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文档简介

§3分部积分法目的要求】1、不定积分的分部积分方法；2、用分部积分法求积分的常用被积函数类型介绍及技巧．【重点难点】u、dv的设法及积分技巧．【教学内容】前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法．现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推得另一个求积分的基本方法——分部积分法．设函数及具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为，移项，得．对这个等式两边求不定积分，得(1)公式(1)称为分部积分公式．如果求有困难，而求比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了．为简便起见，也可把公式(1)写成下面的形式：(2)现在通过例子说明如何运用这个重要公式．例1求．解这个积分用换元积分法不易求得结果．现在试用分部积分法来求它．但是怎样选取和呢？如果设，，那么，，代入分部积分公式(2)，得，而容易积出，所以．求这个积分时，如果设，，那么，．于是．上式右端的积分比原积分更不容易求出．由此可见，如果和选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取和是一个关键．选取和一般要考虑下面两点：(1)要容易求得；(2)要比容易积出．例2求．解设，，那么，，于是．运用分部积分公式（2）的形式，如上列例1，例2的求解过程也可表述为．．例3求．解设，，那么．这里比容易积出，因为被积函数中的幂次前者比后者降低了一次．由例2可知，对再使用一次分部积分法就可以了，于是．总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为．这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次．这里假定幂指数是正整数．例4求．解设，，那么．例5求．解设，，那么．在分部积分法运用比较熟练以后，就不必再写出哪一部分选作，哪一部分选作．只要把被积表达式凑成的形式，便可使用分部积分公式．例6求解．总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为．例7求．解，等式右端的积分与等式左端的积分是同一类的．对右端的积分再用一次分部积分法，得，由于上式右端的第三项就是所求的积分，把它移到等号左端去，再两端同除以2，便得．因上式右端已不包含积分项，所以必须加上任意常数．例8求．解．由于上式右端的第三项就是所求的积分，把它移到等号左端去，再两端同除以2，便得．例9求．解．所以．同样的方法可推出：．在积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法，如例5，下面再来举一个例子．例10求．解令，则．于是．利用例2的结果，并用代回，便得所求积分：．各类积分法小结至此，我们研究了不定积分的计算方法：直接积分法、凑微分法、换元积分法和分部积分法．一般地，直接积分法使用于求简单被积函数的积分；凑微分法（第一类换元法）较适合于求积分表达式能分解成f[g(x)]d[g(x)]形式的不定积分；第二类换元法较适合

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