江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期1月学业质量调研数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期1月学业质量调研数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗全集，由，得，又，所以.故选：C.2.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，∵函数的图象过点，∴，则，∴，∴，∴且，即，则函数的定义域为.故选：D.3.“实数”是“函数在上具有单调性”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，则在上单调递增，即其在上具有单调性，则正向可以推出；若函数在上具有单调性，则对称轴，解得，则反向无法推出；故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.故选：A.4.某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：折纸次数纸张厚度参照物22321米苏州东方之门的高度约为301.8米2710281米珠穆朗玛峰的高度约为8844米382.1万公里地球直径约为1.3万公里已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.A.41 B.43 C.45 D.47〖答案〗B〖解析〗设，则由题意(万公里)，设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，则，因为，函数在上单调递增，所以，所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.故选：B.5.已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗设扇形的弧长为，半径为，则且，解得，则该扇形的圆心角的弧度数为.故选：D.6.已知，其中为第一象限角，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗等式，两边同除得或，因为为第一象限角，则，所以.故选：B.7.已知为偶函数，对任意实数都有，当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象恰有6个交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于为偶函数，也是偶函数，则只需要的图象与函数在上恰好有3个交点，则，根据可得的周期为2，作出函数图象如下：的图象与在上恰好有3个交点，则，同时满足且，故.故选：A.8.已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（）A. B.4 C. D.8〖答案〗C〖解析〗因为函数的图象过点，所以，因为，所以，所以，当时，，因为在区间上具有单调性，所以，即且，则，因为，得，因为，所以时，，则；当时，，综上，，即的最大值为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.当时，的值域为B.当时，的值域为C.当时，在上单调递增D.当时，在上单调递增〖答案〗BD〖解析〗当时，，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，当时，，当且仅当时等号成立，因为为奇函数，则当时，，作出对勾函数的图象如图所示：则其值域为，故A错误；取，，则，则C错误；当当时，，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，当时，因为均单调递增，则单调递增，故D正确；当且时，；当时，，结合其奇偶性作出函数图象：则当时，的值域为，故B正确.故选：BD.10.下列关系式成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，，所以，A正确；对于B，因为，所以，B错误；对于C，因为均大于0，所以，C正确；对于D，根据诱导公式，所以，D错误．故选：AC．11.已知，，且，则（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为当且仅当时取等号，所以，A正确；对于B，取则，B错误；对于C，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，因为所以，D正确．故选：ACD.12.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，，故A正确；，，由于，，故，，所以，故，故BC错误，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是__________________.〖答案〗，〖解析〗∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”.故〖答案〗为：，.14.写出满足条件“存在，使得”的一个实数的值为__________.〖答案〗0（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，则原条件为“存在，使得”，当时，，满足题意；故〖答案〗为：0（〖答案〗不唯一）.15.已知正数，满足，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗由正数，满足，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.16.已知不等式（，）对恒成立，则_________.〖答案〗〖解析〗时，令得，故，令得，故，要想对恒成立，显然不恒成立，其中，则当时，，此时，当时，，此时，由于，故，解得，此时，满足要求.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为，所以，所以，即，当时，，所以.（2）因为，所以，又因为，所以，解得，即的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中.（1）求的值；（2）若为第二象限角，求的值.解：（1）因为,,所以，当时，；当时，，综上，时，；时，.（2）因为为第二象限角，所以，则，所以19.已知函数（，）的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的图象的所有对称轴方程；（2）若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求，的单调递减区间.解：（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，即，由，解得，因为的图象过点，所以，又因为，所以，即，所以，令，得，即图象的对称轴方程为.（2）由题意得，令，得，令，得和，所以的单调递减区间为.20.已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.（1）求的值，并证明为奇函数；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得，可得，则，其定义域为，又由，所以函数为上的奇函数.（2）由，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，因为对恒成立，所以，即，所以实数的取值范围为.21.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.（1）若，求的周长；（2）若，求的面积.解：（1）因为直线与圆相切，所以，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，因为，且，所以，又因为为锐角，所以，所以的周长为.（2）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以的面积.22.已知函数，其中.（1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；（2）证明：当时，；（3）若函数有三个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，其定义域为，且，所以函数为偶函数；当时，函数，可得且，所以函数既不是奇函数又不是偶函数.（2）由函数，可得，当时，因为，，所以；当时，；当时，，综上可得，当时，.（3）设