【数学】2024届高三下学期开学摸底考（新高考专用）01（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）数学一、单项选择题1．若全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，则，A错误，，B错误，C正确，或，D错误.故选：C.2．设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由复数对应的点在第四象限，则设，由得，由，得复数对应的点在第二象限.故选：B.3．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若是递增数列，则公差，所以，故，所以为递增数列，若为递增数列，则，则，故，所以是递增数列，故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，故选：C4．函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A.5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D6．已知为锐角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D7．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.8．设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.综上，.故选：A.二、多项选择题9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（

）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2C．极差可能是4 D．众数可能是2【答案】BD【解析】设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设为，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）

A． B．数列是递减数列C．数列是等比数列 D．【答案】ACD【解析】，所以在点处的切线方程为：，令0，得，故A正确.，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以，D正确.故选ACD.11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面B．存在点P，使得AC1∥平面C．存在点P，使得点A1到平面的距离为D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】

连接，因为，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面，易证⊥平面，所以⊥平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.因为，点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面为梯形，D正确故选：ACD12．已知是定义在R上的函数，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，为的导函数，则（

）A．B．C．的图象关于直线对称D．【答案】ABD【解析】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，对A，，令得，故A选项正确；对B，又，则的图象关于对称，则，，令，则，故B正确；对C，因为，则的图象关于直线对称，故C错误；又，所以，由以上可知，，，函数的周期为4，则，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知的展开式中的常数项为240，则．【答案】3【解析】的展开式的通项，令得，令，无解，所以的展开式中的常数项为，所以.故答案为：314．若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则．【答案】4【解析】因为，所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，可得，则．故答案为：4.15．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是【答案】【解析】，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．16．如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为．

【答案】【解析】由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的球面，所以围成的球的体积为，过作，由，则由等面积法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距离和点到平面的距离相等，均为，又，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆的半径为,圆心为,且满足，因此点的最小距离为，故，故答案为：，

四、解答题17．已知数列满足，且点在直线上(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值．解：(1)由点在直线上得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列，故，即．(2)，所以，要使对恒成立，，即，又，所以的最小值为5．18．在中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.解：(1)方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.(2)，，.在中，，当且仅当时上式等号成立，的最小值为.19．2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？了解人工智能不了解人工智能合计男生女生合计(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送科普材料，求选取的人中至少有人了解人工智能的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取人科普材料，记其中了解人工智能的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能人数为，则了解人工智能的男生有人，结合男生和女生各有人，填写列联表为：了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100则，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.(2)①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，，所以，，.20．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．(1)若平面，求；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？解：(1)，所以，解得，由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，是圆的直径，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，则，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.(2)由(1)得，设，，结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，，设，则，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，当且仅当时等号成立，所以，即当时，直线与平面所成角的正弦值最大.21．已知圆，点，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q，点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)，点E、F（不在曲线C上）是直线上关于x轴对称的两点，直线、与曲线C分别交于点A、B（不与、重合），证明：直线AB过定点．(1)解：连接，则，故，所以曲线C是以M、N为焦点的双曲线，设C的方程为，则，解得，所以曲线C的方程为(2)证明：设，，直线，令得，直线，令得，因为E、F关于x轴对称，所以，所以①，因为，所以，所以②，将②代入①得，所以，所以，由得，解得且，，所以，所以，所以，即，因为直线AB不过点，所以，所以，直线过定点．22．已知函数.(1)若，证明：当时，；(2)求所有的实数，使得函数在上单调.(1)证明：设（），则，设（），则，显然所以在上单调递增，故，所以.则在上单调递增，所以，因此(2)解：解法1：因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.因为，