北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）

专题6.7反比例函数与面积问题（知识讲解）【学习目标】1.能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；．2.掌握并运用K值的几何意义解决问题；．3.充分利用数形结合思想解决问题。【要点梳理】反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、已知比例系数求特殊四边形面积1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．【答案】3【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点，∴△AOD的面积为，∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，∴矩形ABCO的面积为4，∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，故选：B．【点拨】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．举一反三：【变式1】如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于多少？【答案】4【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA=S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．所以△ABC的面积等于2×|k|=|k|=4．【点拨】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．【变式2】已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．（1）求B点和P点的坐标；（2）求四边形AOBP的面积．【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，∵P点在上，把代入得，∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．又∵B点在上，把代入得，∴B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）．（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，用S表示图形的面积，由题意得：，，，=4．【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．类型二、已知面积求比例系数或解析式2．如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式．【答案】【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用三角形中位线定理可得，，然后证明△BDM≌△DOE，从而得到，，最后设D()，则B()，利用反比例函数的几何意义可得，从而得到，即可求解．解：过点D作DM⊥AB于点M，∵AB⊥OA，∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA，，∵D是斜边OB的中点，DE⊥OA，∴OD=DB，，在△BDM和△EOD中∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴，．设D()，则B()．∵，∴．即，解得：．∴反比例函数的解析式为．【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值．【答案】k＝﹣4．【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值．解：如下图，记AB与y轴的交点为C，∵点A，B关于y轴对称，∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝，∵S△AOC＝|2k|，∴|2k|＝4，∴∵在第二象限，∴2k＝﹣8∴k＝﹣4．【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键．【变式2】如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=(k1>0)交于点A，与双曲线y=(k2<0)交于点B，连接OA，OB．(1)当k1、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB的面积_______(填增大、不变、或减小)(2)当k1+k2=0，S△AOB=8时，求k1、k2的值.【答案】（1）不变；（2）k1＝8，k2＝﹣8．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出答案；（2）由题意可知S△AOB＝k1﹣k2，然后与k1+k2＝0构成方程组，解之即可．解：（1）不变.∵S△AOC＝|k1|，S△BOC＝|k2|，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝（|k1|+|k2|），∵k1，k2分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.故答案为：不变；（2）由题意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝k1﹣k2＝8，∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．类型三、反比例函数和面积问题常考题3．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是（只填序号）．【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．解：（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；当x=-6时，；当x=-2时，∵，k＜0∴即（2）选择条件①∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD∴四边形OCED是矩形∴OD∙OC=2∵OC=2∴OD=1即∴点B的坐标为(-6,1)把点B的坐标代入y＝中，得k=-6若选择条件②，即BE=2AE∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD∴四边形OCED是矩形∴DE=OC，CE=OD∵OC=2，DB=6∴BE=DB-DE=DB-OC=4∴∵AE=AC-CE=AC-OD=即由（1）知：∴k=-6【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．（1）求点B的坐标．（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式．【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标；（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．解：（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上，∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上，∴S矩形ODEA＝2∴S矩形OCBE＝×2＝3，∴k＝3，∴y2＝，∵OE＝AD＝，∴B的横坐标为，代入y2＝得，y＝＝2，∴B（，2）；（2）设P（a，0），∵S△BPE＝PE•BE＝，解得a＝﹣或，∴点P（﹣，0）或（，0），设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），①若直线过（，2），（﹣，0），则，解得，∴直线BP的解析式为y＝x+1；②若直线过（，2），（，0），则，解得，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3；综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．【变式2】反比例函数与一次函数交于点A（1，2k－1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．【答案】（1）y=；（2）y=－或y=.【分析】首先根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；根据点A的坐标和三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.解：（1）由已知可