2020年全国中考数学真题分类汇编：《圆》解答题（二）含答案

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题(二)

含答案解析

1.(2020•广州)如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点。在劣弧窟上运动(不与

点、A,8重合)，连接D4,DB,DC.

(1)求证：0c是NAOB的平分线；

(2)四边形AOBC的面积S是线段OC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果

不是，请说明理由；

(3)若点M,N分别在线段CA,C8上运动(不含端点)，经过探究发现，点。运动到每一

个确定的位置，△OMN的周长有最小值r,随着点。的运动，r的值会发生变化，求所有r

值中的最大值.

2.(2020•株洲)AB是的直径，点C是上一点，连接4C、BC,直线MN过点C,满

足NBCM=NBAC=a.

(1)如图①，求证：直线是。。的切线;

(2)如图②，点。在线段BC上，过点力作于点H,直线。H交。。于点E、F,

连接AF并延长交直线MN于点G,连接CE,且C£=S,若。。的半径为1,cosa=3,求

34

AG・ED的值.

3.(2020•孝感)已知△ABC内接于。。，AB=AC,ZABC的平分线与。。交于点D,与AC

交于点E,连接CD并延长与。0过点4的切线交于点F,记/24C=a.

(1)如图1,若a=60°,

①直接写出更的值为；

DC

②当。。的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；

(2)如图2,若a<60°,且12=2,DE=4,求BE的长.

图1图2

4.(2020•鄂州)如图所示：。0与△ABC的边BC相切于点C,与AC、AB分别交于点。、E,

DE//OB.DC是。。的直径.连接。E,过C作CG〃OE交。。于G,连接力G、EC,DG

与EC交于点F.

(1)求证：直线AB与。。相切;

(2)求证：

(3)若£F=3,tan/ACE=」寸，过A作4V〃CE交。。于M、N两点(M在线段AN上),

2

求4N的长.

N

5.(2020•烟台)如图，在口ABCZ)中，ZD=60°,对角线AC_LBC,。。经过点A,B,与AC

交于点连接A。并延长与OO交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是。。的切线；

(2)若AO=2y®,求金的长(结果保留it).

6.(2020•娄底)如图，点C在以AB为直径的上，8。平分NABC交于点£),过。作

8c的垂线，垂足为E.

(1)求证：QE与。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求20的长；

(3)请用线段48、BE表示CE的长，并说明理由.

7.(2020•恩施州)如图1,AB是00的直径，直线AM与©0相切于点A,直线BN与。。相

切于点8,点C(异于点A)在AM上，点力在。。上，且S=C4,延长CO与BN相交

于点E,连接4。并延长交BN于点尸.

图2

(1)求证：CE是OO的切线;

(2)求证：BE=EF；

(3)如图2,连接EO并延长与分别相交于点G、H,连接8".若AB=6,AC=4,求

tanZBHE.

8.(2020•广东)如图1,在四边形ABCD中，AD//BC,ND4B=90°,AB是的直径，CO

平分/BCD

(1)求证：直线C。与。。相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧窟上一点，40=1,BC=2.求tanNAPE的

值.

9.(2020•城海)如图，△ABC的外角/A4M的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,

过点E作E/〃BC,交CAT于点。.

求证：(1)BE=CE；

(2)EF为。0的切线.

M

10.如图，AC为。。的直径，AP为。。的切线，M是AP上一点，过点M的直线与OO交于

点8,。两点，与AC交于点E,连接AB,AD,AB=BE.

(1)求证：AB—BM-.

(2)若48=3,40=2鱼，求。。的半径.

11.(2020•宜昌)如图，在四边形A8CZ)中，AD//BC,AB=2口,N48C=60°,过点B的

00与边A8,8c分别交于E,F两点.OG_LBC,垂足为G,OG=a.连接。8,OE,OF.

AD

备用图

(1)若BF=2“，试判断ABO尸的形状，并说明理由;

(2)若BE=BF,求证：与4力相切于点A.

