山东2024届高三12月全省大联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东2024届高三12月全省大联考数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合中函数成立，只需，得一元二次不等式的解集为，所以.故选：B.2.复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因，故在第一象限.故选：A．3.若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗不等式等价于，两边平方可得：，即，其中当且仅当与的夹角为钝角或与的方向相反，由于点不共线，所以当且仅当与的夹角为钝角，故选：B.4.地震级别常用里氏级表示，它与地震强度满足的关系为.如中国汶川2008年地震是8.0级，中国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的（）倍（参考数值）A.3 B.6 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗设中国汶川2008年地震强度为，中国玉树2010年地震强度为；即可得，两式相减可得，可得，所以，因此2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的8倍.故选：C5.调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为，它的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，，解得，则在内有两个零点，故排除选项A，D，又不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C，故选：B.6.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.所以.所以.故选：D7.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗双曲线的渐近线，右焦点，依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，则有，在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.故选：D8.已知函数,,对任意,存在,使成立,则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意,令则所以故令则令得所以当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,有最小值,即的最小值为.故选：C.二、选择题9.已知，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对A：由，得，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对B：，当且仅当时取等号，故B正确；对C：由，得，所以，因为，所以，故C错误；对D：，令，得，解得，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于对称B.函数在的值域为C.函数在单调递减D.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位〖答案〗BCD〖解析〗由题中图可知，，得，所以，所以，当时，，即，所以，，因为，所以，所以函数.对A：，故A错误；对B：当时，，所以，故B正确；对C：当时，，此时单调递减，故C正确；对D：将函数的图象向左平移个单位，则得到的新的函数〖解析〗式为故D正确.故选：BCD11.如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的位置，则下列结论正确的是（）A.无论点在何位置，总有B.点存在两个位置，使得成立C.当时，边旋转所形成的曲面的面积为D.当时，为上一点，则的最小值为〖答案〗AC〖解析〗选项A，设菱形对角线的交点为，如上图所示，无论点在何位置，总有，，因为，，平面，平面，，所以平面；又因为平面，且平面，所以成立，选项A正确；选项B，点旋转到使得平面平面成立时，取得最大值，其中，使得成立，只有平面平面成立时的一个点，选项B错误；选项C，由于，当时，，边旋转所形成的曲面是“以为顶点，以为半径的圆锥”的表面的，其面积为，C正确；选项D，当时，易得都为正三角形，取最小值时，点为中点，的最小值为，D不正确；故选：AC.12.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（）A.的周期为4 B.C D.〖答案〗ABD〖解析〗对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；所以所以①，而②，将两式相加得：，则③，所以，所以是的一个周期，故A正确；对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，得，由②得，则，所以，所以，故D正确；由①令，得，，由，，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；由④令，得，所以，所以，故C错误；故选：ABD.三、填空题13.已知函数，则______.〖答案〗〖解析〗由题意得，所以.故〖答案〗为：.14.已知圆上的点关于直线的对称点仍然在这个圆上，且圆的圆心在轴上，则圆的标准方程是___________.〖答案〗〖解析〗由题意可知直线过圆心，且直线与x轴的交点为，则，可得，所以圆的标准方程是.故〖答案〗为：.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上，由题意该四棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为，则，，，所以，设外接球的半径为，，则，则，解得，，所以该米斗的外接球的体积为，故〖答案〗为：.16.已知数列满足，，数列的前项和为，设，表示不大于的最大整数.则______.〖答案〗1〖解析〗因为，则，即，可得，即；又因为，则，且，则，可得，所以数列为递增数列；且，，，即，则，可得，所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知最小正周期为.（1）求的值；（2）在中内角，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，求c的值.解：（1）由函数的最小正周期为，即，得，，.（2）由得，，角B为三角形的内角，.，，，由余弦定理，得，即，.18.已知数列是等差数列，其前和为，，，数列的前项和为满足.（1）求数列，的通项公式；（2）把数列和数列中的相同项按从小到大的顺序组成新数列，是数列的前项和，求.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，，可得.因为①所以当时②①－②可得，当时，.所以数列是以1为首项，为公比等比数列.所以即，（2）由（1）可知，数列和数列的相同项即为数列的所有大于等于3的奇数项，即是，，，，，，…，即，可知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.19.设函数（1）当时，求曲线在处的切线方程.（2）讨论函数在区间上零点的个数.解：（1）因为，所以，则，所以，切线方程为即（2）由（1）知，.①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点.②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点.③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，所以在区间上单调递减，在上单调递增，而.当，即时，在区间上有两个零点.当，即时，在区间上有一个零点.综上可知，当或时，在上有一个零点，当时，在区间上有两个零点.20.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接交于M，，，，，，，又平面，平面，平面．（2）解：设线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，即与平面所成角的正弦值为，设，取中点O，连接，，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，∵，，以O为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则令，则，∴平面的一个法向量为，又，，又，，设与平面所成角，则，整理得，解得或，当时，，当时，故在线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，或21.已知圆，点P是圆C上的动点，点是圆C内一点，线段的垂直平分线交于点Q，当点P在圆C上运动时点Q的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）设M，N是曲线E上的两点，直线与曲线相切.证明：当时，三点共线.（1）解：由，得，故，半径由题意知，如下图所示：对Q的轨迹是以C、F为焦点的椭圆.设椭圆方程为，则，，所以椭圆方程为；（2）证明：由（1）得曲线为，表示右半圆，即为图中虚线圆的右半部分（不包括和轴交点）；由题意可知直线的斜率存在且不为0，由对称性可设直线，，如下图所示：由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，，所以，，可得，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，即可得三点共线.22已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若有两个极值点，求证：.（