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西北工业大学研究生课程考试答题纸矩阵论(M2009A)2010-01-05一、(18分)填空：1．设为3阶实方阵，为数域上的线性空间中的元素，线性变换满足，在什么条件下，元素组线性无关．〔线性无关，且可逆．〕2．是正交投影矩阵，且〔零矩阵〕，那么〔1〕．3.，问矩阵幂级数收敛还是发散？〔收敛〕其原因是〔〕．4．设为Givens矩阵，为Householder矩阵，为零矩阵，问是否有可能是Householder矩阵．〔有可能〕5．矩阵的Jordan标准形为．6．设的M-P逆为，为零矩阵，那么．二、(10分)设是上的向量范数，向量，对任意向量，定义实值函数，其中表示复数的模，证明：1．是上的向量范数；2．假设取〔向量的1-范数〕，那么〔向量的-范数〕．证1．任意．①：：②略．=3\*GB3③设，那么有故是上的向量范数．2．因为所以；设，那么有故．三、(15分)，，．1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件的解.解1．，2．，四、(10分)用Householder变换求矩阵的分解．解(1)，，，(2)，，令，那么有，，五、(10分)用Gerschgorin定理隔离矩阵〔〕的特征值．〔要求画图表示〕解①的4个盖尔圆为；；；易见包含着．=2\*GB3②，：中心距为8，半径和为6：中心距为，半径和为9：中心距为，半径和为7：中心距为11，半径和为10的4个孤立盖尔圆为；；；其中各含的一个特征值．注1：可取，注2：可取，六、(15分)的M-P逆为，．1.求矩阵；2.用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；3.求线性方程组的极小范数解，或者极小范数最小二乘解.〔要求指出所求的是哪种解〕解1.〔〕，：,；,2-3．，，有解；故是的极小范数解．七、(15分)多项式空间的子空间，其中，，，．1．求子空间的一个基；2．对于中的多项式，定义线性变换求的一个基，使在该基下的矩阵为对角矩阵．解1．子空间的一个基为，，．2．计算基象组：，，设，那么．求使得：，由可得，，在基下的矩阵为．注1：选取的基为时，有，，注2：选取的基为时，有，，注3：选取的基为时，有，，八、(7分)设线性空间的一个基为，线性变换在该基下的矩阵为，其中都是2阶方阵，是2阶零矩阵，证明：1．子空间是的不变子空间；2．假设，那么子空间不是的不变子空间．证1．记，由可得，任意，存在使得，于是有故是的不变子空间．2．记，，不妨设，因为，〔反证法〕所以不是的不变

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