黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合R，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得；又，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗原命题的否定是：，.故选：B.3.若角的终边上有一点，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意结合三角函数定义得，解得.故选：D.4.函数的零点的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，令，解得或（舍），所以时，有一个零点；当时，令，得，作和图象如下，所以时，有两个零点，综上，共有3个零点.故选：C.5.已知，则，且与，且的图象可能为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，若，则，排除C，若，则，排除AB.故选：D.6.设，命题，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由题意，即命题的充要条件为，所以命题是命题的充分不必要条件.故选：A.7.2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功入轨.这次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务，也是长征系列运载火箭的第493次飞行.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，则火箭的最大速度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设当燃料质量为时，火箭的最大速度为，则，又当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；所以，解得，所以，令，则，.故选：C.8.已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知当时，，当且仅当，即时等号成立，且在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上的最大值为，又，，使成立，即，所以，使，即在上的最大值，即，解得或，又，所以.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.9.已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：ABC.10.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，C，由，令，则，，故A，C错误；对于B，由，，，所以，故B正确；对于D，由，得，，，所以，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数值域为B.函数是增函数C.不等式的解集为D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；对于C，因为的定义域为，且，，所以为奇函数，且在上为减函数，不等式等价于即，等价于，解得，故C正确；对于D，因为且，所以，故D正确.故选：ACD.12.定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对，均有，令可得，所以，则，故A正确；，可令得，所以，则，故B不正确；令，可得，因为当时，，又，所以，故，所以，所以，则，故C不正确；令，得，则，，以此类推可得：，所以，故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确〖答案〗写在答题卡相应的横线上.13.函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则__________.〖答案〗4〖解析〗由，得，所以定点，设，又，得，所以，所以.故〖答案〗为：4.14.若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.〖答案〗〖解析〗设扇形的半径为，因为扇形的周长为，扇形的面积为，由得，或，又因，所以.故〖答案〗为：.15.若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗当时，作出和的图象，由图像可知没有整数解，不符合题意；当时，作出和的图象，因为恰有个整数解，所以是不等式的整数解，所以，解得，即实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.用表示中的较大者，记为.已知函数，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由题意设，由此可知的对称轴均为，且当时，单调递减，单调递增，当时，单调递增，单调递减，且，由此可以画出这两函数的大致图像如图所示：所以，所以直线与函数至多有4个不同的交点，关于的方程至多有2个不同的根，由题意若关于的方程有8个相异实根，则当且仅当两个关于的方程共有8个不同的根，其中，是关于方程的两个根，令，则关于的方程有两个不同的根，即有两个不同的根，设，由对勾函数性质得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，，所以有两个不同的根，当且仅当，综上所述：实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.17.已知角满足.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）原式，，，原式.（2），且，，.18.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1），且，，，当时，，.（2），由（1）知，又，则当，即时，，要使，则，得，当，即时，，满足，综上所述，实数的取值范围为.19.已知定义域为的函数.（1）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解：（1）由可知，是上的增函数，证明：设，且，则，在上单调递增，且，，即，又，，，即，当为任意实数时，是上的增函数.（2）法一：假设存在实数使为奇函数，对，由得，，即，，存在实数使为奇函数.法二：假设存在实数使为奇函数，的定义域为，，，当时，，则，存在实数使为奇函数.20.果园占地约亩，拟选用果树进行种植，在相同种植条件下，果树每亩最多可种植棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示：（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；（2）已知该果园的年利润（万元）与，的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？解：（1）①若选择作为与的函数模型：将点，的坐标分别带入，得，解得，所以，此时当时，，当时，，所得数据分别与表格中的和相差较大；②若选择作为与的函数模型：将，的坐标分别带入，得，解得，，此时当时，，当时，，所得数据分别与表格中的和相符合，综上所述，比更适合作为与的函数模型.（2）由题意，该果园最多可种棵该品种果树，故，由（1）知，需选用的与的模型为，，令，，，，，当，即时，（万元），又，当果树数量为百棵（每亩约棵）时，年利润最大.21.已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且.（1）求函数的〖解析〗式；（2）解关于的不等式.解：（1）是奇函数，是偶函数，，又，，即，联立，解得.（2）原不等式，令，是奇函数，，即，解得，，解得，原不等式的解集为.22.已知函数，（其中是自然对数的底数）.（1）判断函数在上单调性（不必证明）；（2）求证：函数在内存在零点，且；（3）