河北省保定市部分学校2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分学校2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，根据函数在上单调递增，可得，由在R上单调递增，则有，所以充分性成立；当时，由在R上单调递增，可得，在的情况下，不成立，所以必要性不成立，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设扇形的半径为，则，所以扇形的面积为.故选：B.4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，因和在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以有唯一零点在上.故选：C.5.幂函数在上单调递增，则过定点（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得：或，又函数在上单调递增，则，则，当时，，则过定点.故选：D.6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，两式相加得，.故选：C.7.若，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为.故选：C.8.已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；的图象如下：所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，由图及函数性质知：，易知：，，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列选项中其值等于的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确．故选：BD.10.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗函数的定义域为，且满足，所以函数为奇函数，又有幂函数的性质知，在定义域上单调递增，故A正确；对于B，根据三角函数的性质知，其在定义域上不具有单调递增性，故B错误；对于C，函数的定义域为，且满足，故函数为奇函数，又为上的增函数，为上的减函数，所以在上单调递增，故C正确；函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故D错误.故选：AC.11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数图象关于点对称C.函数在的值域为D.将函数的图象向右平移个单位，所得函数为〖答案〗ACD〖解析〗由图可知，又，所以，所以，又函数图象最低点为，所以，即，所以，解得，由题意，所以只能，所以，由A选项分析可知，但，从而函数的图象关于直线对称，故A选项正确；但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；当时，，而函数在上单调递增，在上单调递减，，所以函数在的值域为，故C选项正确；若将函数的图象向右平移个单位，则得到的新的函数〖解析〗式为，故D选项正确.故选：ACD.12.已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（）A.在上单调递增 B.在上单调递减C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知，，，所以，即，所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，故A错误；因为，所以，所以，所以在上单调递减，故B正确；因为时，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，所以，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数f(x)＝＋的定义域为____________.〖答案〗〖解析〗根据题意，由，解得且，因此定义域为.故〖答案〗为：.14.设，则___________.〖答案〗〖解析〗因，所以，所以，所以，故〖答案〗为：.另解：由可得，所以，则.故〖答案〗为：.15.已知，则______．〖答案〗〖解析〗分子分母同除得，，解得：，所以.故〖答案〗为：.16.已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是_________________.〖答案〗〖解析〗函数，函数图象如下图所示：方程，若，即；若，得，；结合图象可知：当时，方程仅有一个实数解；当时，方程恰有两个实数解，；当时，方程恰有三个实数解，，；当时，方程恰有两个实数解，；综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记不等式的解集为，不等式的解集为.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，因为的解为或，所以，所以.（2）因为，，又，所以，故的取值范围为.18.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且.（1）若点的横坐标为，求的值；（2）若点的横坐标为，求的值.解：（1）因为点的横坐标为，所以，所以，所以.（2）因为点横坐标为，所以，所以，于是得，又因为，由图可知，所以.19.设函数，．（1）解关于x的不等式，；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（2）因为，由可得：，即，因为，当且仅当，即时等号成立，所以．20.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，求的最大值．解：（1）依题意，，所以函数的周期为.（2）由（1）知，，在中，，有，于是，解得，则，，显然，，因此当，即时，，所以的最大值为.21.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：（1）依题意设，由，得；设，由，得.（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，，∵，当，万元时，收益最大万元，故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元．22.已知