12.(2020•湘西州)如图，AB是。0的直径，AC是。。的切线，BC交。。于点E.

(1)若。为AC的中点，证明：QE是。。的切线;

(2)若CA=6,CE=3.6,求。0的半径OA的长.

13.(2020•潍坊)如图，AB为。。的直径，射线AO交OO于点F,点C为劣弧前的中点，过

点C作CELAO,垂足为E,连接AC.

(1)求证：CE是。。的切线：

(2)若NBAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.

14.(2020•营口)如图，ZsABC中，NACB=90°,80为△A8C的角平分线，以点。为圆心,

OC为半径作。0与线段AC交于点D.

(1)求证：AB为。。的切线；

(2)若tanA=3,AD=2,求8。的长.

4

15.(2020•青海)如图，已知AB是。0的直径，直线2C与。0相切于点8,过点A作AO〃

OC交。。于点。，连接CD

(1)求证：C。是。0的切线.

(2)若AC=4,直径AB=12,求线段BC的长.

16.(2020•盐城)如图，。0是aABC的外接圆，AB是的直径，ZDCA=ZB.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)若£>EJ_A8,垂足为E,DE交AC于点F,求证：△£)(7/是等腰三角形.

17.(2020♦张家界)如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,以48为直径作。O,过点C作直

线C。交AB的延长线于点。，使NBCO=/A.

(1)求证：CO为。。的切线；

(2)若平分NAOC,且分别交AC,BC于点E,F,当CE=2时;求EF的长.

18.(2020•郴州)如图，△ABC内接于O。，AB是。。的直径.直线/与。0相切于点4,在

/上取一点。使得D4=OC,线段OC,AB的延长线交于点E.

(1)求证：直线。C是。。的切线；

(2)若BC=2,/C4B=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留n).

19.(2020•常州)如图1,。/与直线。相离，过圆心/作直线〃的垂线，垂足为"且交。/

于产、。两点(。在P、H之间).我们把点P称为。/关于直线a的“远点”,把PQ-PH

的值称为0/关于直线。的“特征数”.

(1)如图2,在平面直角坐标系xO)，中，点E的坐标为(0,4).半径为1的00与两坐标

轴交于点A、B、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线机，则。0关于直线m的“远点”是点(填“A”、“8”、

“C”或"D”),。。关于直线机的“特征数”为；

②若直线〃的函数表达式为)，=心+4.求。。关于直线〃的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系xOy中，直线/经过点4),点F是坐标平面内一点，以尸为

圆心，&为半径作OF.若OF与直线/相离，点N(-1,0)是OF关于直线/的“远点”.且

。/关于直线/的“特征数”是4代，求直线/的函数表达式.

20.(2020•长沙)如图，半径为4的。0中，弦AB的长度为4次，点C是劣弧窟上的一个动

点，点。是弦AC的中点，点E是弦8c的中点，连接£>E、OD、OE.

(1)求NAOB的度数；

(2)当点C沿着劣弧源从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的

路径的长度；

(3)分别记△ODE,△□)后的面积为Si,S2,当SJ-S22=21时，求弦AC的长度.

21.(2020•临沂)己知OO1的半径为“，03的半径为，2.以。1为圆心，以ri+r2的长为半

径画弧，再以线段0102的中点尸为圆心，以上。1。的长为半径画弧，两弧交于点A,连接

2

O1A,OiA,O1A交。01于点B,过点8作。2A的平行线8c交。1。于点C.

(1)求证：是03的切线；

(2)若门=2,r2=l,013=6,求阴影部分的面积.

B

22.（2020•山西）如图，四边形0ABe是平行四边形，以点。为圆心，OC为半径的。。与AB

相切于点B,与A。相交于点£>,AO的延长线交。。于点E,连接EB交OC于点F.求NC

和NE的度数.

