辽宁省朝阳市建平县2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省朝阳市建平县2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，.故选：B2.已知直线与直线平行，则实数（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由两直线平行，得，解得.当时，直线与直线平行，故.故选：B.3.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为（）A.9 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由是上一点，得：，解得，所以．故选:D.4.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切〖答案〗D〖解析〗圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，因为，所以圆与圆内切.故选：D5.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，偶函数在区间上单调递增，则由得，即或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：A6.已知空间向量,若共面，则实数的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因为共面，所以存在实数对,使得,即，所以解得故选：D．7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为.由题意可知，代入双曲线方程，得，所以该塔筒的高为.故选:C.8.如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知的内切圆的半径为，又，所以的面积，因为，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线〖答案〗ABC〖解析〗当时，，方程可以化简为，曲线是圆；当，且时，或，曲线是椭圆；当时，或，曲线是双曲线．故选:ABC．10.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C正确；D：，故D错误．故选：BC.11.已知将函数的图象向右平移个单位长度，然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的最大值是B.函数在上单调递增C.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D.若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则〖答案〗BC〖解析〗函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）,得到，再向上平移1个单位长度，得到，A选项，最大值为，A选项错误.B选项，若，则，所以函数在上单调递增，B选项正确.C选项，函数的图象向右平移个单位长度，得到，C选项正确.D选项，若，则，若，由，所以，所以，解唯一，所以D选项错误.故选：BC12.如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.平面C.异面直线和所成角的余弦值为D.若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值〖答案〗ACD〖解析〗连接，由于分别是的中点，所以，根据长方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，则，由于平面，平面，所以平面，所以A选项正确.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，所以与不垂直，则与平面不垂直，B选项错误.，设直线与所成角为，则，C选项正确.，设平面的法向量为，则，故可设，由于，所以直线与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，D选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z满足，则____.〖答案〗〖解析〗依题意，，所以.故〖答案〗为：14.已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为________．〖答案〗5〖解析〗过作准线的垂线，垂足为，则，显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为．故〖答案〗为：15.在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗依题意，由于三点共线，所以，而，由于点是边上的动点（点异于，），所以，则，所以为正数，所以，当且仅当时等号成立.故〖答案〗：16.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，由轴，可知轴，所以可设，又在渐近线上，所以，所以，因为的离心率的取值范围是，所以，又，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求值；（2）若，求的面积.解：（1）依题意，，，由正弦定理得.（2）若，则，由余弦定理得，，解得，所以.18.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合．（1）求抛物线的标准方程；（2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．解：（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为，由可得，，所以，解得，所以双曲线的右焦点为，所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为，所以，即，所以抛物线的标准方程为；（2）由，得双曲线的右顶点为，因为直线过点且斜率为2，所以直线方程为，设，，联立直线与拋物线的方程，消去，得，所以，，所以．19.2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成，，，，，六组，并制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从，中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在的概率.解：（1）依题意，，解得，平均数为.（2）的频率为，的频率为，所以从中抽取人，记为，在中抽取人，记为，从中任选人，基本事件有：，，共种，其中接受采访的2人中有人成绩在的有，共种，所以接受采访的2人中有人成绩在的概率为.20.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.21.已知圆．（1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程；（2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值．解：（1）圆：，圆心的坐标为，半径．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到的距离，与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，解得，所以直线的方程为．综上所述：直线的方程为或．（2）圆心到直线的距离，所以，因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离，所以的面积，当且，在圆心的两侧时，等号成立，所以的面积的最大值为．22.