殊的角度小结

BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为

.（2）△AOB的面积为

.练习

BCADO2等腰直角三角形正方形ABC22分析：

BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为

.（2）△AOB的面积为

.

BCADO2全等三角形正方形方法1

BCADO2等腰直角三角形正方形方法222ABCO

BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为

.（2）△AOB的面积为

.1小结等腰直角三角形勾股定理线段的长小结等腰直角三角形勾股定理线段的长例

如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEG猜想CE=BF，CE⊥BF.例

如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEGCE与BF的关系分析：△BCE≌△ABF例

如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEGCE与BF的关系△BCE≌△ABF四边形ABCD是正方形分析：解：CE=BF，CE⊥BF.证明：∵

四边形ABCD是正方形，∴

∠ABC=∠A=90°，BC=AB.又BE=AF，∴

△BCE≌△ABF.∴

CE=BF，∠1=∠2.12ABCDFEG∵

∠1+∠3=90°，∴

∠2+∠3=90°.

∴

∠BGC=90°.

∴

CE⊥BF.123ABCDFEG正方形的性质全等三角形线段的关系ABCDFEG对应边相等对应角相等ABCDFEG小结正方形的性质全等三角形线段的关系ABCDFEG对应边相等对应角相等ABCDFEG小结MNABCDEG如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.ABCDFEGF变式1

MNABCDEG变式1

如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.CE=BFCE=MNBF=MN分析：F△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质MNABCDEG变式1

如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.分析：FCE=BFCE=MNBF=MN△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质Q213∠1=∠3MNABCDEG变式1

如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.分析：FCE=BFCE=MNBF=MN△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质Q213∠1=∠3▱BMNFMNABCDEGP12∠B=∠MPN=90°∠1=∠MCG分析：BC=PN△BCE≌△PNM∠B=∠MPN=90°∠1=∠MCG分析：MNABCDEGP12证明：

过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.∴∠FQC=90°.∴∠1+∠2=90°.∵

CE⊥MN，∴∠NGC=90°.∴∠NGC=∠FQC.∴BF∥MN.MNABCDEGFQ213∵

四边形ABCD是正方形，∴

BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.∴

∠2+∠3=90°.∴

∠1=∠3.∴

△BCE≌△ABF.∴

CE=BF.MNABCDEGFQ213MNABCDEGFQ213∵

BF∥MN，AD∥BC，∴

四边形BMNF是平行四边形.∴

BF=MN.∴

CE=MN.在正方形ABCD中CE⊥MNCE=MN小结MNABCDEGF添加辅助线PMNABCDEG如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.ABCDFEGHABCDEF分析：变式2

变式2

如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.HABCDEF分析：CE=BFCE=CH△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质∠BCE=∠ABF变式2

如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.HABCDEF分析：CE=CHBF=CH▱BCHFCE=BF△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质∠BCE=∠ABF证明：

过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.∴∠FQC=90°.∴∠BCE+∠FBC=90°.∵

CE⊥CH，∴∠HCE=90°.∴∠HCE+∠FQC=180°.∴BF∥CH.QHABCDEF∵

四边形ABCD是正方形，∴

BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.∴

∠ABF+∠FBC=90°.∴

∠BCE=∠ABF.∴

△BCE≌△ABF.∴

CE=BF.QHABCDEF∵

BF∥CH，AD∥BC，∴

四边形BCHF是平行四边形.∴

BF=CH.∴

CE=CH.QHABCDEF在正方形ABCD外部CE⊥CHCE=CH小结HABCDEF例题小结ABCDFEFABCDFEMNABCDEH图形的运动过程线段的位置关系添加辅助线构造图形例

如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.BCDOxyB，C两点的坐标线段OB，BC分析：所在象限确定符号正方形性质OB=OD四条边相等点B的横