23.（2020•广元）在RtZXABC中，NACB=90°,。4平分NBAC交BC于点O,以。为圆心,

OC长为半径作圆交BC于点D.

(1)如图I,求证：4B为。。的切线;

(2)如图2,AB与。。相切于点E,连接CE交OA于点F.

①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由.

②若OF：FC=1：2,OC=3,求tanB的值.

24.（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点。，过点。作

DE1AC,垂足为点E.

(1)求证：△ABD丝△AC。；

(2)判断直线。E与OO的位置关系，并说明理由.

25.(2020•武汉)如图，在RtzMBC中，ZABC=90°,以4B为直径的。。交AC于点

AE与过点。的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：A。平分NBAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

26.(2020•随州)如图，在RtAABC中，ZACB=90Q,以斜边A8上的中线CD为直径作。0,

与BC交于点M,与AB的另一个交点为E,过/作MNL48,垂足为N.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。。的直径为5,sin8=3,求ED的长.

27.(2020•江西)已知NMPN的两边分别与相切于点A,B,。0的半径为八

(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上，NMPW=80°,求N4CB的度数；

(2)如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形AP8C为菱形，/APB的度数应

为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.

（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形

（2）图形判定：如图1,在四边形A8C力中，AD//BC,AC1.BD,过点。作垂线交8c

的延长线于点E,且/Z）BC=45°,证明：四边形ABC。是垂等四边形.

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在

图2中，面积为24的垂等四边形ABC。内接于。。中，/BCZ）=60°.求。。的半径.

29.（2020•深圳）如图，AB为0。的直径，点C在。。上，40与过点C的切线互相垂直，垂

足为。.连接BC并延长，交4。的延长线于点E.

（1）求证：AE=AB-,

（2）若AB=10,BC=6,求CD的长.

30.(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,A,B为外两点，AB=\.

给出如下定义：平移线段AB,得到。。的弦Ab(4,B'分别为点A,8的对应点)，线段

AH长度的最小值称为线段AB到的“平移距离”.

(1)如图，平移线段AB得到OO的长度为1的弦PP2和尸3尸4,则这两条弦的位置关系

是;在点Pl,P2,P3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到

的“平移距离”；

(2)若点A,B都在直线y=亚+2仃匕记线段AB到。。的“平移距离”为力，求力

的最小值；

(3)若点A的坐标为(2,3),记线段AB到。。的“平移距离”为42,直接写出“2的取

2

31.(2020•咸宁)如图，在Rt^ABC中，NC=90°,点。在AC上，以。4为半径的半圆O

交AB于点D,交AC于点E,过点。作半圆。的切线。F,交BC于点尸.

(1)求证：BF=DF；

(2)若4C=4,BC=3,CF=\,求半圆。的半径长.

32.(2020•陕西)如图，△ABC是。。的内接三角形，NBAC=75°,NABC=45°.连接AO

并延长，交。。于点。，连接8。.过点C作。。的切线，与BA的延长线相交于点E.

(1)求证：AD//EC；

(2)若AB=12,求线段EC的长.

E

33.（2020•天水）如图，在△ABC中，/C=90°,AO平分/BAC交BC于点。，点。在AB

上，以点。为圆心，OA为半径的圆恰好经过点£>,分别交AC、AB于点E、F.

（1）试判断直线3c与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若8。=2百，A8=6,求阴影部分的面积（结果保留n）.

34.（2020•泰州）如图，在。0中，点P为AB的中点，弦A。、PC互相垂直，垂足为M,BC

分别与A。、PO相交于点E、N,连接8。、MN.

（1）求证：N为8E的中点.

（2）若OO的半径为8,定的度数为90°,求线段MN的长.

35.（2020•内江）如图，AB是00的直径，C是。。上一点，OD_L8c于点。，过点C作。0

的切线，交0。的延长线于点E,连结BE.

