新教材2023版高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.6平面直角坐标系中的距离公式第2课时点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式学生用书北师大版选择性必修第一册

第2课时点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式[教材要点]要点一点到直线的距离公式1．概念：点到直线的距离d就是点到直线的________的长．2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________________．状元随笔(1)点到直线的距离公式的形式是：分母是直线方程Ax＋By＋C＝0的x项、y项系数平方和的算术平方根，分子是用x0，y0替换直线方程中x，y所得实数的绝对值．(2)当点P(x0，y0)在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，即d＝0.(3)点到几种特殊直线的距离：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.(4)若给出的直线方程不是一般式，则应先化为一般式再利用公式求距离．要点二两条平行直线间的距离1．概念：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的________的长．2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________．状元随笔①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．③当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.()(2)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是CA2+(3)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．()2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()A．3B．2C．1D．13．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则m的值为________．题型一点到直线的距离公式的应用例1(1)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A．2B．2－2C．2－1D．2＋1(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3510的直线l的方程是方法归纳点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．跟踪训练1(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．(2)若直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．题型二两条平行线间的距离例2(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．方法归纳求两条平行线间距离的方法求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝b1-b2k2+1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝跟踪训练2(1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，17](2)已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________________.题型三对称问题例3如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．方法归纳光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组y-(2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)．跟踪训练3若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．易错辨析选用直线方程的形式不当引发错误例4过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由点到直线的距离公式得：-4k-1-2k+5k2故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.答案：5x＋12y－70＝0或x＝2【易错警示】易错原因纠错心得忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错．一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．[课堂十分钟]1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d为()A．1B．3C．2D．52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B．2C．3D．23．[多选题]若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为()A．3x－4y－5＝0B．3x－4y－35＝0C．3x－4y－23＝0D．3x－4y－17＝04．已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0之间的距离为2，则b＋c＝________．5．点A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标为________．第2课时点到直线的距离公式两条平行直线间的距离公式新知初探·课前预习要点一1．垂线段2.|Ax0＋By0＋要点二1．公垂线段2.|[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√2．解析：由平行线间的距离公式得：d＝|-7-(答案：C3．解析：由|m+1+1|12+12＝2，得m又∵m＜0，∴m＝－4.答案：－4题型探究·课堂解透例1解析：(1)由点到直线的距离公式知，d＝|a-2+3|2＝|a+1|2＝1，得a＝－1±2.又∵a＞0，∴(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝|3×（－1）－0所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.答案：(1)C(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0跟踪训练1解析：(1)由点到直线的距离公式可得d＝|4×2+3×(2)由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则|C－4|12+（-2）2＝|C|12+（-答案：(1)195(2)x－2y＋2＝例2解析：(1)由题意，得63＝m∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得|-1+6|62+(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得|3-C|22+12＝|C+1|22+12，解得C＝1，答案：(1)104(2)2x－y＋1＝跟踪训练2解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝[2-(-1)]2+（-1-(2)直线l1的方程可转化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由题意，可得|C+2|42+62＝2×|C+9|42+62，解得C＝－16或C＝－203.故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－203＝0，即2x＋3y－8答案：(1)C(2)2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0例3解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得b解得a∴A的坐标为(4，3)，∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组

y解得x由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3(x≤78由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.跟踪训练3解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2).因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．因为kA′B＝8-22+3所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.令y＝0，得x＝－2，即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，所以所求实数m的值为－2.[课堂十分钟]1．解析：d＝|0＋2×0－5|1答案：D2．解析：l1的斜率为k1＝－1，l2的斜率为k2＝－1.∵k1＝k2，∴l1∥l2.∴l1，l2之间的距离为|1－(-1)|1答案：B3．解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.由题意得|m＋20|3解得m＝－5或m＝－35，所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3