高中数学人教A版选修2-1测评3-2第3课时利用向量求空间角

第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第3课时利用向量求空间角课后篇巩固提升基础巩固1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°解析因为n1·n2=(1,0,1)·(3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.答案D2.已知A(0,1,1),B(2,1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266 BC.52222 D解析AB=(2,2,1),CD=(2,3,3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||CD答案A3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°解析取AB的中点D,连接CD,分别以AD,CD,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(1,0,3),C1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,根据m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,3,2),cos<m,故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.答案A4.已知二面角αlβ的大小为60°,b和c是两条异面直线,且b⊥α,c⊥β,则直线b与c所成的角的大小为()A.120° B.90° C.60° D.30°解析设直线b,c的方向向量分别为b,c,因为b⊥α,c⊥β,所以b,c分别是平面α,β的法向量,由二面角αlβ的大小为60°,可知b,c的夹角为60°或120°.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以直线b与c所成的角为60°.故选C.答案C5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16 B.14 C.16解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴MN=(1,1,2),OD1=(1,2,1).则cos<MN,OD1>=MN·OD1|MN||答案A6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是.

解析设这两个平面所成的锐二面角为θ,则|cosθ|=|u·v||答案60°7.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.

解析在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,1,2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·DA1=2x+4z=0,n·DE=y+2z=0,取z=1,得n=(2,2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sinθ=|cos<AE,n>|=|EA·n||EA||答案48.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.

解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,2),A1E设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n则2x-2z=0,2y易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos<n,m>=n·答案29.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB|=33(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵SC=(2,2,2),SD=(1,0,2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SC令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,1,1),显然,平面SAB和平面SCD所成角为锐角,不妨设为α,则cosα=m·n|m||n|=10.(选做题)如图,在四棱锥PABCD中,BC⊥CD,AD=CD,PA=32,△ABC和△PBC均为边长为23的等边三角形.(1)求证:平面PBC⊥平面ABCD;(2)求二面角CPBD的余弦值.解(1)取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC,△PBC均为边长为23的等边三角形,所以AO⊥BC,OP⊥BC,且OA=OP=3.因为AP=32,所以OP2+OA2=AP2,所以OP⊥OA,又因为OA∩BC=O,OA⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以OP⊥平面ABCD.又因为OP⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABCD.(2)因为BC⊥CD,△ABC为等边三角形,所以∠ACD=π6,又因为AD=CD,所以∠CAD=π6,∠ADC=2π3,在△ADC中,由正弦定理,得:ACsin以O为坐标原点,以OA,OB,OP为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(0,3,0),D(2,3,0),BP=(0,3,3),BD=设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,则平面PBD的一个法向量为n=(3,3,1),依题意,平面PBC的一个法向量m=(1,0,0),所以cos<m,n>=m·故二面角CPBD的余弦值为313能力提升1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<DB1,CM>A.12 B.21015 C.23解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M1,12,0,∴DB1=(1,1,1),CM=1,-12,0,答案B2.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为()A.55 B.306 C.66解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,0,2),EF=(1,1,2),取平面AA1D1D的法向量为n=(0,1,0),设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|cos<EF,n>|=|EF·n||EF||n|=66,∴直线EF答案C3.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150° B.45° C.60° D.120°解析由条件,知CA·AB=0,AB·BD则|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cos<CA,BD>=(217)2即<CA,BD>=120°,二面角的大小为60答案C4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CD上的一动点,则下列结论不正确的是()A.D1E∥平面A1B1BAB.EB1⊥AD1C.直线AE与B1D1所成角的范围为πD.二面角EA1B1A的大小为π解析对于选项A,因为平面CDD1C1∥平面A1B1BA,D1E⊂平面CDD1C1,所以D1E∥平面A1B1BA,故选项A正确;如图建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,m,0),0≤m≤1,B1(1,1,1),D1(0,0,1),A1(1,0,1).对于选项B,EB1=(1,1m,1),AD1=(1,0,1),因为EB1·AD1=(1,1m,1)·(1,0,1)=0,所以EB1对于选项C,AE=(1,m,0),B1D1=(1,1,0),设直线AE与B1D1则cosθ=|cos<AE,B1当m=0时,cosθ最大等于22,此时θ最小为π当m=1时,cosθ最小等于0,此时θ最大为π2,所以θ∈π即直线AE与B1D1所成角的范围为π4,π2,对于选项D,二面角EA1B1A即二面角DA1B1A,因为A1D1⊥平面AA1B1,AD1⊥平面A1B1D,则平面AA1B1的一个法向量A1D1=(1,0,0),平面A1B1D的一个法向量A所以cos<A1D1又二面角EA1B1A为锐角,所以二面角EA1B1A的大小为π4,故选项D正确故选C.答案C5.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.

解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.则sinθ=|cos<n,AC1>|=故cosθ=1-答案106.如图,三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.解以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(3,1,3),O1A=(3,设所求的角为α,则cosα=|A即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为177.如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACS的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SC∶SE的值;若不存在,试说明理由.(1)证明连接BD交AC于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.(2)解由题设知,连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系Oxyz如图.设底面边长为a,则S0,0,62a,D22a,0,0,C0,22a,0.又SD⊥平面PAC,则平面PAC的一个法向量DS=22