（1）求证：BE是。。的切线；

(2)设0E交OO于点F,若DF=2,BC=4j§,求线段EF的长;

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

F

36.(2020•哈尔滨)已知：。。是AABC的外接圆，为。。的直径，AD±BC,垂足为E,

连接80,延长80交AC于点凡

(1)如图I,求证：NBFC=3NCAD；

(2)如图2,过点。作£>G〃8尸交。0于点G,点”为。G的中点，连接OH,求证：BE

=OH；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG,若DG=DE,/\AOF的面积为2亚，求线段

37.(2020•咸宁)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

理解：

(1)若四边形ABC。是对余四边形，则NA与/C的度数之和为；

证明：

(2)如图1,MN是(3。的直径，点A,B,C在00上，AM,CN相交于点£>.

求证：四边形ABC。是对余四边形；

探究：

(3)如图2,在对余四边形ABCO中，AB=BC,ZABC=60°,探究线段AQ,CDflBD

之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

D

(1)如图1,在Rt/XABC中，NACB=90°,AC>BC,NACB的平分线交4B于点D过

点。分别作。£，4。。/，8。.垂足分别为£,凡则图1中与线段CE相等的线段是.

问题探究

(2)如图2,AB是半圆。的直径，AB=8.尸是窟匕-点，且奇=26，连接AP,BP.Z

AP8的平分线交AB于点C,过点C分别作CELAP,CF±BP,垂足分别为E,F,求线段

C尸的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.己知。0的直径48=70小点C

在。。上，且CA=C&P为AB上一点，连接CP并延长，交OO于点D连接A£>,BD.过

点P分别作PELAZ),PF1BD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PEQF内部为室内

活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(%),阴影部分

的面积为yCm2).

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当A尸的长度为30“时，整体布局比较合理.试

求当AP=30,〃时.室内活动区(四边形PEDQ的面积.

ADBAC0

图1图2图3

39.(2020•金昌)如图，。0是△ABC的外接圆,其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,

且AE=AB.

(1)求/ACB的度数；

(2)若DE=2,求。。的半径.

40.(2020•福建)如图，AB与。。相切于点B,AO交。0于点C,A。的延长线交。。于点

E是面上不与5,。重合的点，sinA=工.

2

(1)求NBED的大小;

(2)若。。的半径为3,点尸在A8的延长线上，且8F=3«,求证：。尸与。。相切.

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题（二）含答

案

参考答案与试题解析

—.解答题（共40小题）

1.（2020•广州）如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点。在劣弧靠上运动（不与

点4,B重合），连接D4,DB,DC.

（1）求证：DC是NAOB的平分线；

（2）四边形A。8c的面积S是线段OC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果

不是，请说明理由；

（3）若点M,N分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一

个确定的位置，XDMN的周长有最小值t,随着点D的运动，f的值会发生变化，求所有t

值中的最大值.

【分析】（1）由等边三角形的性质可得/ABC=NBAC=NACB=60°,圆周角定理可得/

ADC^ZBDC=60°,可得结论；

（2）将△AOC绕点逆时针旋转60°,得到△8"C,可证△£>CH是等边三角形，可得四边

形ADBC的面积S—S^ADC+S^BDC—S^CDH=^-CD2,即可求解；

4

（3）作点D关于直线AC的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F,由轴对称的性质可

得EM=DM,DN=NF,可得△OWN的周长=£>M+ON+MN=FN+EM+MV,则当点E,点M,

点N,点尸四点共线时，的周长有最小值，即最小值为EF=f,由轴对称的性质可求

CD=CE=CF,NECF=120。，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF=2PE=

MEC=«C£>=r,则当CD为直径时，/有最大值为4«.

