江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一上学期12月学情调研数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一上学期12月学情调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故.故选：B.2.已知角，那么的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，其中，故的终边在第三象限.故选：C.3.“”是“”的（）．A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，可得或，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.4.已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗设扇形半径为，圆心角为，则，解得.故选：B.5.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题，令，则，，所以.故选：A.7.已知幂函数在上单调递减，设，，则大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得或0，当时，，此时在上单调递减，满足要求，当时，，此时在上单调递增，不合要求，故，定义域为，且，故为偶函数，，，，，其中，由于，故，即.故选：C.8.若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（）A.在上单调递增B.C.当时，的解集为D.当时，〖答案〗D〖解析〗由是定义在上的奇函数得，由是偶函数得，即关于对称，结合是奇函数可得关于对称，∴，∴，∴函数的周期为8，当时，，则在（1个周期）的图象如图所示：对A，由图易得，在上单调递减，A错；对B，由函数的奇偶性、对称性和周期性可得，B错；对C，由图以及函数关于对称可知，满足，故C错误；对D，当时，，因为函数关于对称，所以，D对.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设正实数a，b满足，则（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.〖答案〗ACD〖解析〗A选项，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，即最大值为，B错误；C选项，，由B选项得，，故，故，当且仅当时，等号成立，有最大值，C正确；D选项，因为，所以，其中，故，当时，等号成立，故，D正确.故选：ACD.10.下列正确的是（）A.为锐角，B.为锐角，C.若，则D.若，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对A，为锐角，则在第一象限，则，A正确；对B，若，则在第一象限，则，B正确；对C，，C错误；对D，，则，同理，则，解得，D正确故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.当时，不等式恒成立，则的取值范围是C.函数在区间单调递增D.若函数的值域为，则实数的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，当时，恒成立，满足要求，当时，需满足，解得，综上，的取值范围是，B错误；C选项，令，解得，由于在上单调递减，故的单调递减区间即为所求，其中对称轴为，开口向下，故在区间上单调递增，C错误；D选项，若函数的值域为，则能够取到所有正数，当时，能够取到所有正数，满足要求，当时，需满足，解得，综上，实数的取值范围是，D正确.故选：AD.12.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A.B.C.若，则D.若，则〖答案〗BC〖解析〗A项，角终边经过点，则角终边经过点，所以，所以A项错误；B项，因为，，所以，因为，，所以，所以，所以B项正确；C项，因为，由三角函数定义可知，，所以，由解得，，所以，所以C项正确；D项，因为，所以，由解得，，所以，所以，所以D项错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”的否定是_______________.〖答案〗，〖解析〗命题“，”的否定是：，.故〖答案〗为：，.14.已知函数，则的值为______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，，所以，.故〖答案〗为：.15.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，若经过3分钟后物体的温度为，则经过6分钟后物体的温度为_________.〖答案〗〖解析〗由题知，3分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，所以，将代入可得.故〖答案〗为：.16.若函数，对恒成立，则实数的取值范围为_________．〖答案〗〖解析〗的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的偶函数；因为，设，则，因为，所以，所以，则函数在单调递增，又其为偶函数，得在单调递减，则对恒成立，即，即，即，即,令，则不等式组化为，即与都要在上恒成立，则，解得，实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）点P的横坐标为，，又，，.（2）.18.（1）已知，，求的值；（2）若锐角满足，求的值.解：（1）∵，，，∴，解得，，，，，，.（2），，，故.19.设函数（且）的图像经过点，记．（1）求A；（2）当时，求函数的最值．解：（1）由函数（且）的图像经过点可得，解得，故，且定义域为{x|x>0}，由可得，所以，即，由，解得，故．（2），，令，，函数等价转换为，对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故，又，，所以．20.已知二次函数满足，函数，且不等式的解集为．（1）求，的〖解析〗式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）设二次函数，由得，由得，不等式得，由题意，是方程的两根，则，解得，所以，综上，，.（2）由（1），因为，令，则对恒成立，故对时恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，即实数的取值范围为.21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，（1）当时，求函数的〖解析〗式；（2）求不等式的解集．解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，，当时，则，由时，函数，所以，即，所以当时，.（2）不等式，由函数为奇函数，化为：，即，当时，在上单调递增，故在上单调递增，且，由函数为奇函数，所以在上单调递增，且，又∵，∴在上单调递增，故有，解得，综上所述：不等式的解集为.22.定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出取值范围，若不存在请说明理由．解：（1）是上的有界函数，理由如下：当时，，当时，，由对勾函数性质得或，或，或，∴的值域为，，∴存在，使得，