湖南省岳阳市湘阴县多校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖南省岳阳市湘阴县多校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数则的值为（）A.7 B.3 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.命题“，”的否定是（）A.不存在， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗由题意知，命题“”的否定为“”.故选：C.5.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，即，解得.故选：C.6.若，则的大小关系是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，，∴．故选：．值0，1比较大小7.已知圆与直线相切于点，若点，同时从点出发，沿直线匀速向右、沿圆周按顺时针方向以相同的速率运动，当点运动到如图所示的位置时，点也停止运动，连接，，则曲边三角形的面积与扇形的面积的大小关系是（）A. B.C. D.先，再，最后〖答案〗B〖解析〗因为速率相等，所以线段与劣弧长的长度相等，因为直线与圆相切于，所以，则三角形的面积，扇形的面积，所以三角形的面积与扇形的面积相等，因为扇形为公共部分，所以剩余部分.故选：B.8.已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（）A.0 B.2n C.n D.-n〖答案〗C〖解析〗因为任意的，故的图象关于对称，又，设，则的定义域为且，故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，故图像关于对称，故函数与图像的诸交点关于对称，不妨设，则，且，其中，故，所以，故.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列图象表示的函数中有两个零点的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗A：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故A符合题意；B：由零点的定义知，该图象与x轴有3个交点，所以该函数有3个零点，故B不符合题意；C：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故C符合题意；D：由零点的定义知，该图象与x轴有1个交点，所以该函数有1个零点，故D不符合题意.故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等B.C.若，则为第一或第四象限角D.扇形的圆心角为，周长为，则扇形面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则为第一或第四象限角或终边落在轴正半轴上，C错；对于D，设扇形的半径为，弧长为，则，，联立解得，，所以该扇形的面积为，D对.故选：ABD.11.若、、，则下列命题正确的是（）A.若，则B.C.若正数、满足，则的最小值是D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，因为，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C选项，因为正数、满足，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，故C错误；对于D选项，因为，当且仅当时，等号成立，由知，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，故D正确．故选：BD.12.已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（）A.B.C.当时，D.方程有个实数根〖答案〗ACD〖解析〗对AB，因为函数在上为奇函数，故，因为，即，则，故，故的周期为，故，故A正确，B错误；对C，因为是奇函数，所以当时，，故，则，当时，，，故当时，，故C正确；对D，，即，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象共有个交点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是________.〖答案〗〖解析〗设该幂函数的〖解析〗式为，由题意可得，解得，故，易知其单调递减区间为.故〖答案〗为：.15.用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为________.〖答案〗0.625（〖答案〗不唯一，在范围内即可）〖解析〗在上单调递增，根据题意，，，满足精度要求.故〖答案〗为：.16.已知函数，关于的方程.①当时，题中方程有________.个不同的实数根；②当题中方程恰有3个不同的实数解时，则的取值范围是________.〖答案〗2〖解析〗，画出函数图像，如图所示：①当时，方程化简为，，结合图象知方程有2个实数根；②方程可变形为，当时有1个根，显然，故必须有2个根，即与图象必有两个交点，故或，解得或.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.化简或求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）命题P：，命题Q；，若P是Q的必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）由，可得，当时，，所以．（2）因为P是Q的必要条件，所以，当时，，解得；当时，，解得，综上，实数a的取值范围为．19.已知角终边上一点坐标为，其中.（1）若，求的值；（2）求的值.解：（1），可知，，，，则，因为，所以，故.（2），则原式.20.已知函数（且）．（1）若，且，求的定义域；（2）若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围．解：（1）当且时，，由题知，即，解得，故当且时，函数的定义域为．（2）因为，因为内层函数在定义域内为增函数，外层函数在定义域内为增函数，所以，函数在定义域内单调递增，因为函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，故，所以，关于的方程有两个不同的解，故，即有两个不同的解，令，若，则，，即方程可转化为有两个不同的正数根，令，则，设函数的两个零点分别为、，则，不合乎题意；若，则，，即方程可转化为在上有两个不同的实数根，得，解得，故实数的取值范围为．21.长沙市地铁8号线项目正在进行中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为．（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量．（2）若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值．解：（1）显然当时，，当时，设，当时，，即，解得，故，故；当时，，故当发车时间间隔为5分钟时，载客量为475人．（2）由（1）知，当时，单调递减，故，当时，，当且仅当时，等号成立，故，由于，故当时，，即当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，且最大值为1400元．22.已知函数为偶函数.（1