【解答】证明：（1）:△ABC是等边三角形，

/ABC=N8AC=/AC2=60°,

VZADC=ZABC=60a,ZBDC=ZBAC=60°,

ZADC=ZBDC,

.,.■DC是NAO8的平分线；

(2)四边形A。8c的面积S是线段。C的长x的函数，

理由如下：

如图1,将△AOC绕点C逆时针旋转60°,得到△B”C,

:.CD=CH,4DAC=4HBC,

V四边形ACBD是圆内接四边形,

,ND4C+NZ)BC=180°,

：.ZDBC+ZHBC^\S0°,

...点。，点8,点，三点共线,

VDC=CH,ZCDH=60°,

是等边三角形，

2

•••四边形ADBC的面积S=SMDC+SABDC=SACDH=J^JCD,

_4

(2«<xW4)；

4

(3)如图2,作点。关于直线AC的对称点E,作点。关于直线BC的对称点F,

图2

•.•点。，点E关于直线AC对称,

:.EM=DM,

同理DN=NF,

ADMN的周长=Z）M+LW+MN=FN+EM+MN,

二当点E,点M,点M点尸四点共线时，△OMN的周长有最小值，

则连接EF,交AC于交8c于N,连接CE,CF,DE,DF,作CP_LEF于尸，

△QMN的周长最小值为EF=t,

•.•点。，点E关于直线AC对称，

：.CE=CD,ZACE=ZACD,

:点。，点F关于直线BC对称，

：.CF=CD,ZDCB=ZFCB,

：.CD=CE=CF,/ECF=NACE+NACD+NDCB+NFCB=2NACB=120°,

'：CPLEF,CE=CF,NEC尸=120°,

：.EP=PF,NCEP=3O°,

APC=1£C,PE=4^PC=^-EC,

22

EF=2PE=®K=M3D=t,

.•.当CD有最大值时，EF有最大值，即f有最大值，

：CO为00的弦，

二CD为直径时，CD有最大值4,

的最大值为4次.

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对

称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

2.（2020•株洲）AB是。。的直径，点C是。。上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,满

足NBCM=NBAC=oc.

E

图①图②

(1)如图①，求证：直线MN是。0的切线;

(2)如图②，点。在线段BC上，过点D作DHLMN于点H,直线。”交。。于点E、F,

连接AF并延长交直线MN于点G,连接CE,且CE=a,若。。的半径为1,cosa=旦，求

34

AG'ED的值.

【分析】(1)由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得/A+/8=90°,由0C=02可

得NB=NOCB,推出NOC8+NBCM=90°,从而可得结论；

(2)由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得NGF”=NACE,根据

余角的性质可得NEC£»=NAGC,进而可得△E£>CS/\ACG,根据相似三角形的性质变形可

^AG-DE=AC'CE,即可求出结果.

【解答】(1)证明：连接0C,如图①，

「AB是。。的直径,

NACB=90°,

AZA+ZB=90°,

OC=OB,

：.ZB=ZOCB,

'：ZBCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90Q,B|JOCLMN,

是O。的切线；

(2)解：如图②，；AB是。。的直径，的半径为1,

・・AB=2,

VCOSZBAC=COSQ=-^-=-5-,即

AB424

・3

,・AC而'

VZAFE=ZACE,/GFH=NAFE,

：.ZGFH=ZACE,

•；DH1MN,

：.ZGFH+ZAGC=90°,

VZACE+ZECD=90°,

：.ZECD=ZAGC,

又•：/DEC=/CAG,

:•丛EDCs丛ACG,

•・•,ED一二EC一，

ACAG

o55

••AG-DE=AC'CE-f

L»OC»

【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推

论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形

的判定与性质是解题的关键.

3.(2020•孝感)已知△ABC内接于OO,AB=AC,ZABC的平分线与。0交于点D,与AC

交于点E,连接C。并延长与00过点A的切线交于点尸，记/8AC=a.

(1)如图1,若a=60°,

①直接写出篇的值为__1_;

②当00的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为_£返二2匚；

—2-3―

(2)如图2,若a<60°,且巫_=2,DE=4,求8E的长.

