新教材高中数学人教A版学案2-1第2课时等式性质与不等式性质

第2课时等式性质与不等式性质[目标]1.掌握不等式的有关性质；2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式、求代数式的取值范围．[重点]不等式的性质及应用．[难点]对不等式性质的理解．知识点一等式的性质[填一填]知识点二不等式的性质[填一填][答一答]1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，是否有a>b，c>d则a－c>b－d成立？提示：不一定，如3>1，－1>－10，则3－(－1)>1－(－10)不成立．2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．3．对不等式变形时，要注意什么？提示：对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．4．由a≥b，b≥c能否得到a≥c呢？如果a≥b，b>c，能否一定得到a≥c呢？提示：由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b，b>c，我们一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a＝c”，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b，b>c，一定可以得到a≥c.类型一判断命题的真假[例1]判断下列命题是否成立，若不成立，适当增加条件使之成立．(1)若a>b，则ac≤bc；(2)若ac2>bc2，则a2>b2；(3)若a>b，c>d，则eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；(4)若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).[分析]本题考查不等式的性质的应用，可结合不等式的性质找出所缺少的条件．[解](1)不成立．命题“若a>b且c≤0，则ac≤bc”成立，即增加条件“c≤0”(2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0时，才有a2>b2，即增加条件“b≥0”(3)不成立.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加条件“b>0，d>0”．(4)成立．a>b>0⇒－a<－b<0⇒0<c－a<c－b，两边同乘以eq\f(1,c－ac－b)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(a,c－b)>eq\f(b,c－b).1.判定一个命题是假命题，有下面两种方法：(1)从已知条件入手，推出与结论相反的结论；(2)举出反例，反例法简捷、快速、有效，是解决该类问题行之有效的好方法．2．应用不等式基本性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，其中“乘负反序”“同时取倒反序”两种情况极易忽视，应特别注意．[变式训练1](1)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是(D)A．如果a>b，那么eq\f(a,c)>eq\f(b,c)B．如果ac<bc，那么a<bC．如果a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．如果a>b，那么eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，则不正确的不等式的个数是(C)A．0B．1C．2D．3解析：(1)利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的条件．对A有：eq\f(a,c)<eq\f(b,c)，故A错．对B有a>b，故B错．对C有eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故C错．对于D，∵c≠0，∴eq\f(1,c2)>0，由不等式的性质4知，D正确．(2)由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.类型二证明不等式[例2](1)已知a>b>0，求证：eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[证明](1)a>b>0⇒a2>b2>0⇒eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd>0，两边同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.[变式训练2]若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<eq\f(1,a－c2)<eq\f(1,b－d2).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).类型三求取值范围[例3]已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范围．[分析]解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．[解]∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a∴－10<2a＋b又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)当0≤a<8时，0≤eq\f(a,b)<4；(2)当－6<a<0时，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.求含有字母的数或式子的取值范围时，要注意以下两点：1要注意题设中的条件；2要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减；两边都是正数的同向不等式可乘不可除.[变式训练3](1)已知12<a<30,15<b<48，则eq\f(a,b)的范围是eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.(2)已知0≤a≤1,2≤a－b≤3，则a－2b的取值范围是3≤a－2b≤6.解析：(1)∵15<b<48，∴eq\f(1,48)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<30，∴eq\f(12,48)<eq\f(a,b)<eq\f(30,15)，即eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.(2)∵0≤a≤1,2≤a－b≤3，∴－1≤－a≤0,4≤2a－2b≤∴3≤－a＋(2a－2b)≤6，即3≤a－2b≤1．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(C)A．ab>bc B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>c|b|解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0得a>0，c<0，b符号不确定，则由a>0，b>c一定有ab>ac成立．故选C.2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，则(B)A．bc<ad B．bc>adC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)解析：由－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)得eq\f(c,a)>eq\f(d,b)又ab>0得eq\f(c,a)·ab>eq\f(d,b)·ab即bc>ad.故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<－β<1，则有－2<α－β<2，又α<β，∴α－β<0.综上必有－2<α－β<0.4．给出下列命题：①a>|b|⇒a2>b2；②a>b⇒a3>b3；③|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是①②.5．已知a>b>0，c<d<0，求证：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c))，两边同乘－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).——本课须掌握的两大问题1．对不等式性质的五点说明(1)性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(4)性质5(即加法法则)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(5)性质6,7(即乘法法则与乘方