江苏省徐州市沛县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省徐州市沛县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设等差数列的公差为，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，解得.故选：B.2.函数在上的平均变化率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得平均变化率为，故选：C.3.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（）A.7 B.12 C.15 D.31〖答案〗C〖解析〗设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C4.已知P，Q为曲线上的两点，线段的中点为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗设，则，两式相减得，所以．此时直线方程为，，代入双曲线方程有：，整理得，，直线与双曲线相交于两点，又，是中点，满足题意．故选：C．5.已知函数在处的导数为1，则（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因为函数在处的导数为1，则故选：B.6.已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗观察可知，该数列的一个通项公式为.故选：D.7.设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C.2022 D.2023〖答案〗A〖解析〗设等差数列的首项为，公差为，则，即，由，则，即，由，则，即，将代入，解得，.故选：A.8.按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟，2023年12月1日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（）A.2023年12月21日 B.2023年12月20日C.2023年12月19日 D.2023年12月18日〖答案〗B〖解析〗根据题意，他每天阅读的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为，则由，且，解得，所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年12月20日.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.数列的前n项和为，已知，则（）A.是递增数列B.C.当时，D.当或4时，取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗A选项，当时，，又，所以，因为，则是递减数列，故A错误；B选项，由可得，故B正确；C选项，令，解得，故C正确；D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确.故选：BCD10.已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（）A.在区间上的平均变化率最小B.在区间上的平均变化率大于0C.在区间上的平均变化率比上的大D.在区间上的平均变化率最大〖答案〗BC〖解析〗函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间，，上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.故选：BC11.已知抛物线C：的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条C.的最小值为D.抛物线C：通径为4〖答案〗AD〖解析〗由抛物线知，，焦点为，对于A，因为，所以，所以，正确；对于B，当过点的直线斜率不存在时，即直线为y轴时，满足直线与抛物线有唯一公共点；当过点的直线斜率为0时，直线为，满足直线与抛物线有唯一公共点；当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线为，联立，得，由题意，解得，所以过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条，错误；对于C，，当且仅当三点共线时，等号成立，错误；对于D，联立，得，所以通径两端点坐标为，所以抛物线C：通径为4，正确.故选：AD12.已知数列的前项和为，，且，则下列说法中正确的是（）A. B.C.是等比数列 D.是等比数列〖答案〗ABD〖解析〗数列的前项和为，，且，则，即，解得，A正确；由，得当时，，两式相减得，即，，显然不满足上式，因此，数列不是等比数列，C错误；显然，B正确；因为，，则，于是是等比数列，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13.在等比数列中，若，，则___________.〖答案〗32〖解析〗设公比为，即，即，得，所以.故〖答案〗为：32.14.若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______.〖答案〗〖解析〗双曲线（）的渐近线方程为，直线斜率为，由一条渐近线与直线垂直得，解得，所以离心率为.故〖答案〗为：15.已知曲线一条切线的斜率是，则切点的坐标为________．〖答案〗〖解析〗设切点坐标为，根据导数几何意义可知，，得，所以切点坐标为.故〖答案〗为：16.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形.也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.现按照这种思想，以一个内角为、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续.则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为_____________；第代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为___________.〖答案〗①.12②.〖解析〗设表示第代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和，则，第2代“类勾股树”在第1代的最上面的每个正方形上各增加两个小正方形，由勾股定理知，增加的两个小正方形的面积之和恰好等于原来的正方形面积，即，则，依次类推，是以8为首项，4为公差的等差数列，所以.故〖答案〗为：12；.四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.设数列是等差数列，记其前n项和为．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．条件①：，；条件②：，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）选条件①，设等差数列的公差为，由，，得，解得，因此，所以数列的通项公式是.选条件②，由，得等差数列的公差，由，得，所以数列的通项公式是.（2）选条件①，由（1）知，，则，显然数列是等比数列，首项、公比均为4，所以数列的前n项和.选条件②，由（1）知，，，显然数列是等比数列，首项为4，公比为2，所以数列的前n项和.18.已知函数（1）写出；（2）求出；（3）求出；（4）写出，，解：（1）；（2）；（3）；（4）由（2）知，则，.19.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）在等差数列中，，则，解得，设数列的公差为d，于是，又，则，而公差d不为零，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，由不等式，得，整理得，解得或，又n为正整数，所以n的最小值为9．20.设数列的前n项和为，且，，数列满足，点在直线上，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）因为，故，故，而，故，且恒成立，故，其中，故为等比数列，故.，即，故为等差数列，故.（2），，故，故，整理得到.21.已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.解：（1）由焦点为得，又离心率，得到，所以