图1图2

【分析】(1)①由切线的性质得：N0A尸=90°,证明△ABC是等边三角形，

得NABC=/ACB=/BAC=60°,根据三角形的内角和定理证明/BAC=90°,可知BD

是。。的直径，由圆周角，弧，弦的关系得AO=C£>,说明△AQF是含30度的直角三角形，

得AD=C£>=2。凡可解答；

②根据阴影部分的面积=5mAODF-S扇形04£>=代入可得结论；

(2)如图2,连接AD,连接AO并延长交。。于点，，连接。〃，则NAD〃=90°,先证

明△AOF丝△AOE(ASA),得DF=DE=4,由已知得。C=6,证明△CQEs/XBQC,列比

例式可得80=9,从而解答即可.

【解答】解：(1)如图1,连接OA,AD,

图1

是OO的切线，

NOAF=90°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

二AABC是等边三角形，

ZABC=NAC8=NR4c=60°,

：BO平分NABC,

AZABD=ZCBD=30°,

VZADB=ZACB=60°,

AZBAD=90Q,

・・・3。是OO的直径，

*：OA=OB=OD,

：.ZABO=ZOAB=30°,ZOAD=ZADO=60°,

•：ZBDC=ZBAC=60°,

...NA。尸=180°-60°-60°=60°=ZOAD,

：.OA//DF9

/.ZF=180°-ZOAF=90°,

VZDAF=30°,

：.AD=2DF.

,//ABD=/CBD,

AAD=CD.

:・AD=CD,

；・CD=2DF,

•更”，

"DC~2

故答案为：A；

2

②・・・。0的半径为2,

：.AD=OA=2,DF=\,

VZAOD=60°,

,阴影部分的面积为：S梯形AODF-S扇形OAD=—(DF+OA)"6。？*2

2360

6QHX4=3V32^.

|xV^(i+2)-

36023

故答案为：三应工；

23

(2)如图2,连接AO,连接A。并延长交。0于点“，连接则NAQ〃=90°,

曲

；.NDAH+NDHA=90°,

・・工厂与O。相切，

/.ZDAH+ZDAF=ZFAO=90°,

：.ZDAF=ZDHAf

•.,8。平分NA8C,

・•・/ABD=NCBD,

VAD=CD>

・・・ZCAD=ZDHA=ZDAF,

U：AB=AC,

：./ABC=NAC8,

・.•四边形ABC。内接于。。，

ZABC+ZADC=iSO°,

VZADF+ZADC=180°,

，ZADF=N4BC,

ZADB=ZACB=ZABC,

：.ZADF=NADB,

在△ADF和△ADE中

fZDAF=ZDAE

AD=AD，

ZADF=ZADE

AAADF^AADE(ASA),

；.DF=DE=4,

・,・—DF二—2,

DC3

・・・OC=6,

•「ZDCE=ZABD=/DBC,ZCDE=/CDE,

:ACDES/\BDC,

生理，即上4

DBCDBD6

：,BD=9,

：.BE=DB-DE=9-4=5.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，相

似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解

此题的关键.

4.(2020•鄂州)如图所示：与△ABC的边BC相切于点C,与AC、分别交于点。、E,

DE//OB.0c是。。的直径.连接OE,过C作CG〃OE交00于G,连接。G、EC,DG

与EC交于点F.

(1)求证：直线AB与。。相切；

(2)求证：AE-ED=AC-EF-,

(3)若EF=3,tanN4CE=Uf,过A作AN〃CE交。。于M、N两点(M在线段AN上)，

2

【分析】(1)证明△BOEg/XBOCCSSS)可得结论.

(2)连接EG.证明△AECsaEFG可得结论.

(3)过点。作0//LAN于从解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性质求

出E,AC,AO,求出AH,HN即可解决问题.

