新教材2023版高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.5两条直线的交点坐标学生用书北师大版选择性必修第一册

1.5两条直线的交点坐标最新课标能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．[教材要点]要点两条直线的交点坐标已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则__________________(2)若两直线方程组成的方程组A1x+B1y+C1=0，A状元随笔两直线相交的条件：①将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2③若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两条直线不相交就平行．()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．()(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解．()(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解.()2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2，2)B．(1，1)C．(1，2)D．(2，1)3．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()A．(3，2)B．(2，3)C．(－2，－3)D．(－3，－2)4．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．题型一两直线的交点问题例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.方法归纳两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．跟踪训练1(1)[多选题]下列直线与直线x－2y＋1＝0相交的是()A．x－2y＋3＝0B．2x＋y＋1＝0C．x2+y4＝1D．y＝(2)若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为()A．－2B．－1C．2D．1题型二过两直线交点的直线方程例2求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．变式探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？方法归纳过两条直线交点的直线方程的求法1．常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．跟踪训练2直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0易错辨析求点的坐标时因位置关系不清而致误例3已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标．解析：设点A的坐标为(－1，－2)，点B的坐标为(3，1)，点C的坐标为(0，2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)．(1)若四边形ABCD是平行四边形，则x+3解得x=所以点D的坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC是平行四边形，则x解得x=4所以点D的坐标为(4，5)．(3)若四边形ACBD是平行四边形，则-解得x=2所以点D的坐标为(2，－3)．综上所述，这个平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．【易错警示】易错原因纠错心得误认为是平行四边形，考虑不全面而漏解考虑问题时，弄清平行四边形顶点的顺序，本题除了平行四边形ABCD外，还有平行四边形ABDC，平行四边形ACBD.[课堂十分钟]1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是()A．(3，－1)B．(－1，3)C．(－3，－1)D．(3，1)2．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第四象限，则实数k的取值范围是(A．-12，C．-16，3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝04．直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，则a的值为________．1．5两条直线的交点坐标新知初探·课前预习要点(1)A1x0＋B1y0＋C1＝0A2x0＋B2y0＋C2＝0(2)相交(x0，y0)公共解[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由x=1，y=2.得交点坐标为答案：C3．解析：解方程组2x－y－1＝0，答案：B4．解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2.答案：a≠2题型探究·课堂解透例1解析：(1)方程组2x－因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).(2)方程组2x这表明直线l1和l2重合．(3)方程组4x这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.跟踪训练1解析：(1)由两条直线的斜率可判断知A、D与直线x－2y＋1＝0平行，B、C与直线x－2y＋1＝0相交，故选BC.(2)易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－12.故选答案：(1)BC(2)B例2解析：方法一解方程组2得x＝－35，y＝－7又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3(x＋35即15x＋5y＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有（得λ＝112，代入(*)式得(2＋112)x＋(112－3)y＋(2×112－3)＝0，即15变式探究解析：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.跟踪训练2解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.答案：B[课堂十分钟]1．解析：联立两直线的方程，得2x-y＝7，3x＋答案：A2．解析：由题意得k≠－12，由y＝kx＋2k＋1y＝-12x+2得x=-4答案：A3．