【解答】(1)证明：CO是直径，

AZDEC=90°,

：.DE±EC,

•:DE"OB,

，OBA-EC,

：・0B垂直平分线段EC,

,BE=EC,OE=OC,

'：OB=OB,

：./\OBE^AOBC(SSS),

：.ZOEB=ZOCBf

・・,3C是。。的切线，

/.OCLBC,

：.ZOCB=90°,

：.ZOEB=90°,

・•・OE±ABf

・・・AB是OO的切线.

(2)证明：连接EG.

・・・CQ是直径，

：.ZDGC=90°,

ACG1DG,

■:CG//OE,

：.OE_LZ)G,

，征=就，

:・DE=EG,

「A瓦LOE,DG.LOE,

：.AE//DG,

：.ZEAC=ZGDC,

•；/GDC=NGEF,

:.NGEF=NEAC,

•：NEGF=NECA,

・・・△AECSXEFG,

・AE=AC?

，

**EFEG

•：EG=DE,

：・AE・DE=AC・EF.

(3)解：过点。作O"_LAN于".

VDE=EG>

:・/EDG=/ACE,

/.tanZEDF=tanZACE=l.=迈，

2DEEC

・；EF=3,

：.DE=6,。尸=3遥，EC=12,CD=JDE2+EC：2=6遥，

VZAED+ZOED=90°,NOED+NOEC=90°,

・•・/AED=NOEC,

,:OE=OC,

：.ZOEC=ZOCE,

：./AED=/ACE,

'：ZEAD=ZEAC,

AAE=DE_AD=2,

**ACECAET

，可以假设AC=2x,

2

\'AE=AD^ACf

(2x-6^/5)*2x,

解得x=4巡(x=O舍去)，

・・・AE=4遍AC=8代，AD=2后,OA=5后,

■:EC//NN,

：.ZOAH=ZACE,

tanZOAH=tanNACE=01=_L,

AH2

：・OH=5,4”=1O,

•：OHLMN,

:・HM=HN,连接OM，则MH=HN=也解(十)2七2=2遥,

:.AN=AH+HN=10+2娓.

B

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形

解决问题，属于中考压轴题.

5.(2020•烟台)如图，在口ABCD中，Z£>=60°,对角线4CJ_BC,经过点A,B,与AC

交于点M,连接40并延长与。。交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是的切线；

(2)若AO=2百，求赢的长(结果保留n).

【分析】(1)证明：连接OB,根据平行四边形的性质得到N4BC=NO=6()。，求得/8AC

=30°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到/A8O=NOAB=30°,于是得

到结论；

(2)根据平行四边形的性质得到BC=AD=2g过。作OHLAM于H,则四边形OBCH

是矩形，解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接。8,连接OM,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；./ABC=/。=60°,

'JACLBC,

NACB=90°,

，NBAC=30°，

,:BE=AB,

:"E=/BAE,

VZABC^ZE+ZBAE=60a,

NE=NBAE=30°,

"：OA=OB,

，NABO=NOAB=30°,

：.ZOBC=300+60°=90°,

OBICE,

，EC是。。的切线；

(2)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

:.BC=AD=2M，

过。作OHA.AM于H,

则四边形OBCH是矩形，

/.O”=BC=2料，

：.OA=―01?—=4,NAOM=2NAOH=60°,

sin600

氤的长度=60•兀><4=".

【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正

确的作出辅助线是解题的关键.

6.(2020•娄底)如图，点C在以A2为直径的。。上，BD平分NABC交。0于点D,过。作

8c的垂线，垂足为E.

(1)求证：OE与。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的长；

(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由.

E

D

0

【分析】(1)连接on根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到/or»B=NC8£>,根

据平行线的性质得到ODLDE,于是得到结论；

(2)根据圆周角定理得到NA£>2=90°,根据相似三角形的性质即可得到结论；

(3)过。作OHLAB于根据角平分线的性质得到。H=Z)E,根据全等三角形的性质即

可得到结论.

【解答】(1)证明：连接on,

•：OD=OB,

："ODB=NOBD,

：8。平分/ABC,

：.NOBD=/CBD,

：.ZODB=ZCBD,

C.OD//BE,

；BELDE,

.".OD1.DE,

...DE与。。相切；

(2)解：是。。的直径，

.•.乙4。8=90°,

,：BEA.DE,

：.ZADB=ZBED=90°,

：8。平分NABC,

；.NOBD=NCBD,

：./\ABD^ADBE,

.ABBD

'*BD=BE"

.__5_=BD；

,•而

:.BD=2店;

(3)解：结论CE=AB-BE,

理由：过。作OH_LAB于H,

：8。平分/ABC,DELBE,

：.DH=DE,

在RtABED与Rt/XBHD中，JDE=DH,

lBD=BD

Rt/\BED^RtABHD(HL),

：.BH=BE,

,：Z.DCE^ZA,NO”A=NOEC=90°,

：./\ADH^ACDECAAS),

：.AH=CE,

•；AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【点评】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性

质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键.

7.（2020•恩施州）如图1,AB是00的直径，直线AM与©O相切于点A,直线8N与。0相

切于点B,点C（异于点A）在AM上，点。在。。上，且C£>=C4,延长CO与BN相交

于点E,连接A£）并延长交BN于点尸.

图1图2

(1)求证：CE是00的切线；

(2)求证：BE=EF；

(3)如图2,连接E。并延长与。。分别相交于点G、H,连接BH.若4B=6,AC=4,求

tanZBHE.

【分析】(1)连接0£>,根据等边对等角可知：NCAD=NCDA,ZOAD^ZODA,再根据

切线的性质可知NC4O=NCAD+NOA£>=NCD4+/OD4=90°=N0DC,由切线的判定

定理可得结论；

(2)连接BD,根据等边对等角可知N0B。，再根据切线的性质可知NOQE=/

OBE=90°,由等量减等量差相等得再根据等角对等边得到ED=EB,然

后根据平行线的性质及对顶角相等可得推出由此得出结论；

(3)过E点作EL_LAM于L根据勾股定理可求出BE的长，即可求出lan/BOE的值，再

利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如图1中，连接0D,

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

\"OA=OD

：.ZOAD=ZODA,

•.,直线AM与。0相切于点A,

NCAO=/CAD+NOAO=90°,

AZODC=ZCDA+ZODA=90°,

；.CE是。。的切线.

(2)如图1中，连接8。,

OD=OB,

；・NODB=/OBD,

・・・CE是OO的切线，8尸是OO的切线,

：.ZOBD=ZODE=90°,

：,/EDB=/EBD,

：.ED=EB,

・.・AM_LAB,BN工AB,

:・AM〃BN,

・・・NCAD=/BFD,

*：ZCAD=ZCDA=ZEDF,

1・NBFD=NEDF,

：,EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如图2中，过E点作项4AM于L,则四边形ABEL是矩形,

图2

设BE=x,贝(JCL=4-x,CE=4+x,

/.(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：尸旦，

4

旦

tan/BOE=^-=^~整，

tan乙DUEOB34

,/ZBOE=2ZBHE,

•/“l2tanZBHE3,

••tanZBOE=--5-------

1-tanZBHE4

解得：tanNB4E=2或-3(-3不合题意舍去),

3

tanZB//E=A.

3

补充方法：如图2中，作〃/_LEB交EB的延长线于J.

VtanZB(?£=M=A,

OB4

.•.可以假设BE=3A,OB=4k,则OE=5Z,

,JOB//HJ,

OEEB

------

OB一

EHEJ

HT

5k3k

4k一

------

HT9kEJ

：.HJ=^-k,即=叫，

55

BJ=EJ-BE=2Lk-3仁鸟I

55

HJ3

---NBHE=NHBA=NBHJ,

tanZB//E=A.

图1

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质，三角函数/,勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键.

8.（2020•广东）如图1,在四边形ABCZ）中，AD//BC,